Equazioni di Maxwell in forma locale, onde elettromagnetiche

EQUAZIONI DI MAXWELL IN FORMA LOCALE

Si ricordino le quattro equazioni di Maxwell:

∭ ∬ ⃗ ⃗ ( )

−d

ρdV B ∙ d S d Φ

Q

∯ ∮ ∮ ⃗

⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

tot E

= = +

E ∙ d S E ∙ d l= B ∙ d l=μ I ε

0 0

ε ε dt dt

0 0

(Tenendo conto del fatto che il flusso del campo magnetico su una linea chiusa

è 0).

Nella fisica classica la propagazione del campo elettrico e del campo magnetico

è istantanea, nella realtà la velocità massima è la velocità della luce. Per

applicare le modifiche tenendo conto di questa considerazione, le equazioni di

Maxwell si possono scrivere in forma locale, scrivendo i flussi e le circuitazioni

rispettivamente come divergenze e rotori dei rispettivi campi.

ROTORE E DIVERGENZA

Una divergenza di un determinato campo vettoriale è il prodotto scalare fra il

vettore gradiente del campo ed il campo stesso:

( )

∂ ∂ ∂

⃗ ⃗ ⃗

∇ = + + =¿

∙ E E E E E

x y z

∂x ∂y ∂z

Mentre il rotore di un campo vettoriale è invece il prodotto scalare fra il vettore

gradiente del campo ed il campo stesso:

( )

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⃗ ⃗

∇ = − − −

× E E E , E E , E E

z y x z y x

∂ y ∂ z ∂ ∂ x ∂ x ∂

z y

Questo seguendo le regole del modulo del prodotto vettoriale.

Data la seguente situazione:

⃗

⃗ ⃗

a ∙ b × c

Nonostante possa sembrare una scrittura ambigua, in realtà è ben definita,

poiché se si facesse prima il prodotto scalare fra i primi due vettori, in seguito

si farebbe il prodotto vettoriale fra uno scalare (risultato del prodotto scalare

dei primi due vettori) e l’ultimo vettore, cosa non possibile. Quindi va prima

fatto il prodotto vettoriale.

Inoltre, il risultato sopra è uguale a 0, questo perché, seguendo o il parallelismo

o la perpendicolarità fra vettori, almeno uno fra il prodotto scalare o il prodotto

vettoriale si annulla, di conseguenza la divergenza di un rotore è sempre nulla.

Adesso si dimostri come la divergenza del campo elettrico sia legata al suo

flusso.

Si ha una situazione del genere:

(L’asse delle x è orientato da sinistra a destra).

Ossia si ha un volume infinitesimo, si ha dalla figura e dato l’orientamento del

^

campo elettrico e dei versori normali alle superfici , si nota da subito che i

n

E E

contributi al flusso e sono nulli. Si ha che:

y z

∯ ⃗ ⃗ ( ) ( )

( )∙ =−E + +dx

E x , y , z d S x , y , z dydz E x , y , z dydz

x x

Il primo termine a sinistra rappresenta la faccia il cui versore esce verso

sinistra, il secondo rappresenta la faccia in cui esce verso destra, in cui vi è

l’incremento . Ma notiamo che quella differenza, a meno di un infinitesimo

dx

è uguale alla derivata parziale della funzione rispetto a , si può quindi

∂ x x

moltiplicare e dividere per e ottenere:

dx=∂ x

( ) ( )

−E

E x+ dx , y , z x , y , z ∂

x x = (x

lim E , y , z)

x

dx ∂x

dx→ 0

Quindi alla fine si ha:

∂ ∂

( ) ( )

E x , y , z dxdydz= E x , y , z dV

x x

∂x ∂x

Si può ripetere il procedimento analogamente per le altre due variabili e

y

, per ottenere alla fine:

z ( )dV

ρ x , y , z

∂ ∂ ∂ ∯ ⃗ ⃗

( ) ( ) ( )

+ + = (x

E x , y , z dV E x , y , z dV E x , y , z dV E , y , z)∙ d S ≈

x y z

∂x ∂y ∂z ε 0

Si semplifica l’infinitesimo di volume e si ha alla fine:

)

ρ(x , y , z

∂ ∂ ∂ ⃗ ⃗

( )+ ( ) ( )= ∇

+ =

E x , y , z E x , y , z E x , y , z ∙ E

x y z

∂x ∂y ∂z ε 0

Tenendo sempre conto delle ortogonalità.

Se il rotore di un campo vettoriale è nullo, si dice che il campo è conservativo e

si può definire il suo potenziale. Infatti, per il vettore campo elettrico esiste il

potenziale elettrico definito come:

=−⃗

⃗ ∇

E V

Se la divergenza di un campo vettoriale è nulla, allora esiste un vettore tale

che il suo rotore è uguale al campo vettoriale stesso:

⃗ =⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

∇ ∃ ∇

=0

∙ B → A : B × A

Per quel che riguarda la seconda formula locale si ha:

−∂ ⃗

Φ

❑ ( )

−∂ B x, y ,z ,t

∫ ⃗

⃗ ⃗

⃗ ⃗

B

∇ ∇ =

× E ∙ dS= → × E

∂t ∂t

S γ

Nel caso stazionario si ha:

⃗ ⃗ ×(−⃗

⃗

∇ ∇ ∇

=0→ )=0

× E V

Ma dato che il rotore è nullo, si può sfruttare la simmetria , per

a × a=−a × a

ottenere che il campo elettrico è il gradiente negativo della differenza di

potenziale.

