Elementi di statistica

Statistica applicata all'idrologia

Tutti i casi possibili, ovvero i dati, rappresentano la popolazione da cui si estrae un campione di dati/casi possibili.

La popolazione è una grandezza statistica non nota, mentre i dati del campione sono noti.

Un insieme di dati costituisce un campione, rappresentabile con:

• serie temporali
• istogrammi

Parametri che caratterizzano il campione

Data una variabile X è definito l'insieme dei dati da cui è stata estratta: popolazione della variabile X {x, X}.

Dalla popolazione viene estratto un campione [x₁, x₂, ..., xn].

Dato un campione possono essere calcolate varie statistiche:

• valore medio x̄ = (1/n) Σ xi
• probabilità p
• densità di probabilità p
• ampiezza del campione x_min ... x_max
• divisione del campione in classi (x_min, x_max) / num. classi
• ampiezza delle classi Δx = (x_max - x_min) / num. classi
• frequenze assolute di classe fa_i= num. valori presenti all'interno della classe
• frequenza relativa di classe fr_k = fa_k / n
• densità di frequenza f_k = f_k / Δx

Inferenza Statistica

L'inferenza statistica (o statistica inferenziale) è il procedimento per cui si inducono le caratteristiche di una popolazione dall'osservazione di una parte di essa, detta campione, selezionato solitamente mediante un esperimento casuale (aleatorio). Dal punto di vista filosofico si tratta di tecniche matematiche per quantificare il processo di apprendimento tramite l'esperienza.

Si considerano esempi assai semplici di insiemi di n che possono venire interpretati come n realizzazioni indipendenti di un esperimento di base, nelle medesime condizioni.

Dal momento che si considera un esperimento casuale si conviene il calcolo delle probabilità e secondo questo, noto il processo di generazione dei dati sperimentali, si è in grado di valutare la probabilità dei diversi possibili risultati di n esperienze.

Selezionando un campione, l'esperimento dei dati sperimentali non è in modo completo e le tecniche statistiche tendono a rilevare le caratteristiche di tale popolazione delle osservazione dei dati sperimentali di base.

Il processo sequenziale va, dalla formulazione delle conclusioni relative ad una popolazione, verso basi di confronto di osservazioni di osservazioni estratte a caso dalla popolazione.

Altri indicatori di posizione (oltre al valore medio) sono:

• modo x₀, ovvero il valore più frequente
• mediano x₁, il valore dei dati tale per cui il 50% degli stessi ha valori superiori (inferiori) ad essi

Assegnato l'insieme dei dati x₁, x₂, ..., x_n ∈ (x_i) si può individuare una distribuzione cumulativa dei dati, un valore che è stato estratto l'insieme x_i, ordinato in modo crescente degli stessi dati.

La distribuzione cumulata può essere illustrata attraverso la curva di frequenza.

Il valore di ordinata indicata dalla curva si dice:

• Frequenza di non superamento F(x ≤ x_i) numero di volte che il valore non viene superato
• Frequenza cumulata di superamento F(x > x_i) numero di volte che il valore x si supera o eguaglia

Si identificano inoltre altre statistiche che ne sono indicatori:

• Si definisce il campo di variazione, range, come la differenze tra il valore più alto e il valore più basso della distribuzione.

Poiché p(x) = _dy/^dx si ha p(y) = _df(y)/^dy

Eseguo x = μ + σy e _dy/^dx = ₁/^σ

si ha: p(y) = _dx/^dy = ₁/^σ

P(y) = ₁/^√2π e^-½y²

la forma canonica è: x⟶y=ax+b⟶(x-μ)/σ⟶(y-μ)/σ

Questa vale per la

distribuzione normale standardizzata, ovvero una

distribuzione normale con medio μ = 0 e deviazione

standard σ = 1.

GUMBEL: distribuzione F(x) di Gumbel

Tale distribuzione è solitamente utilizzata per modellare

la distribuzione del massimo (o del minimo) di un numero

di campioni d varie distribuzioni; questa è una distribuzione

di probabilità centrata a due parametri:

P(X ≤ x) = e^-e-(x-μ)/λ

se y = x-μ(x - μ) nì ha P(y ≤ y) = e^-e-y

inoltre p(x) = σ e^-(x-μ(x)μ) e^-e-(x-μ)/σ,

dove σ e μ sono parametri della distribuzione.

OSSERVAZIONE

P(y) = e^-y e^-e-y

Poiché mety = media = num eulero μ = 0.5772 e

σ_y² = varianza = π²/6 allora σ_y = √π²/6

Per tale σ_y = σxx = σ/√(nlogn ⟶ 1/√τ

Segue μ_x = μ(y) σx = 0,52 √π/6/σ_x

σ_x = μ_x / √π/6

Ne consegue che, per questo tipo di distribuzione, i

parametri relativi, e.g. μ, λ, possono essere stimati

come: μ = μ(x)⟶ 0.5772

σx = π/√6/√π/6

LOGNORMALE : Distribuzione Lognormale

Tale è la distribuzione di probabilità di una variabile

aleatoria X il cui logaritmo, logX, segue una distri-

buzione normale; le variabili casuale X di dice, quindi,

distribuita in modo lognormale e può essere visto come

una specie di cambio di coordinata.

Posto y = log x si ha P(x) = ₁/^{√2π s_x} e^{-(logx-μx)²/σ²}

dove μ e σ sono

parametri della distribuzione.

Nei caso di dati associati a variabili continue, comodamente esi-

eLOGNORM un = log μᵢ, l’effettuazione di una adatta-

mente gicolutica - τσ(a)

P(x) degli est oltre a 1) e in media può period

di adeguamento dei parametri di distribuzione

di compiere un errore di tipo 2, ovvero di accettare

l’ipotesi che sia vera anche se non lo è.

NB: Quando H₀ è vera, si verifica un errore di 1^o tipo se H₀ è rifiutata; mentre quando H₀ è falsa,

si verifica un errore di 2^o tipo se H₀ non è rifiutata.

Esistono quattro possibili risultati:

• tabella

TEST NON PARAMETRICO

Si supponga di avere un determinato numero di variabili

reali X₁, X₂, X₃,..., X_n, indipendenti tra loro e di somma. Σⁿ_iX_i, la quantità è definita che la funzione φ call density di probabilitá P(χ² =)

dei valori k sulla riga e x sulla colonna si individuano

i valori critici.

χ²P(> χ < 2α) = 1-α, rappresenta la probabilità d’non

superamento, e α questa fa fare riferimento per l’eventuale validazione del test.

È, dunque, ora possibile procedere con il (test parametrico), dato un campione di ampiezza Ni,

• Si dividono i dati del campione in k classi... n_i è
• l’effettiva frequenza (asserrato) della i-esima classe, ovvero
• il numero dei valori che ricadono nella classe

2

0, per ogni intervallo Δχ si associa una probabilità k x

della classe e si definisce Npi come il numero delle

osservazioni che dovrebbero ricadere nella i-esima

• Si confrontano i parametri test con χ²= (Ni-Npi)²

si coltiva avendo grado di libertà v... e così

• 1 individuarli i gradi di libertà, così definito :

χ

dei valori che estende la numerosità del campione assume distribuzione. X²

• perché per il test di avere un test (per X²<α² >

• ...differenza ossia conoscenza probabilità teoriche