Equilibrio delle Funi

EQUILIBRIO delle FUNI

Configurazione equilibrata (CARICO FISSO)

• Prefissato il valore di y(l_e) = y₁ ad una temperatura T₀ conveniente, va ricercata la configurazione di equilibrio della fune e lo stato tensionale sotto il carico "q".
• Va determinata la lunghezza iniziale L₀ affinché sotto il carico "q" agente alla temperatura T₀ si abbia la configurazione prestabilita con y(l/2) = y₁.

Ipotesi: peso proprio della fune sia piccolo rispetto agli altri carichi fissi e quindi distribuito sull’asse.

Equilibrio alla traslazione orizzontale

N_g cos α = cost = Hg

Sotto l’ipotesi di fune priva di rigidezza flessionale risulterà in ogni sezione

M(z) = M = 0

L'equilibrio alla rotazione intorno a B fornisce:

- \(\frac{g \ell^2}{2} + V_A \cdot \ell - H_g y_B = 0\) da cui

\(V_A = \frac{g \ell}{2} + \frac{H_g y_B}{\ell}\)

\(M(z) = V_A \cdot z - g \frac{z^2}{2} - H_g y_g = 0\) (2)

\(y_g = \frac{g}{2 H_g} z + \left(\frac{g \cdot \ell}{2 H_g} + \frac{y_B}{\ell}\right) z\) (3)

posto \(y_g' = 0\) si ricava l'ascissa \(z_0\), a cui si ottiene

la \(y_{g \max}\)

\(z_0 = \frac{\ell}{2} + \frac{H_g y_B}{g \cdot \ell}\) (4)

\(\boxed{y_{g \max} = \frac{g \ell^2}{8 \cdot H_g} + \frac{H_g y_B^2}{2 \cdot g \cdot \ell^2} + \frac{y_B}{\ell}}\) (5)

la spinta si ottiene dalla (3) ricordando che \(y(\ell) =\)

\(\boxed{H_j = \frac{g \cdot \ell^2}{8(y_1 - \frac{y_B}{2})} = \frac{g \ell^2}{8 f_g}} \Longrightarrow \boxed{f_g = \frac{g \ell^2}{8 \cdot H_g}}\) (c)

Per la ricerca della H dovrà esprimersi la condizione che lo sviluppo della fune nella configurazione attuale dovrà essere uguale a quello iniziale a meno della variazione elastica e delle variazione per effetto ter.

L = Lg + _H/_EA ∫_ds/cosα ± cωΔt Lg

L = Lg + _H/_EA Ls ± cωΔt Lg (3)

In prima approssimazione, applicando il P.L.V. al sistema in equilibrio sotto i carichi fissi ed agli spostamenti effettivi si ha:

g ∫_l^e r dz = _Ht/_EA Ha ∫_ds/cos²α ± Hg ωΔt ∫_ds/cosα

Dallo sviluppo in serie arrestato al 2° termine:

g ∫_l^e r dz = _Ht/_EA Ha l [1 + 8(_fs/_e)² + 3/2(_ye/_e)²] ± H_tg cωΔt Ls

Tenendo conto della (2) v = ^M_o/_H - (_H +_tq) y_a/

g/_H ∫_I^l M_a α dz + ω(_H/_H - 1) ∫_l Y_g dz = _Ht/_EA Ha l [1 + 8(_ts/_e)² + 3/2(_ya/_e)²] ±

± H_g cωΔt Ls

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