Esame completo di statistica

Statistica

La statistica è una disciplina che fornisce gli strumenti concettuali e i metodi per la raccolta, la descrizione, l’analisi e la rappresentazione sintetica dei dati per lo studio dei fenomeni collettivi.

Col termine “statistica” si indicano i risultati numerici che derivano da un processo di sintesi dei dati osservati.

Un fenomeno collettivo (o di massa) è un qualunque fatto o aspetto osservabile il cui studio riguarda una pluralità di individui, definiti unità statistiche.

Le unità statistiche (us) sono i singoli elementi omogenei tra di loro che compongono il collettivo oggetto di studio e costituiscono la base per la successiva osservazione, rilevazione e analisi.

• Unità semplici: formate da un unico elemento non scomponibile ulteriormente;
• Unità composte: costituite da più unità semplici.

La popolazione (collettivo statistico o universo) è l’insieme di tutte le unità statistiche che riguardano il fenomeno collettivo oggetto di studio. La numerosità totale delle unità di una popolazione si indica con N.

• Popolazione reale: quando è effettivamente già esistente e visibile;
• Popolazione potenziale: quando non è osservabile, perché astratta o connessa al futuro.

Statistica descrittiva

La statistica descrittiva fornisce i metodi per la raccolta (o rilevazione), la classificazione, la sintesi e la rappresentazione grafica dei dati allo scopo di far emergere e descrivere le caratteristiche principali di un fenomeno collettivo osservato su tutte le N unità che compongono una popolazione.

I caratteri statistici (o variabili) rappresentano le caratteristiche che vengono rilevate per descrivere le unità statistiche (di 1 popolazione o di 1 campione). È tipico dei fenomeni reali di interesse statistico che i caratteri assumano valori differenti nelle varie unità statistiche.

Le modalità sono i possibili modi o valori (numerici o non) che può assumere un carattere (o 1 variabile) nelle unità statistiche del collettivo. Le modalità di ciascun carattere devono essere esaustive e non sovrapposte. X, Y, ..., Z.

• Un carattere si indica generalmente con una lettera maiuscola;
• Le modalità distinte che un carattere può assumere si indicano con la corrispondente lettera minuscola (per j=1,2,..,K): X → x1, x2, ..., xj, ..., xK.

Classificazione dei caratteri statistici 1 2 j K.

• Le modalità di un carattere osservate sulle singole unità statistiche di una popolazione di numerosità N (per i=1,2,…,N) si indicano: lo schema X → x1, x2, ..., xi, ..., xN.

Classificazione dei caratteri statistici

I caratteri statistici (o variabili) si distinguono in base al modo in cui sono espresse le modalità:

► I caratteri statistici si distinguono in base al modo in cui sono espresse le modalità:

Caratteri o variabili trasferibili o quantitativi qualitativi non trasferibili sconnessi ordinati discreti continui rettilinei o ciclici.

• Qualitativi: le modalità sono attributi o qualità non numeriche;
• Quantitativi: le modalità sono quantità numeriche;
• Trasferibili: quando ha senso immaginare che un’unità statistica possa cedere tutto o parte del carattere posseduto ad un’altra unità statistica;
• Non trasferibili: in tutti gli altri casi.

I caratteri qualitativi si dicono anche “variabili qualitative” o “mutabili statistiche”, i caratteri quantitativi si dicono “variabili quantitative”.

I caratteri qualitativi sconnessi presentano modalità non ordinabili.

• Le modalità sono nomi o attributi;
• A volte si assegnano numeri alle modalità che servono solo ad identificarle (codifica) ma la natura del carattere rimane immutata.

I caratteri qualitativi ordinati presentano modalità ordinabili.

• Rettilinei: possiedono una modalità iniziale ed una finale.
• Ciclici: le modalità estreme sono molto prossime tra loro.

I caratteri quantitativi discreti presentano modalità espresse da numeri interi (in numero finito o infinità numeriche), i valori assunti dalle modalità sono ottenuti di solito da un conteggio.

I dati

La matrice dei dati

La matrice dei dati è una tabella rettangolare in cui sono riportati i dati raccolti su ciascuna unità ► statistica rispetto ad una molteplicità di caratteri (o variabili):

• I caratteri quantitativi continui possono assumere qualsiasi valore contenuto in un intervallo reale: ogni riga corrisponde ad una unità statistica;
• Ogni colonna corrisponde ad un carattere (o variabile) sottoinsieme di R. I valori assunti dalle modalità sono ottenuti da una misurazione.

