Esame completo di statistica

A

Esempio: lancio di un dado, si considerino gli eventi e

.

• Per qualsiasi evento si verificano sempre le due seguenti uguaglianze:

• = { } = { 1

• = { } = { 2, 4, 6 }

Incompatibilità tra più di due eventi

• = { } = { 1, 3, 5} ∩ = Ø

Data una collezione di eventi diremo che essi sono incompatibili a due a due se

→

, , … ,

► 1 2

ҧ ҧ ∩=Ø

→

∪ = Ω ∩ = ∅ qualunque coppia di eventi distinti non può verificarsi contemporaneamente:

ҧ ҧ

∪ = Ω ∩ = ∅

∩ = Ø ∀ ≠

Eventi e algebra degli eventi

Eventi incompatibili: 2 eventi sono disgiunti o mutuamente esclusivi se non

∩ = Ø 6

2

∩ =Ø

Eventi e algebra degli eventi 2

4 3

Eventi compatibili

possono veri carsi contemporaneamente, cioè il veri carsi di 1 esclude il Esempio: in una collezione di eventi, , abbiamo:

4 ,

1 1 2 3 4

5 4

Due eventi e si dicono compatibili se possono verificarsi contemporaneamente.

►

Ā ∩ = Ø, ∩ = Ø, ∩ = Ø, … , ∩ = Ø

→

Eventi e algebra degli eventi

veri carsi dell’altro, quindi la loro intersezione è l’evento impossibile (insieme vuoto). Ā

Inclusione (o implicazione) di eventi

A Esempio: lancio di un dado, si considerino gli eventi e

.

A

Eventi compatibili E E

1 2

Un evento è incluso nell’evento e si indica con , se tutte le volte che s

, ⊂

• = { } = { 1, 3, 5 }

►

Due eventi e si dicono compatibili se possono verificarsi contemporaneamente.

E , E , ... , E

Incompatibilità tra più di due eventi: data una collezione di eventi ,

► 1 2 n

verifica anche cioè implica

• = { ≥5} = { 5, 6 }

, .

Esempio: lancio di un dado, si considerino gli eventi e

. E

E 4

Eventi e algebra degli eventi

• = { } = { 1, 3, 5 } 3

sono incompatibili a 2 a 2 se qualunque coppia di eventi distinti non può

∩= {}≠Ø

→

• = { ≥ 5 } = { 5, 6 }

Esempio: lancio di un dado, si considerino gli eventi e

.

Inclusione (o implicazione) di eventi

∩= {}≠Ø

→

E ∩ E = 0 ∀i=j • = { } = { 2, 4, 6 }

Eventi e algebra degli eventi

veri carsi contemporaneamente: , Un evento è incluso nell’evento e si indica con , se tutte le volte che si verifica si

, ⊂

►

Eventi e algebra degli eventi

i j verifica anche cioè implica

, .

• = { 2 4 } = { 2, 4 }

3

Esempio: lancio di un dado, si considerino gli eventi e

.

3

Eventi compatibili: se possono veri carsi contemporaneamente.

Eventi esaustivi (o necessari)

Eventi esaustivi (o necessari) ⊂

→ • = { } = { 2, 4, 6 }

1

1

∩ ≠ Ø 5

• = { 2 4 } = { 2, 4 }

Due eventi e si dicono esaustivi o necessari se la loro unione è l’evento certo.

∩ ≠Ø 5

►

Eventi e algebra degli eventi

Due eventi e si dicono esaustivi o necessari se la loro unione è l’evento certo.

6

6

► ⊂

→

Esempio: lancio di un dado, si considerino gli eventi e Ogni elemento di appartiene anche a

. :

► 4

2 4

2

• = { ≤ 3 } = { 1, 2, 3 }

Esempio: lancio di un dado, si considerino gli eventi e

. Ogni elemento di appartiene anche a

:

►

Inclusione (o implicazione) di eventi: l’evento B è incluso nell’evento A (B A), se tutte

Partizione dello spazio campionario

Eventi e algebra degli eventi • = { ≥ 4 } = { 4, 5, 6 }

⊂

• = { ≤ 3 } = { 1, 2, 3 }

∪ = { , , , , , } =

→ 3 3

Una collezione di eventi costituisce una partizione dello spazio campionario se sono

