Equazioni differenziali, problema di Cacuchy e studio qualitativo

Equazioni differenziali (ordinarie)

due incognite y = y(x) e può essere anche vettoriale

F(x, y⁽¹⁾, y⁽ⁿ⁾) = 0

Variabile da cui tutto dipende

y^(k) = D_x^ky

con k=1,..., n

L'equazione in forma esplicita dei 1 ordine è:

y'(x) = f(x, y(x)) f e C ((a, b) Rⁿ) a valori su Rⁿ

= 0 scalare o vettoriale

y'(x) = [y¹(x)] = [f₁(x, y₁, ..., y_n)]

..... = [yⁿ(x)] = [f_n(x, y₁, ..., y_n)]

Def

L'integrale generale dell'equazione è la totalità delle soluzioni

dell'equazione differenziale (y e C¹ ((a, b) ; Rⁿ))

⇒ il problema è la molteplicità delle soluzioni ⇒ problema di Cauchy.

EDO del 1 ordine lineare

y' = a(x)y(x) + b(x)

y' = ȧ(x)y(x) + b(x) con a, b, I c R → R continue

f(x, y) = a(x)y + b(x)

soluzione:

y(x) = e^A(x) [C + ∫ e^-A(x) b(x) dx]

con A(x) = ∫a(x) dx , C c R

EDO del 1 ordine a variabili separabili

y' = g(x) ⋅ h(y(x))

y' = g(x) ⋅ h(y(x)) con g: (a, b) → R , h: R → R

g, h continue , h ≠ 0

∫(y₀, y(x)) dy/h(y) = ∫(x₀, x) g(t) dt con y(x₀) = y₀

EX

\( y'(x) = x \frac{e}{y(x)} \)

\( y(0) = 1 \) calcol. ai canoni

\( y(x) \)

\( y e + dy = x dx \)

\( \int_1^{y(x)} y e + dy = \int_0^x x dx \)

per parti

\( -ye^{-y} \Big|_1^{y(x)} + \int_1^{y(x)} e^{-y} dy = \frac{x^2}{2} \Big|_0^x \)

\( -y(x) e^{-y(x)} + e^{-1} - e^{-y(x)} = \frac{x^2}{2} \)

\( y(x) e^{y(x)} + \frac{1}{e} - e^{-y(x)} = \frac{x^2}{2} \)

Soluzione: \( + \frac{1}{e} = e^{y(x)} - y(x) e^{y(x)} = \frac{x^2}{2} \)

OSS. \( y(x) \) è ricavabile applicando il th. della fne inversa

a \( F(x,y) = -y e^{-y} e + \frac{x^2}{2} = 0 \)

Premettiamo il pto xo=0, yo=1 e calcoliamo F(x,y) che fa zero \( F(a_1) = 0 \)

Facciamo \( \frac{\partial F}{\partial y} = -e^{-y} y e^{-y} x + e^{-y} \) e calcoliamo nell'pto

\( \frac{\partial F}{\partial (0,1)} = \frac{1}{e} + 0 \)

Sappiamo che la fne inversa verifica

\( y'(x) = - \frac{\partial F}{\partial x} (x,y(x)) = \frac{x e}{y(x)} \)

\( \frac{\partial F}{\partial (x,y(x))} = \frac{e}{y(x)} \)

EDO del II ordine lineare \( y'' + by' + cy = f \)

\( y'' + by' + cy = f \)

\( \text{cal } b, c \text{ costanti} \)

\( f(a,b) \to \mathbb{R} \) continua

quia caratteri \( \lambda^2 + b \lambda + c = 0 \)

1) \( b^2 - 4c \geq 0 \)

2) due rielui reali: \( \lambda_1, \lambda_2 \)

\( \Rightarrow \) che caratteri

\( y_{pn} = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x} \)

OSS: Nota che stiamo in condizione iniziale

stiamo in y(0) = y₀ con y₀ ≠ 0 e verifica la

continuità di Lipschitz in un intorno di y₀.

Sempre y₀ ≠ 0 allora prima, con y₁, y₂ >0,

f(y₁) - f(y₂) = f'(c)(y₁ - y₂) per la generale

allora:

|f(y₁) - f(y₂)| = |f'(c)| |y₁ - y₂| ≤ L|y₁ - y₂|

⇒ è suff. che f'(c) esista limitata in un intorno di y₀

Notiamo allora che nel esempio specifico f'(c) = 2/3 c^{-1/3}

è limitata su tutti gli intervalli del tipo [A,+∞), A>0

▵ Come posso allora a verificare la local di Lipschitz?

Affinchè lip. sia verificata è sufficiente che

1. ∂f/∂y esista in I×J, con I intorno di x₀ ∈ I

   con J in ¯︁y₀ e y ∈ J

2. ∂f/∂y continuo in I×J (Weierstrass)

   ⇒ la derivata è limitata almeno in un intorno

   del tipo

   infatti |f(x,y₁) - f(x,y₂)|= |∂f/∂y(x, C)| |y₁ - y₂| per Lagrange

   ⇒ L = max