La matrice dei dati è una tabella rettangolare in cui sono riportati i dati raccolti su ciascuna unità statistica rispetto ad una molteplicità di + caratteri:

• Ogni riga corrisponde ad un’unità statistica;
• Ogni colonna corrisponde ad un carattere.

Unità statistica, Età, Genere, Metodo di pagamento, Spesa, Numero di acquisti, Titolo di studio.

1 Maschio Carta di credito Diploma 27 522,50 3.

2 Femmina Carta prepagata Licenza media 22 687,00 4.

Femmina Paypol Elementare 76 187,25 13.

… … … … … … …

Femmina Contrassegno Diploma 21 25,50 1.

… … … … … … …

Maschio Carta di credito Laurea 37 387,00 2.

Dato statistico

I dati statistici rappresentano la materia prima su cui si basa l’analisi statistica. Non sono immediatamente fruibili e necessitano di essere elaborati per diventare informazioni, in modo da aiutare a comprendere il fenomeno considerato.

Distribuzioni unitarie e frequenze

2.

La distribuzione unitaria di 1 o + caratteri è l’elenco delle modalità osservate, unità x unità, nel collettivo.

• Distribuzione unitaria semplice: 1 solo carattere;
• Distribuzione unitaria doppia: 2 caratteri.

In un collettivo formato da N individui, la distribuzione unitaria semplice di un carattere X si indica: x1, x2, x3, ..., xi, ..., xN.

L’informazione contenuta in una distribuzione unitaria non consente di cogliere in maniera sintetica le caratteristiche del fenomeno oggetto di studio. Per ottenere una sintesi delle distribuzioni unitarie è possibile considerare per ogni carattere la frequenza con cui le diverse modalità sono state osservate. La frequenza assoluta è il numero di volte in cui una generica modalità j di un carattere viene osservata nel collettivo: nj.

x1, x2, ..., xj, ..., xK.

Lo spoglio dei dati è il conteggio quante volte si presenta ciascuna delle modalità del carattere nel collettivo.

Una distribuzione di frequenze assolute è una tabella in cui alle modalità di un carattere (quantitativo o qualitativo) sono associate le corrispondenti frequenze assolute: numero di volte in cui ciascuna modalità è stata osservata.

Dato un carattere X con K modalità distinte, osservato in un collettivo di N unità, la distribuzione di frequenza semplice si rappresenta nel seguente modo:

X Frequenza assoluta nj.

x1 n1.

x2 n2.

xj nj.

xK nK.

Totale N = n1 + n2 + … + nj + … + nK.

Le frequenze assolute non sono di facile interpretazione. La frequenza relativa fj, si ottiene dividendo la frequenza assoluta di una modalità per il totale delle unità del collettivo (N) e corrisponde alla frazione di unità tali che: fj = nj / N.

Valgono le proprietà: 0 ≤ fj ≤ 1; e f1 + f2 + ... + fj + ... + fK = Σfj = 1, con j=1, ..., K.

Le frequenze percentuali forniscono un’informazione + intuitiva e di + semplice lettura rispetto alle frequenze relative. La frequenza percentuale (pj) si ottiene moltiplicando la frequenza relativa per 100 e indica quante unità ogni cento del collettivo presentano una certa modalità (j).

pj = fj x100. In questo caso valgono le proprietà: 0 ≤ pj ≤ 100 e p1 + p2 + ... + pj + ... + pK = Σpj = 100, con j=1, ..., K.

Distribuzione di frequenze assolute, relative e percentuali del carattere X:

X Frequenze assolute (nj) Frequenza relativa (fj) Frequenza percentuale (pj).

x1 n1 f1 p1.

x2 n2 f2 p2.

xj nj fj pj.

xK nK fK pK.

Tot N 1 100.

Frequenze cumulate

Quando le modalità di un carattere sono ordinate, quindi per i caratteri qualitativi ordinati o quantitativi, si possono calcolare anche le frequenze cumulate, che ci indicano quante unità di un collettivo presentano una certa modalità o una modalità precedente.

