Meccanica dei Fluidi - Eq di Navier Stokes/Flussi interni/Eq di Reynolds

ARGOMENTI LEZIONI:

Analisi delle deformazioni di un fluido:

1. Ideale.
2. Reale:
   1. Fluido Stokesiano.
   2. Fluido Newtoniano.
      • Equazione costitutiva dei fluidi newtoniani.

Equazioni e permettono di studiare il moto di un fluido:

• (1) 𝜙_x CONTINUITÁ ➔ ∂∫𝜏(𝜏𝐯) = 0
• (2) Conservazione lineare:
  • Equilibrio dei fluidi statici ➔ 𝜌(𝎑 = 𝎑) = ∇𝗕
  • Bilancio quantità di moto: ➔ ∂ ∫ (𝜌𝐫);
• (3) Moto ➔ 𝜌 = 𝜌(𝗕).
• (4) PROCESSI ISOTERMICI ➔ 𝜌 ≠ 𝜈(𝗕, 𝜌)
• FLUIDO INCOMPRIMIBILE ➔ ∂ ∫𝜏 con.

Condizione (4) non relativa:

Vettore di caratteristiche del moto di un fluido: 𝜌, δ, v(𝜅, 𝔉, 𝜈, 𝜌), 𝐭, 𝜌(𝐯), 𝜈(𝐯) = 10!

Per caratterizzare completamente il moto di un fluido occorrenza oltre 5 Eq. che vengono di ricerca nel COMPORTAMENTO REOLOGICO il fluido, ovvero come si deforma “il fluido” lato un moto di forze.

ANALISI DEFORMAZIONE DI UN FLUIDO

1. FLUIDO IDEALE
   • Per definizione il fluido ideale:

   𝗕 - 𝗕;

   • x = 0, y = 0, z = 0 ➔ 𝗮
   • γ x = 𝜌; δ y = 𝜌; δ z = 𝜌 = 𝗮;
   • δ z = │𝜌 y_'│_𝜋ₒ + Sub{y'};

   <0 >5 incognite ➔ Eq. 1 𝟬 Euler.

2. FLUIDO REALE

   {…}<≠>

   x, dx, y+dy, z+dz, ⌀

   ̲▬

3. γ

   58 ➔ MOTO STAZIONARIO

   • 𝜌, 𝜌, 𝜌, x+dx
   • (𝜅, t = t₀);

4. 𝜌,

   • 𝜌(y, z, t);
   • y₀, z₀, t₀

   V≻

   x, t_𝜌𝜌

   • 𝗩 ∇ = 𝗨(,

V̅_P = ∇(P_o) ∉ V̅ = ∇(P)

⇒ V̅ = V̅_o + ^dV̅_dx|_{xo, yo, zo} dx + ^dV̅_dy|_{xo, yo, zo} dy + ^dV̅_dz|_{xo, yo, zo} dz

V̅_o + Â ∙ u̅_P

Dove:

u̅ =

• dx
• dy
• dz

• dV_x/dx dV_x/dy dV_x/dz
• dV_y/dx dV_y/dy dV_y/dz
• dV_z/dx dV_z/dy dV_z/dz

Possibili effetti dello spostamento da B a P:

1. TRASLAZIONE RIGIDA
2. DEFORMAZIONE LINEARE
3. ROTAZIONE RIGIDA
4. DEFORMAZIONE ANGOLARE

Studiamo' gli effetti di vari elementi su un elementino di fluido.Per semplicità e chiarezza si farà riferimento al sistema bidimensionale.

a. t=T_o + dt V_o (con causare una TRASLAZIONE RIGIDA

 → per capire gli effetti di  devono scompoloe:  = Ð + ß̅

Ð =

• 1/2((dV_x/dy + dV_y/dx) (dV_x/dz + dV_z/dx))
• (dV_y/dz + dV_z/dy))

• 1/2( (dV_x/dy — dV_y/dx) (dV_x/dz — dV_z/dx))
• (dV_y/dz — dV_z/dy))

Ð → Consider solo gli effetti presenti sulla diagonale: studio' l’elemento che agina sull'axe x

Def o H di Fluido Newtoniano:

Fluido Stokesiano

1. φ_dev = ƒ(B) È un legame lineare

Ovvero:

1. ⟨σ̇_x-P = μ_xx D_xx + μ_xy D_yy + μ_xz D_zz
2. ⟨σ̇_y-P = μ_yx D_xx + μ_yy D_yy + μ_yz D_zz
3. ⟨σ̇_z-P = μ_zx D_xx + μ_zy D_yy + μ_zz D_zz

Don Hous non vi coefficienti moltiplicativi.