Per quel che riguarda la quarta equazione di Maxwell si ha:

( )

⃗

∂ E

⃗ ⃗ ⃗

∇ =μ +

× B J ε

0 0 ∂t

Se andiamo a fare la divergenza del rotore sopra, si avrà:

( )

⃗ ( ) ( )

∂ E ∂ ∂ρ

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

∇ ∇ ∇ ∇ ∇ ∇ ∇

=μ + =μ + =μ +

∙ × B ∙ J ε ∙ ∙ J ε ∙ E ∙ J

0 0 0 0 0

∂t ∂t ∂t

L’equazione finale è detta “equazione di continuità”, risultante nulla per le

regole della divergenza di un rotore dette sopra. Si verifica che la divergenza

del vettore densità di corrente è nulla se e solo se il secondo termine fra le

parentesi nella formula finale è nullo, ma la variazione temporale di densità di

carica volumetrica è assumibile come la variazione temporale di carica, quindi:

( )

∂ρ ∂ρ dQ

⃗ ⃗

∇ + =0 =0 =0

μ ∙ J ↔ →

0 ∂t ∂t dt

Questa conclusione implica anche il ragionamento per la corrente di

spostamento ed il termine mancante: nel caso stazionario la variazione di

⃗

corrente e la divergenza del vettore sono entrambi nulli, mentre nel caso

J

analizzato per il termine mancante (il condensatore che si caricava e il fatto

che se si fossero prese due superfici diverse, si sarebbe avuta una corrente

⃗ ⃗

diversa) il condensatore si stava caricando, quindi non era nulla in quel

∇ ∙ J

caso, e si aveva:

−dQ

∯ ⃗ ⃗ =

J ∙ d S dt ONDE ELETTROMAGNETICHE

Analizzate le equazioni ottenute, si abbia il caso particolare in cui ci si trovi

lontani dalle cariche, le equazioni diventano:

⃗ ⃗

−∂ B ∂ E

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

∇ ∇ ∇ ∇

=0, =0, = =μ

∙ E ∙ B × E , × B ε

0 0

∂t ∂t

Infatti, non ci sono né correnti né cariche, ma solo i campi. Consideriamo

adesso i due campi come dipendenti solo dall’ascissa e dal tempo:

⃗ ⃗

( ) (x

E x , t , B ,t)

Si può subito dire, nell’ambito della prima e della seconda equazione che:

∂ ∂

=0, =0

E B

x x

∂x ∂x

Mentre per quel che riguarda la terza, seguendo le regole del prodotto

vettoriale: −∂ B

∂ ∂ x

− =

E E

z y

∂y ∂z ∂t

Ma dato che non ci sono dipendenze dalla , si ha semplicemente:

x

−∂ B x =0

∂t

Ma allora, seguendo lo stesso ragionamento, anche per la quarta si avrà:

∂ E x =0

μ ε

0 0 ∂t

E fino a qui non si è concluso niente, ma adesso si analizzino le altre

componenti dei due rotori, partendo dalla terza equazione:

−∂ −∂

B B ∂B

∂ ∂ ∂ ∂

y y y

− = = =

E E →− E → E

x z z z

∂z ∂x ∂t ∂x ∂t ∂x ∂t

Si eliminano sempre le derivate che non sono rispetto a , essendo nulle,

x

andando avanti:

−∂ −∂

B B

∂ ∂ ∂

z z

− = =

E E → E

y x y

∂x ∂y ∂t ∂x ∂t

Si analizzino le altre componenti del rotore del campo magnetico, applicando lo

stesso ragionamento per quello del campo elettrico:

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− =μ =μ

B B ε E →− B ε E

x z 0 0 y z 0 0 y

∂z ∂x ∂t ∂x ∂t

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− =μ =μ

B B ε E → B ε E

y x 0 0 z y 0 0 z

∂x ∂y ∂t ∂x ∂t

Quindi alla fine, si sono ottenute:

−∂

∂B B

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

y z

= = =μ =μ

E , E ,− B ε E , B ε E

z y z 0 0 y y 0 0 z

∂x ∂t ∂x ∂t ∂x ∂t ∂x ∂t

In generale, con le equazioni di Maxwell si hanno 8 equazioni (quelle scalari dei

flussi forniscono 2 soluzioni, quelle vettoriali con le circuitazioni 6, che sono le

componenti di ciascun vettore), ma le incognite sono solo le 6 componenti dei

vettori campo elettrico e magnetico. Alla fine, inoltre le equazioni utili sono 4

poiché lo spazio è quadridimensionale.

Combinando le formule ottenute prima, si può ottenere una formula finale

rappresentante le onde elettromagnetiche piane:

2 2 2

−∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= =μ =

E B →− B ε E → E μ ε E

y z z 0 0 y y 0 0 y

2 2 2

∂ x ∂t ∂x ∂t

∂ x ∂ x ∂ t

Nell’equazione ho invertito le derivate parziali rispetto a e a poiché

x t

sono indipendenti.

L’equazione:

2 2 2 2

∂ ∂ ∂ 1 ∂

− =0→ − =0

E μ ε E E E

y 0 0 y y y

2 2 2 2 2

∂x ∂t ∂x c ∂t 1

=

μ ε

È proprio l’equazione delle onde elettromagnetiche, ricordando che . I

0 0 2

c

due campi vettoriali sono simmetrici e ortogonali fra loro, come si è visto dalle

formule sopra.

Dato che la direzione di propagazione dell’onda, il campo elettrico e il campo

magnetico sono ortogonali, l’onda è trasversale (ossia fenomeno e direzione

dell’onda sono ortogonali), mentre se la propagazione e i campi fossero stati

paralleli