Equazioni di Maxwell in forma locale, onde elettromagnetiche

Equazioni di Maxwell in forma locale

Si ricordino le quattro equazioni di Maxwell:

∭ ∬ ⃗ ⃗ ( ) - dρdV B ∙ dS d Φ Q∯ ∮ ∮ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗tot E = = + E ∙ dS E ∙ dl = B ∙ dl = μ I ε₀ 0ε ε dt dt₀ 0

(Tenendo conto del fatto che il flusso del campo magnetico su una linea chiusa è 0). Nella fisica classica la propagazione del campo elettrico e del campo magnetico è istantanea, nella realtà la velocità massima è la velocità della luce. Per applicare le modifiche tenendo conto di questa considerazione, le equazioni di Maxwell si possono scrivere in forma locale, scrivendo i flussi e le circuitazioni rispettivamente come divergenze e rotori dei rispettivi campi.

Rotore e divergenza

Una divergenza di un determinato campo vettoriale è il prodotto scalare fra il vettore gradiente del campo ed il campo stesso:

( ) ∂ ∂ ∂⃗ ⃗ ⃗∇ = + + = ∙ E E E E E_x y z ∂x ∂y ∂z

Mentre il rotore di un campo vettoriale è invece il prodotto scalare fra il vettore gradiente del campo ed il campo stesso:

( ) ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⃗ ⃗∇ = - - - × E E E, E E, E E_z y x z y x ∂y ∂z ∂ ∂x ∂x ∂z y

Questo seguendo le regole del modulo del prodotto vettoriale. Data la seguente situazione:

⃗⃗ ⃗a ∙ b × c

Nonostante possa sembrare una scrittura ambigua, in realtà è ben definita, poiché se si facesse prima il prodotto scalare fra i primi due vettori, in seguito si farebbe il prodotto vettoriale fra uno scalare (risultato del prodotto scalare dei primi due vettori) e l’ultimo vettore, cosa non possibile. Quindi va prima fatto il prodotto vettoriale. Inoltre, il risultato sopra è uguale a 0, questo perché, seguendo o il parallelismo o la perpendicolarità fra vettori, almeno uno fra il prodotto scalare o il prodotto vettoriale si annulla, di conseguenza la divergenza di un rotore è sempre nulla.

Adesso si dimostri come la divergenza del campo elettrico sia legata al suo flusso. Si ha una situazione del genere:

(L’asse delle x è orientato da sinistra a destra). Ossia si ha un volume infinitesimo, si ha dalla figura e dato l’orientamento del campo elettrico e dei versori normali alle superfici normali, si nota da subito che i contributi al flusso in E_y e E_z sono nulli. Si ha che:

∯ ⃗ ⃗ ( ) ( )( )∙ = - E + + dx E x, y, z dS x, y, z dydz E x, y, z dydz_{x x}

Il primo termine a sinistra rappresenta la faccia il cui versore esce verso sinistra, il secondo rappresenta la faccia in cui esce verso destra, in cui vi è l’incremento dx. Ma notiamo che quella differenza, a meno di un infinitesimo, è uguale alla derivata parziale della funzione rispetto a x, si può quindi moltiplicare e dividere per dx e ottenere:

= ∂x( ) ( ) - E x + dx, y, z x, y, z ∂x x = (xlim E, y, z)_x dx ∂x dx → 0

Quindi alla fine si ha:

∂ ∂( ) ( )E x, y, z dxdydz = E x, y, z dV_{x x} ∂x ∂x

Si può ripetere il procedimento analogamente per le altre due variabili e y, per ottenere alla fine:

( )dVρ x, y, z ∂ ∂ ∂ ∯ ⃗ ⃗( ) ( ) ( ) + + = (xE x, y, z dV E x, y, z dV E x, y, z dV E, y, z)∙ dS ≈_{x y z} ∂x ∂y ∂z ε 0

Si semplifica l’infinitesimo di volume e si ha alla fine:

)ρ(x, y, z ∂ ∂ ∂ ⃗ ⃗( ) + ( ) ( ) = ∇ + = E x, y, z E x, y, z E x, y, z ∙ E_x y z ∂x ∂y ∂z ε 0

Tenendo sempre conto delle ortogonalità. Se il rotore di un campo vettoriale è nullo, si dice che il campo è conservativo e si può definire il suo potenziale. Infatti, per il vettore campo elettrico esiste il potenziale elettrico definito come:

= - ⃗⃗ ∇E V

Se la divergenza di un campo vettoriale è nulla, allora esiste un vettore tale che il suo rotore è uguale al campo vettoriale stesso:

⃗ = ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗∇ ∃ ∇=0∙ B → A : B × A

Per quel che riguarda la seconda formula locale si ha:

-∂ ⃗Φ❑ ( ) - ∂ B x, y, z, t ∫ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗B∇ ∇ = × E ∙ dS = → × E ∂t ∂t_S γ

Nel caso stazionario si