Equilibrio delle Funi

EQUILIBRIO delle FUNI

Configurazione equilibrata (CARICO FISSO)

• Prefissato il valore di y(y_𝗯)= y₁ ad una temperatura T₀. Convenzionale, va ricercata la configurazione di equilibrio della fune e lo stato tensionale sotto il carico "q".
• Va determinata la lunghezza iniziale L₀ affiché sotto il carico "q" agente alla temperatura T₀ si abbia la configurazione prestabilita con y(y₂) = y₁.

Ipotesi: peso proprio della fune sia piccolo rispetto agli altri carichi fissi e quindi distribuito sull'inf...

Equilibrio alla traslazione orizzontale

N_j cos α = cost = Hg           (1)

Sotto l'ipotesi di fune priva di rigidezza flessionale risulterà in ogni estremo

M(z_i) = M = 0

-1-

EQUILIBRIO delle FUNI

Configurazione equilibrata (CARICO FISSO)

• Prefissato il valore di y(y_e) = y₁ ad una temperatura T_o conveniente, va ricercata la configurazione di equilibrio della fune e lo stato tensionale sotto il carico "q".
• Va determinata la lunghezza iniziale Lo affinché sotto il carico "q" agente alla temperatura T_o si abbia la configurazione prestabilita con y(y_e) = y₁.

Ipotesi: peso proprio della fune sia piccolo rispetto agli altri carichi fissi e quindi distribuito sull'intero...

Equilibrio alla traslazione orizzontale

N_q cos α = cost = H_q (1)

Sotto l'ipotesi di fune priva di rigidezza flessionale risulterà in ogni estremo

M(z_ξ) = M = 0

-1-

L'equilibrio alla rotazione intorno a B fornisce:

-\(\frac{g \, e^2}{2}\) + \( V_A \cdot l \) - \( H_g \, y_B \) = 0   da cui

\( V_A = \frac{g \, l^2}{2} + \frac{H_g \, y_B}{l} \)

M(z) = \(V_A \cdot z\) - \(\frac{g \, z^2}{2}\) - \(H_g \, y_g = 0\)   (2)

\( y_g = -\frac{g}{2 \, H_g} z^2\) + \(\bigg(\frac{g \, l}{2 \, H_g} + \frac{y_B}{l}\bigg) z \)   (3)

posto \(y'_g = 0\) si ricava l'ascissa \(z_o\), a cui si ottiene la \(y_{g max}\)

\( z_o = \frac{l}{2} + \frac{H_g \, y_B}{g \, l} \)   (4)

\(\Downarrow\)

\( y_{g max} = \frac{g \, l^2}{8 \cdot H_g} + \frac{H_g \, y_B^2}{2 \cdot g \cdot l^2} + \frac{y_B}{l} \)   (5)

la spinta si ottiene dalla (3) ricordando che \(y'(\xi) = 0\)

\( H_j = \frac{g \, l^2}{8 \, (y_1 - \frac{y_B}{2})} = \frac{g \, e^2}{8 \, f_g} \Rightarrow \boxed{f_g = \frac{g \, \ell^2}{8 \cdot H_g}} \)  (6)

Sostituendo il valore di ʃ σ nelle (3) e (5)

Y_g = 4 f_o ( _z/^e - _z²/^e²) + _ya/^ℓ z

y_max = y₁ + _y0/^{16 f_g}

Lo sviluppo della fune "L_g" nella configurazione di equilibrio fornito dalla (7) vale:

L_g = ∫ ds = ∫ √(dx² + dy²) = ∫ √(1+ y'²) · dz

essendo posto dy/dx = y' = z

ds = (dx² + dy²)^1/2 = (1 + z²)^1/2 dx

ℓ = ∫ ds = ∫₀^t (1 + z²)^1/2 dx

perciò vale lo sviluppo in serie

(1 + x)ⁿ = 1 + n x + _n-1/² n x² + .....

(1 + z²)^1/2 = 1 + ¹/₂z² - ^z&sup4;/₈ + .....

arrestando lo sviluppo al 3° termine e sostituendo si ha:

L_g = ℓ [ 1 + ⁸/₃ (^f_g/_ℓ)² + _yB²/ℓ²e² - ³²/₅ (^f_g/ℓ)&sup4; - ¹/₈ (_yB/ℓ)&sup4; ]

arrestando lo sviluppo al 2^o termine si ottiene:

L_g = l [1 + ⁸/₃ (^f_g/_e)² (^y_B/_e)² 1/2 ](se f_g/e << 1)

La lunghezza iniziale L_o differisce da L_g per la

variazione elastica della fune:

L_o = L_g - ^H_g/_EΔ ∫_s (1+y'²) dz =

= L_g - ^H_g/_EΔ l [1 + ¹⁶/₃ (^f_g/_e)² + (^y_g/_e)² ]↓

L_o = L_g - ^H_g/_EΔ ⋅ L_s (12)

avendo posto L_s = l [ 1 + ¹⁶/₃ (^f_g/_e)² + (^y_g/_e)²]

Se i vincoli sono posti a livello (_yB=0) e (y₁ = f_g)

y_g = 4 f_g [^z/_e - (z/e)²](7')

L_g = l [1 + ⁸/₃ (^f_g/_e)² - ³²/₅ (^f_g/_e)⁴](10')

L_g = l [1 + ⁸/₃ (^f_g/_l)²](11')

L_o = L_g - ^H_g/_EΔ ⋅ l [1 + ⁶/₃ (^f_g/_e)²](12')

-4-

CARICO ACCIDENTALE e SALTO TERMICO

La reazione verticale in A vale:

VA=VA*+H yB/e

dove VA = reazione di trave...

Nella nuova configurazione il momento flettente inogni sezione vale zero ed è espresso dalla:

M°-H (yg+v)=0 (1)

dove M°=Mg+Ma...

posto H=Hg+Ha...

M*a-H v - (...)

V=Ma-(H-Hg)  ygH (2)

se si conosce...

Per la ricerca della H dovrà esprimersi la condizione che lo sviluppo della fune nella configurazione attuale dovrà essere uguale a quello iniziale a meno della variazione elastica e delle variazione per effetto termico.

L = Lg + _H-tg/^EΔ ∫_ds/cosα ± ℓωΔt.Lg

L = Lg + _H-tg/^EΔ Ls ± ℓωΔt.Lg

(3)

In prima approssimazione, applicando il P.L.V. al sistema in equilibrio sotto i carichi fissi ed agli spostamenti effettivi si ha:

g ∫_l v.dz = _Hg/^EΔ H_a ∫_ds/cos²α ± H_g ωΔt ∫_ds/cosα

Dallo sviluppo in serie arrestato al 2^o Termine:

g ∫_l v dz = _{Hg Ha}/^EΔ l [ 1 + 8(_fg/_e)² + 3/2 (_yg/_e)² ] + H_g ωΔt l_s

Tenendo conto della (2) v = M^o_a (_{H - Hg}/_H) y_g

g/Ĥ ∫^l_l M^a_o dz ∓ g/(H) (^H_g/_H - 1) ∫^l_l y_g dz = _{Hg Ha}/^EΔ l [ 1 + 8(_fg/_e)² + 3/2 (_yg/_e)² ] ±

± H_g ωΔt l_s.

- 6 -