Meccanica dei Fluidi - Eq di Navier Stokes/Flussi interni/Eq di Reynolds

Lez. 12

martedì 17 novembre 2020   16:22

ARGOMENTI LEZIONI:

Analisi delle deformazioni di un fluido:

1. Ideale.
2. Reale:
   1. Fluido Stokesiano.
   2. Fluido Newtoniano.
      • Equazione costitutiva dei fluidi newtoniani.

Equazioni da premettersi per studiare il moto di un fluido:

1. Eq di continuità     div &bar;v&bar; + ∇(ρ &bar;v&bar;) = 0
2. → conservazione della massa.
3. Eq. Implicita di equilibrio dinamico → ρ(Ф – &bar;x&bar;) = ∇Ф
4. → Bilancio delle quantità di moto.
5. Eq. di stato → ρ = ρ (p, ˜Θ)
6. → Processi isoteri → ρ = ρ (p).
7. Fluido incompresibile → ρ = ρ = const.

Corrispondenza con eq. reali:

Variabili che caratterizzano il moto di un fluido: ρ, p, μ, ν, ∇ (μ_∞, ν (rə and ğ mga), (рэ Õç)(é)), Ф(x, y, z χ ẋ θo ζy τ) = 10!。

Per caratterizzare completamente il moto di un fluido occorrono oltre 5 eq. che sono ricavate nel comportamento reologico del fluido, ovvero come si deforma “il fluido” sotto una certa impon.

ANALISI DEFORMAZIONE DI UN FLUIDO

1. Fluido Ideale

   Per istanti di fluido ideale:

   Ф = P&fr;z - Ⅰ

   => ˟ r = z = &zeta = P &implant; y, z &kitx; x&cup nα = -

   => 5 eq., 5 incognite  → Eq. 1^a Eulero.

2. Fluido reale
   • p (x + dx, y + dy, z + dz, t-t₀)
   •  → moto stazionario

Lez. 12

martedì 17 novembre 2020 16:22

ARGOMENTI LEZIONI:

Analisi delle deformazioni di un fluido:

• Ideale.
• Reale:
  • Fluido Stokesiano.
  • Fluido Newtoniano.
    • Equazione costitutiva dei fluidi newtoniani.

Equazioni che permettono di individuare il moto di un fluido:

1. Eq di continuità → ∂ρ/∂t + ∇(ρ v) = 0
2. → Conservazione della massa.
3. Eq. Impulsi dei fluidi ideali → ρ(F - ) = ∇Φ
4. → Bilancio della quantità di moto.
5. Eq. di stato → ρ = ρ(, ĝ)
6. ⇨ processi isotermi ⇨ ρ = ρ (Φ).

✅ fluido incomprimibile ⇨ ρ = cost.

Corripond. a eq. relazioni:

Equazione della caratterizzazione di un fluido: ρ, μ, λ, ∇ (v_∞ - v (ρ, , ĝ, (_i))), Φ (, ₁, ₂, _xy, (x_z, _{y λ}) ) = 1 0 !!

Per caratterizzare completamente il moto di un fluido occorrono oltre 5 eq. che sono di ricerca nel comportamento reologico del fluido, ovvero come si deforma "il fluido" sotto uno stato di sforzo.

ANALISI DEFORMAZIONE DI UN FLUIDO

1. Fluido ideale
   • Per istanti t: fluidi ideali:
   • Φ = Ä
   • → ∂x = ∂y = ∂z = § (x, x), x_yz = x_ya = x_{y Φ} = Φ
   • → 5 eq. - 5 incognite ⇨ Eq 1^a Eulero.
2. Fluido reale
   • ρ (x+dx, y+dy, z+dz, t-t₀)
   • ⇒ moto stazionario

x

Po (x, y, z, t₀)

V_o = ∇(Po) § V̅ = ∇̅ (P)

v̅₀ = v̅(P₀) ⇔ v̅ = J(P)

⇒ v̅ = v̅₀ + _(∂v̅)/_(∂x)⎢_{x₀,y₀,z₀} dx + _(∂v̅)/_(∂y)⎢_{x₀,y₀,z₀} dy + _(∂v̅)/_(∂z)⎢_{x₀,y₀,z₀} dz

v̅ = v̅₀ + Â * u̅₀ rc

Dove:

v̅ = v̅_x v̅_y v̅_z ; dx = ⎡dx⎤ ⎢dy⎥ ⎣dz⎦ ; Â = ⎡_{(∂u̅/∂x)}⎤ ⎢_{(∂u̅/∂y)}⎥ ⎣_{(∂u̅/∂z)}⎦

Possibili effetti dello spostamento da P₀ a P:

1. TRASLAZIONE RIGIDA
2. DEFORMAZIONE LINEARE
3. ROTAZIONE RIGIDA
4. DEFORMAZIONE ANGOLARE

Studiamo gli effetti di vari elementi su un 'elementino' di fluido. Per semplicità e chiarezza si farà riferimento al sistema bidimensionale.

a. t = t₀ + dt v₀ ha causato una traslazione rigida

Ă → per capire gli effetti di Ă devo scomporla: Ă = D̅ + Ŵ̅

D̅ = 1/2 * ⎡ _{((∂u̅/∂x)} + (∂v̅/_∂x)) ⎤ ⎢ ((∂u̅/∂y) + (∂v̅/∂y)) ⎥ ⎣ ((∂u̅/∂z) + (∂v̅/∂z)) ⎦; Ŵ̅ = 1/2 * ([ _{((∂v̅/∂y)} - (∂u̅/_∂y)) ⎤ ⎢ ((∂v̅/∂z) - (∂u̅