Elettroni quasi liberi

Descrizione Semiclassica

Principio di indeterminazione

Se bisogna descrivere l'elettrone dentro l'atomo, l'immagine quantistica: l'elettrone a numera classica. L'elettrone da elettrone classico a metà. Descrizione semiclassica

Interazione elettrone nucleo

R > G

Interazione e con V(r̅)

Potenziale di interazione elettrone - nucleo

HΨ = EΨ

Teorema di Bloch-Floquet

Interagenti con dei potenziali periodici

Autofunzione non period.

Nella ampiezza il fattore di fase è presente

1) Formale QM:

_{k² 2m} ψ(r)

ψ(r) = ψ(r ± R̅) periodico

Ĥ = Ĥ(r)

_{k² 2m} ψ(r) = _{k² 2m} ψ(r)

Ĥ(r + R̅) = Ĥ(r)

costante

Applosiamo non referente dalla traslazione

Ĥ(r + R̅) = Ĥ(r)

Se Â, B̂ hanno lo stesso set di autofunzioni

 ψ = a ψ

B̂ ψ = b ψ

Trova un operatore che commuti con Ĥ per i più facile calcolare le autofunzioni.

Operatore di Traslazione:

T_R ℓ ψ(r) = ℓ(r + R̅)

[T_R, Ĥ] = 0

∇²ψ(r) = (r + R̅)r

Ĥ(r + R̅) ψ(r) = Ĥ(r) ψ(r + R̅) - vero

C(R̅) ∈ C

Vero per la commutatività

Somma vettoriale commutativa

autofunzioni

T_R ψ = c(R̅)ψ

ψ(r) = c(R̅) ψ(r)

d(R̅)eⁱᵏʳ = d(R̅)eⁱᵏʳ

per definizione

(ℓᵏ) r̅ = -eʰᵏʳ eⁱᵏʳ = d(R̅)

ψ(r + R̅) = e^{ik ̅ + ̅R}ψ(r)

Teorema di Bloch

Effetto delle interazioni sulle autofunzioni

Struttura a bande degli e^- ed e^- quasi liberi

• nei metalli gli elettroni sono in buona prima approssimazione liberi
• ma non indipendenti

L_c

che randomizza

l'elettrone è di Bloch non vede tutta la quantità di moto perché

potenziale periodico

V(r) = V(r + R)

particella libera

e^- quasi di

H₀ ψ_i = E_i ψ_i

E_ε = ℏ²k² / 2m

Autofunzioni di Bloch

H₀ |k⟩ = ε₀(k)|k⟩

| i⁰(k) ⟩

1. Autofunzioni di particella libera
2. V̂(r) 1/V

elementi di:

• matrice di transizione

In approssimazione di zona ridotta:

_{T = Ga = Z}

ε(k) = ε(-k) -> ε pari

Quanti stati possono esserci nella 1ZB?

kj: ^2πmj_Lj 2c/L = vettore più piccolo

Nj: diversi valori di kj

^NΥ(k₁, k₂, k₃) -> ^Nl; numero di celle nella direzione j

N = N₁ . N₂ . N₃ -> N diversi valori di k

numero totale di celle

^V_c celle primitive

_n valori di k

^Ψ_c(x) -> N soluzioni di autovalutazione

-> per ogni autovalutazione posso mettere 2e-< ξ

2e- per ogni N

In ogni banda posso mettere 2N elettroni

Esempio:

Na -> 1 atomo per cella primitiva

L_c cella convenzionale (4 atomi)

elettroni di valenza S¹ -> 1e emesso per ogni atomo

num. di stati dopo moltiplica il numero di elettroni:

e- cambio metà banda -> ε a metà

elettr. metto -> ε vuoto

metalli buoni conduttori

hanno parecchi stati liberi dopo gli stati occupabili

esempio: metalli alcalini -> ^S₂

Un numero pari di elettroni di valenza

ogni atomo mette 2e- quindi ho 2N elettroni da accomandare in 2N stati disponibili

banda completamente piena

non c'è atomo stato libero perché e- arriva al massimo livello riempito

materiali -> sem? ->