La frequenza cumulata (ass, rel o %) associata a 1 modalità è data dalla somma della frequenza (ass, rel o %) riferita a quella stessa modalità con le frequenze delle modalità precedenti → indica le unità del collettivo che presentano una modalità inferiore o uguale a.

• Frequenza cumulata assoluta: Nj = n1 + n2 + ... + nj;
• Frequenza cumulata relativa: Fj = f1 + f2 + ... + fj;
• Frequenza cumulata percentuale: Pj = p1 + p2 + ... + pj.

X Frequenze assolute (nj) Frequenza relativa (fj) Frequenza percentuale (pj).

x1 N1 = n1 F1 P1.

x2 N2 = n1 + n2 F2 P2.

xj Nj = n1 + n2 + … + nj Fj Pj.

xK NK = n1 + n2 + … + nj + … + nK = N FK = 1 PK = 1.

Tot N 1 100.

Raggruppamento in classi

Quando il carattere che si vuole analizzare presenta un numero molto elevato di modalità, la distribuzione di frequenze può risultare incomprensibile o inutile → modalità con frequenza nulla, tabella troppo estesa.

Se il carattere è qualitativo (es., province, imprese x settore di attività, ...):

• Si ricorre ad un accorpamento delle modalità.

Se il carattere è quantitativo (età, spesa, peso, altezza, etc.):

• Si ricorre alla suddivisione in classi.

Nel caso di caratteri quantitativi, la costruzione della distribuzione di frequenze si può fare raggruppando le modalità contigue in classi, intervalli numerici, → tra loro disgiunti, comprendenti più modalità.

Ad ogni classe si fa corrispondere una frequenza assoluta, relativa o percentuale.

In generale, non esiste una regola per determinare numero e ampiezza delle classi. Ma può essere opportuno definire le classi in modo tale che:

• Il loro numero sia abbastanza piccolo da fornire una sintesi adeguata ma sufficientemente grande da mantenere un livello di dettaglio accettabile;
• Siano disgiunte;
• Siano esaustive, cioè devono comprendere tutte le possibili modalità del carattere;
• Abbiano, se possibile, la stessa ampiezza; in tal caso, una volta stabilito il numero di classi, la dimensione della classe si ottiene nel modo seguente: Dimensione classe = Valore max − Valore min / Numero classi.

Le classi sono caratterizzate da:

• Estremo inferiore: → il più piccolo valore della classe xj-1;
• Estremo superiore: → il valore più grande della classe xj;
• Ampiezza: → differenza tra i due estremi della classe aj = xj − xj-1;
• Valore centrale: valore rappresentativo della classe, si ottiene come semi-somma degli estremi della classe: cj = (xj−1 + xj) / 2.

Le classi si possono rappresentare in modo diverso in base all’estremo incluso (a |- b —> [a,b)).

Nel caso di caratteri continui le classi contigue devono avere estremo superiore = all’estremo inferiore della classe successiva (altrimenti si perdono le modalità intermedie a queste); inoltre, è necessario includere uno dei due estremi della classe sennò si perdono i valori corrispondenti.

Nei caratteri discreti non è necessario includere uno dei due estremi della classe, in quanto tra le 2 modalità che definiscono gli estremi di 2 classi contigue non esistono modalità intermedie. In questo caso gli estremi delle due classi contigue non devono essere uguali altrimenti le classi non sarebbero disgiunte, a meno che non venga specificato l’estremo da includere.

Distribuzione di quantità

La distribuzione di quantità è una tabella in cui ad ogni modalità di un carattere si fa corrispondere una quantità, una dello stesso o di un altro carattere. Tale distribuzione consente di esplicitare come l’ammontare complessivo di un carattere si distribuisce tra le varie modalità.

Una distribuzione di quantità è il risultato di due operazioni:

• Classificazione → suddivisione di un collettivo in base alle modalità di un carattere;
• Misurazione → quantificazione, per ogni modalità, dell’ammontare di un carattere, idealmente trasferibile tra le unità della popolazione.

(N.B.: il totale che viene ripartito non riguarda il numero delle unità statistiche in ciascun settore, bensì la somma dei redditi).

