Equazioni differenziali, problema di Cacuchy e studio qualitativo

Equazioni differenziali ordinarie

F(x, y^(k1), ..., y^(kn)) = 0

y^(ki) = D_y^ki con ki = 1, ..., n

Eq. in forma esplicita del primo ordine

y'(x) = f(x, y(x))

y'(x) = [_{y1' (x)}, ..., _{yn' (x)}]

f₁(x, y₁, ..., y_n), ..., f_n(x, y₁, ..., y_n)

Definizione

L'integrale generale dell'equazione è la totalità delle soluzioni dell'equazione differenziale. ⇒ il problema è la molteplicità delle soluzioni ⇒ problema di Cauchy.

EDO del I ordine lineare

y' = a(x)y(x) + b(x)

y' = a(x) y(x) + b(x)

f(x, y) = a(x)y + b(x)

Soluzione: y(x) = e^A(x) [C + ∫ e^-A(x) b(x) dx]

EDO del I ordine a variabili separabili

y' = g(x) ∙ h(y(x))

Equazioni differenziali ordinarie

F(x, y, y, ..., y⁽ⁿ⁾) = 0

y^(k) = D_x^ky con k = 1, ..., n

Equazione in forma esplicita del I ordine

y'(x) = f(x, y(x)), f ∈ C((a, b) x Rⁿ) a valori in Rⁿ)

y'(x) = [ y₁'(x) ] = [ f₁(x, y₁, ..., y_n) ]

EDO del I ordine lineare

y' = a(x) y(x) + b(x)

y' = a(x) y(x) + b(x)

f(x, y) = a(x)y + b(x)

Soluzione: y(x) = e^A(x) [ C + ∫ e^-A(x) b(x) dx ]

A(x) = ∫ a(x) dx , C ∈ R

EDO del I ordine a variabili separabili

y' = g(x) A(y(x))

y' = g(x) h(y(x))

∫ ^y _y0 (1/h(y))dy = ∫^x _x0 g(t) dt con y(x₀) = y₀

Esempio

y'(x) = x · ^e/_y(x)

y(0) = 1 calcol. ai congχy

e^-y dy = x dx

∫_y(0)^y(x) ye^-y dy = ∫₀^x x dx per parti

-ye^-y|_y(0)^y(x) + ∫₁^y(x) e^-y dy = ^x2/₂|₀^x

-y(x)e^-y(x) + e^-1 - e^-y(0) = ^x2/₂

-y(x)e^-y(x) + ¹/_e - e^-x + ¹/_e = ^x2/₂

Soluzione: + ²/_e - e^-y(x) - y(x)·e^y(x) = ^x2/₂

OSS

y(x) è ricavabile applicando il th. della funzione implicita a F(x,y) = -ye^-y + ²/_e - ^x2/₂ = 0.

Fissiamo il punto xo=0, yo=1 e calcoliamo F(0,x) che fa zero F(x,1) = 0.

Facciamo ∂F/∂y = -e^-yye + e^-y e calcoliamo nell'altro

∂F/∂y(0,1) = ¹/_e ≠ 0

Sappiamo che la funzione implicita verifica:

y'(x) = -∂F(x,y(x))/∂x = x·e^y(x)/_y(x)

∂F(x,y(x))/∂y

Edo delle equazioni omogenee

ey'' + by' + cy = f

con b, c costanti,

f (ø,ü)→R continua

equazione caratteristica: λ² + bλ + c = 0

• b² - 4c > 0 due soluzioni reali e distinte λ₁ e λ₂ ⇒ g_yn = c₁e^λ₁x + c₂e^λ₂x
• Δ = 0 y_om = c₁ e^λx + c₂ x e^λx
• Δ = 1;2 = α ± iβ parte reale parte immaginaria x, β ∈ R ⇒ y_om = e^αx (C₁ cosβx + C₂ sinβx) termino di amplificazione (se x = 0) ⇒ oscillazione sempre più ampia

Soluzione completa e integrale generale

y(x) = y_om(x) + y_p(x)

Soluzione particolare

Metodo di somiglianza

• f(x) = P(x) e^μx ⇒ y_p(x) = Q(x) e^μx x^r
• caso grado con μ^r = 0 se μ ≠ λ_i
• μ^r = 1 se μ = λ₁ se Δ ha molteplicità 1 (Δ > 0)
• μ^r = 2 se μ = λ_i se Δ ha molteplicità 2 (Δ = 0)
• f(x) = P(x) e^μx cos (ωx) ⇒ y_p(x) = - e^μx [Q₁(x) cos (ωx) + Q₂(x) sin (ωx)] x^r con β = {0 se μ + iω ≠ λ_i; 1 se μ + iω = λ_i}

Esempio

es. y'' + y = e^x sin x λ = iω α = 0 β=1 ⇒ y_p = e^x (A cos x + B sin x)

Problema di Cauchy

y'(x) = f(x, y(x)), x ∈ I, f ∈ C(IxR) _(PC)