, , … ,

• = { ≥4}= { 4, 5, 6 }

►

⊂

le volte che si veri ca A si veri ca anche B, cioè B implica A. 6

1 2

⊂ 2 6

esaustivi ed incompatibili, e questo si verifica se e solo se sono verificate le seguenti condizioni: 4

Partizione dello spazio campionario ∪ = { , , , , , } =

→ 2

4

• Ogni elemento di B appartiene anche ad A: 1 5

∪ = 1 3

gebra degli eventi = Ω

ራ

Una collezione di eventi costituisce una partizione dello spazio campionario se sono

, , … ,

►

Eventi esaustivi (o necessari): 2 eventi sono esaustivi se la loro

1 2 2 1 5

5

esaustivi ed incompatibili, e questo si verifica se e solo se sono verificate le seguenti condizioni: 6

unione è l’evento certo. 4

∪ =

ello spazio campionario 1

∩ = Ø ∀ ≠

3

Partizione dello spazio campionario: 1 collezione di eventi E ,…,E è una partizione dello sp.

2

= Ω

ራ

ione di eventi costituisce una partizione dello spazio campionario se sono 1 n

, , … ,

1 2 Esempio: estrazione di una carta, si considerino gli eventi , , e .

5

1 2 3 4

ed incompatibili, e questo si verifica se e solo se sono verificate le seguenti condizioni:

camp. se sono esaustivi ed incompatibili, e ciò si veri ca se e solo se valgono le condizioni:

6

• = { ℎ } 4

1

• = { }

2

∩ = Ø ∀ ≠

= Ω

ራ • = { }

3

Esempio: estrazione di una carta, si consideri gli eventi E , E , E e E .

• = { }

1 2 3 4

4

Esempio: estrazione di una carta, si considerino gli eventi , , e .

• 1 2 3 4

E = {picche}. E = { ori}. E = {quadri} E = {cuori}

∪ ∪ ∪ =

→

∩ = Ø ∀ ≠

1 2 3 4

• = { ℎ }

1

E ∪ E ∪ E ∪ E = E ∩ E = 0, E ∩ E = 0, . . .

→ .

1 2 3 4 1 2 1 3

• = { }

o: estrazione di una carta, si considerino gli eventi , , e . ∩ = ∅, ∩ = ∅, …

2

1 2 3 4

• = { }

{ ℎ } 3

{ } • = { }

4

{ } ∪ ∪ ∪ =

→

{ }

∪ ∪ =

∩ = ∅, ∩ = ∅, …

= ∅, ∩ = ∅, …

fi

fi fi fi

fi

fi fi fi fi fi fi fi fi fi ffi

fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi

Diverse concezioni della probabilità: Nel tempo si sono sviluppati diversi concetti di probab:

Classica (o a priori); Frequentata (o empirica); Soggettiva; Anche se basate su presupposti

di erenti, sono riconducibili alla medesima teoria assiomatica del calcolo delle probab., in cui la

disciplina è a rontata secondo il metodo tipico delle scienze deduttive.

De nizione assiomatica—>

- postulati, proprietà, teoremi di carattere generale, regole.

De nizione classica: la probab. di un evento E è il rapporto tra il num. di risultati (casi) favorevoli

all’evento E ed il num. di risultati possibili, purché i risultati siano tutti ugualmente possibili.

n

E

P (E ) = n = numero risultati favorevoli all’evento E; n =numero di risultati possibili

E S

n

S

La de nizione classica presuppone una conoscenza a priori delle caratteristiche dell’esperimento

(casi favorevoli vs casi possibili), indipendentemente dalla sua e ettiva realizzazione, uno sp.

camp. nito ed eventi equi-probabili.

Es.: da un mazzo di 52 carte, calcola la probabilità di veri carsi dei seguenti eventi:

- A= {si estrae una carta di cuori} = {13 cuori}; B= {si estrae una gura }= {3 ori, 3 picche, 3 cuori, 3 quadri};

—> si ricava lo sp. camp., assumendo che tutti i risultati abbiano la stessa probabilità (mazzo non truccato): n =52

S

n n

13 12

A B

P (A) = = P (B ) = =

n 52 n 52

S S

critiche:

Def. classica, ha il vantaggio di calcolare la probab. in base alle info. disponibili a priori,

ma presenta dei limiti:

- È tauto