Elementi di statistica

Statistica applicata all'idrologia

Tutti i casi possibili, ovvero i dati, rappresentano la popolazione da cui si estrae un campione di dati/casi possibili. La popolazione è una grandezza statistica non nota, mentre i dati del campione sono noti. Un insieme di dati costituisce un campione, rappresentabile con:

• Serie temporali
• Istogrammi

Parametri che caratterizzano il campione

Data una variabile X è definito l'insieme dei dati da cui è stata estratta: popolazione della variabile x {Xj}. Dalla popolazione viene estratto un campione {x₁, x₂, ..., x_n}. Dato un campione possono essere calcolate varie statistiche:

• Valore medio \( \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} \)
• Probabilità P
• Densità di probabilità φ
• Ampiezza del campione X_max ... X_max
• Divisione del campione in classi
• Ampiezza delle classi Δx = _{Xmax - Xmin} / ⁿ
• Frequenza assoluta di classe f_ak = num. valori presenti all’interno della classe
• Frequenza relativa di classe f_rk = _fak / ⁿ
• Densità di frequenza f_d = _fak / ^Δx

Statistica applicata all'idrologia

Tutti i casi possibili, ovvero i dati, rappresentano la popolazione da cui si estrae un campione di dati/casi possibili. La popolazione è una grandezza statistica non nota, mentre i dati del campione sono noti. Un insieme di dati costituisce un campione, rappresentabile con:

• Serie temporali
• Istogrammi

Parametri che caratterizzano il campione

Data una variabile X è definito l'insieme dei dati da cui è stata estratta: popolazione della variabile X { X }. Dalla popolazione viene estratto un campione { x₁, x₂, ..., x_n }. Dato un campione possono essere calcolate varie statistiche:

• Valore medio \( \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} \)
• Probabilità p
• Densità di probabilità ρ \( \frac{1}{X_{\text{min}} ... X_{\text{max}}} \)
• Ampiezza del campione \( X_{\text{min}} ... X_{\text{max}} \)
• Divisione del campione in classi \( \frac{X_{\text{min}} ... X_{\text{max}}}{n_{\text{i}}=\text{num. classi}} \)
• Ampiezza delle classi \( \Delta x = \frac{X_{\text{max}} - X_{\text{min}}}{N} \)
• Frequenza assoluta di classe \( f_{ak} = \text{num. valori presenti} \) all'interno della classe
• Frequenza relativa di classe \( f_{rk} = \frac{f_{ak}}{N} \)
• Densità di frequenza \( f_{ek} = \frac{f_{rk}}{\Delta x} \)

Inferenza statistica

Definizione. L'inferenza statistica (o statistica inferenziale) è il procedimento per cui si inducono le caratteristiche d'una popolazione dall'osservazione di una parte di essa, detta campione, selezionato solitamente mediante uno esperimento casuale (aleatorio). Dal punto di vista filosofico si tratta di tecniche matematiche per quantificare il processo di apprendimento tramite l'esperienza.

Si considerano campioni casuali, semplici di dimensione n, che possono essere interpretati come n realizzazioni indipendenti di un esperimento di base, nelle medesime condizioni. Dal momento che si considera un esperimento casuale, si coinvolge il calcolo delle probabilità; secondo questo, il nostro processo di generazione dei dati sperimentali si è in grado di valutare. La probabilità dei differenti possibili risultati di un esperimento.

Si normalizza un processo di generazione dei dati sperimentali non è mai in modo completo e le tecniche statistiche si pongono di verificare le caratteristiche di tale processo, sulla base dell'osservazione dei dati sperimentali che esso genera. Il processo è sempre, quindi, di formazione delle conclusioni relative ad una popolazione sulla base di un campione di osservazioni da osservazioni estratte a caso dalla popolazione.

Altri indicatori di posizione oltre al valore medio

• Modo X_mo, ovvero il valore più frequente.
• Mediana X_1/2, il valore dei dati tale per cui il 50% degli stessi ha valori superiori (inferiori) ad esso.

Assegniamo l'insieme dei dati x₁, x₂, ..., x_n (≤) Individuare una distribuzione cumulativa dei dati, una volta che si sono estratte l'insieme x_i, ordinato in modo crescente degli stessi dati. La distribuzione cumulata può essere illustrata attraverso la curva di frequenze. Il valore in ordinata individua la curva suddetta.

Frequenze

Frequenza di non superamento F(x ≤ xi) numero di volte che il valore non viene superato.

Frequenza cumulata di superamento F(x > xi) numero di volte che il valore è superato o equiparato.

Si identificano altresì statistiche che non sono indicatori di posizione, bensì indicatori di scala. Si definisce il campo di variazione, RANGE, come