Equazione costitutiva dei fluidi newtoniani

Dimostrazione:

⟨σ̇_P = φ(B)

⟨σ̇_x-P = μ_xx D_xx + μ_xy D_yy + μ_xz D_zz

⟨σ̇_y-P = μ_yx D_xx + μ_yy D_yy + μ_yz D_zz

⟨σ̇_z-P = μ_zx D_xx + μ_zy D_yy + μ_zz D_zz

(...) = ⟨σ̇_x-P = μ_xx = μ_zz = θ ℓ μ_ij = b con i ≠ j

e a (e a - b) (b D_xy + b D_yz = (a - b) D_xy + b (D_xx + D_yy + D_zz)

b (D_yz + b D_zx) = (a - b) D_yz + b (D_xx + D_yy + D_zz)

Ricordare di D_xx + D_yy + D_zz = ∂v_x / ∂x + ∂v_y / ∂y + ∂v_z / ∂z = ▽·❚V

Riscrivendo tutto in forma matriciale:

φ̂ = ⟨σ̇_P = ℓ ▽❚ Ĩ + (a - b) Ĩ

φ̂ = PI + b ▽❚ Ġ + (a - b) ⟩

Dimostriamo il valore dei coefficienti a e b:

Per calo consider fuori degli elementi extra-diagonali ( non è più diagonale),

φ_xy = (a - b) D_xy

1. 1/2 (a - b) (∂v_x / ∂y + ∂v_y / ∂x)

da deformazioni el fluido

1. 1/2 (a - b) dv_x / dt

ma φ_xy = τ_xy = μ ⟨σ̇ dv _·dt

per legge di Newton

1. 1/2 (a - b) = - μ

a - b = -2μ

Sostituendo nell'equazione il risultato trovato:

φ̂ = ⟨σ̇_P + b ▽❚ × 2 μĨ

Sui diagonali: (⟨σ̇_x + b ▽· ∇ - 2 μ) ℓdI

Lez. 14

martedì 17 novembre 2020

16:22

ARGOMENTI LEZIONI:

Soluzioni analitiche eq. Navier-Stokes:

1. Moto di Poiseuille in condotta cilindrica:
   • Metodo integrale.
   • Approccio differenziale.
2. Moto di Couette.
3. Flusso piano di Poiseuille.
4. Flusso di Couette-Poiseuille.

A causa della forma e alcuni termini che compongono le equazioni quest'ultime risultano difficilmente risolvibili:

• TERMINI VISCOUS ⟶ tendono le equazioni un sistema ELLITTICO (o SOLUZIONE IMPLICITA).
• Molti di noi nuove accettate per cui non è possibile scrivere 2 eq. distinte per ricavare queste variabili.
• TERMINI VERBIE LOCALI E NON LINEARE (impossibile la risoluzione analitica).

In alcuni casi è possibile ricavare la soluzione analitica:

SOLUZIONI ANALITICHE EQUAZIONI DI NAVIER-STOKES.

1) MOTO DI POISEUILLE IN CONDOTTE CILINDRICHE.

a) FORMULA DI POISEUILLE METODO A

IPOTESI:

1. MOTO LAMINARE ⟶ ∇w = 0
2. MOTO STAZIONARIO ⟶ ᶯ = 0
3. FLUIDO INCOMPRIMIBILE ⟶ ρ = cost ᶯ∇•ᶯ = 0
4. FLUIDO PESANTE ⟶ = -gρ∇z. = -γ∇z

CONDIZIONI AL CONTORNO:

1. CONDIZIONE DI ADERENZA
2. μ(m = ᶯ) |m = ᶯ| = 0
3. μ(m = 0) = V velocita massima.

DIMOSTRAZIONE:

z+ * Ↄ= o

Ↄ

⟶ moto uniforme lungo c l'asse

1. ⟶⟶⟶⟶
2. z+
_