Serie storiche e territoriali

Le serie storiche (o temporali) sono successioni di valori di una grandezza (Y) ordinati rispetto ad un indice temporale, Y1, Y2, …, YT, osservati in T istanti o intervalli temporali generalmente equidistanti tra loro → consentono di esprimere la dinamica di un fenomeno nel periodo di tempo considerato. L’indice temporale definisce la periodicità di osservazione dei valori della serie e può riferirsi ad ore, giorni, settimane, mesi, trimestri, quadrimestri, anni, etc.

Le serie territoriali (o spaziali) sono costituite da una successione di valori assunti da una grandezza (Y) in uno stesso momento in unità territoriali differenti → esprimono la distribuzione geografica (o territoriale) di un fenomeno.

Le unità territoriali possono essere nazioni, regioni, province, città, o altre località ancora.

Le rappresentazioni grafiche

Le rappresentazioni grafiche hanno lo scopo di illustrare le distribuzioni di frequenze o di quantità con linee o segmenti, aree, volumi, figure o simboli convenzionali. Non forniscono informazioni aggiuntive rispetto a quelle tabulari ma possono essere di grande efficacia comunicativa, se realizzate correttamente.

I grafici presentano diversi vantaggi rispetto alle tabelle, poiché consentono di:

• Visualizzare immediatamente le caratteristiche principali della distribuzione → forma;
• Favorire il confronto fra + distribuzioni;
• Agevolare l’analisi dei fenomeni, evidenziando relazioni e andamenti, dati anomali (picchi grafici) dovuti a errori nei dati o alla presenza di valori diversi da quelli delle altre osservazioni;
• Divulgare i risultati in maniera efficace.

Affinché un grafico sia utile ed efficace dovrebbe contenere tutte le informazioni necessarie alla comprensione dei dati rappresentati.

• Titolo: descrive il carattere di riferimento, la distribuzione, il collettivo e quando è stata fatta la rilevazione.
• Etichette: descrive le modalità del carattere sull’asse.
• Legenda: quando sono rappresentate + distribuzioni occorre riportare una legenda che faccia corrispondere ad ogni colore o simbolo una particolare distribuzione.
• Note: per citare la fonte dei dati, da riportare alla base del grafico.

Le rappresentazioni grafiche più utilizzate sono:

• Grafico a torta → caratteri qualitativi sconnessi;
• Grafico a nastri → caratteri qualitativi sconnessi;
• Grafico a barre → caratteri qualitativi sconnessi, ordinati e quantitativi discreti;
• Istogramma → caratteri quantitativi continui;
• Diagramma cartesiano a linee → serie temporali;
• Cartogramma → serie territoriali;
• Grafico radar → caratteri ciclici.

Il grafico a torta

Il grafico a torta (diagramma a torta o diagramma circolare) mostra le frequenze di una distribuzione ► sotto forma di settori circolari (o spicchi di un cerchio) → caratteri qualitativi sconnessi.

È particolarmente utile:

• Per rappresentare la composizione di un aggregato;
• Quando il numero di modalità non è troppo elevato, altrimenti si riduce la dimensione dei settori circolari rendendo più difficile il confronto.

Il grafico a torta (diagramma a torta o diagr. circolare) mostra le frequenze di una distribuzione sotto forma di settori circolari → (spicchi di un cerchio) caratteri qualitativi sconnessi.

L’ampiezza dei settori circolari (angoli al centro) è proporzionale alla frequenza relativa.

È particolarmente utile:

• X rappresentare la composizione di un aggregato;
• Quando il numero di modalità non è troppo elevato, sennò si riduce la dimensione dei settori circolari rendendo + difficile il confronto.

Le rappresentazioni grafiche. Le rappresentazioni grafiche. ° = 360 ∙.

Il grafico a barre o a nastri

Il grafico a barre o a nastri. Il grafico a barre o a nastri.

Nei grafici a barre o a nastri le modalità del carattere sono rappresentate da rettangoli ► la cui altezza è proporzionale alla frequenza (assoluta, relativa o percentuale) mentre uguali.

Nei grafici a barre o a nastri le modalità del carattere sono rappresentate da rettangoli ► la cui altezza è proporzionale alla frequenza (assoluta, relativa o percentuale) uguali.

L’ampiezza dei settori circolari (angoli al centro) è proporzionale alla frequenza relativa: αj = 360 nj / N.

Nei grafici a barre o a nastri le modalità del carattere sono rappresentate.