Economia dei Mercati Finanziari

IL RISPARMIO PRECAUZIONALE

Si considerino due scenari ed un agente con seguente funzione di utilità:

= 2

1 {

) ) ) (1 )}

( , , = ( + ∙ ∙ ( + − ) ∙ ( dove:

1+

- rappresenta il tasso di impazienza. Inoltre e ciò implica che la parentesi graffa abbia un’incidenza

> 1

inferiore rispetto ad ovvero che dai consumi futuri deriva un’utilità meno rilevante rispetto ai consumi

),

(

odierni.

- indica la probabilità soggettiva, cioè quella probabilità che l’agente assegna a ciascuno scenario.

- è una media delle utilità dei consumi futuri nei due scenari, ponderati per le

{ ) (1 )}

∙ ( + − ) ∙ (

probabilità soggettive che essi si verifichino; quindi rappresenta l’utilità attesa dei consumi futuri.

Ipotizzando ora che vi siano due titoli e con e Si è visto che il vincolo di bilancio in

(1) (2)

= 0 = 5 = 1 = 0.

forma strutturale è:

− = − −

− = +

− =

Inoltre, ricordando che allora per il titolo vale che . Quindi il vincolo di bilancio in

∑ (),

= = 5 =

forma ridotta diventa:

+ + = + +

Inoltre, ipotizzando e , si vogliono calcolare le scelte ottime dei consumi odierno

= = = 1, 1 + = = 1

e futuri e . Per fare ciò si eguagliano i saggi marginali di sostituzione al rapporto tra i prezzi, ovvero:

) )

( (

⎧ ⎧

= =

⎪ ⎪

) )

( (

ma se = = = 1 allora e quindi

) )

( (

⎨ ⎨

= =

⎪ ⎪

) )

( (

⎩ ⎩

( )

∙ ( )

⎧ 1 + ⎧

= ∙ =

⎪ ( ) ⎪

( )

1 +

→ ma ricordando che 1 + = e =

1 − ( )

1 −

⎨ ⎨

( )

∙ ∙ =

⎪

1+

⎪ = ( )

1 +

⎩

( )

⎩

( ) ( )

⎧ ⎧

∙ = =1

⎪ ⎪

( ) ( )

→

( ) ( )

⎨ ⎨

∙ = =1

⎪ ⎪

( ) ( )

⎩ ⎩

Quindi, affinché il rapporto tra le derivate sia pari a 1 e ipotizzando che le derivate siano funzioni decrescenti, è

necessario che le quantità ottime di consumo siano . Perciò il vincolo diventa:

∗ ∗ ∗ ∗

= = =

∗ ∗ ∗

+ + = + +

∗ ( )

+ + = + + ma + = 1

+ +

∗ ∗

( )

+ 1 = + + ovvero = ma dato che + =

1+

+ 1+

∗

= = ∙ =

1+ 1+

1 Il S.M.S. è dato ad esempio dal rapporto tra l’utilità marginale di e l’utilità marginale di , dove l’utilità marginale si calcola

dalla derivata parziale della funzione di utilità rispetto alla variabile di riferimento. 19

Quindi, in presenza di mercati completi, i consumi odierni possono tranquillamente eguagliare i redditi odierni, senza

la necessità di destinarne una parte a risparmio.

Si osservi ora il caso di mercati incompleti, in cui vi è un unico titolo e si mantengano le ipotesi fatte in

= 0

precedenza, cioè e . Adesso il vincolo in forma strutturale è:

= = = 1, 1 + = =

− = − = −

− = = +

ovvero

− = = +

Quindi, si può riscrivere la funzione di utilità sostituendo ai valori del consumo quelli trovati nel sistema:

1 {

) ) ) (1 )}

( , , = ( + ∙ ∙ ( + − ) ∙ ( ovvero:

1+ 1 {

) ) ) (1 )}

( , , = ( − + ∙ ∙ ( + + − ) ∙ ( +

1+

Inoltre, si vuole massimizzare questa funzione di utilità rispetto a e per fare ciò si pone uguale a 0 la derivata parziale

rispetto a :

1 { }

( ) ) (1 )

0 = − + ∙ ∙ ( + − ) ∙ ( e ricordando che 1 + =

1+

( ) ) (1 )

= ( + − )( 2

Supponendo anche che la derivata sia decrescente e convessa , allora:

( ) ) (1 ) ( (1 )

= ( + − )( > + − ) ovvero:

( ) ) (1 ) ( ) ( )

= ( + − )( > + + +

( ) ) (1 ) ( )

= ( + − )( > + +

( ) ) (1 ) ( )

= ( + − )( > +

Quindi:

( ) ( ) ( )

= − > + cioè

da cui

− < + > 0

Si è visto che in mercati incompleti non è più possibile consumare tutto il reddito a disposizione, ma bisognerà

destinare una parte del reddito al risparmio, dato che > 0.

2 La convessità implica che con

( (1 () (1 ()

+ − )) < + − ) 0 ≤ ≤ 1 20

IL MODELLO MULTIPERIODALE

Si ipotizzi di avere un titolo che ha un prezzo odierno e che in futuro potrà:

- Aumentare (up) ()

→ =

- Diminuire (down) ()

→ =

Il valore riguarda il prezzo dell’azione comprensivo dei dividendi; invece e con indicano di quanto

, < 1 < ,

aumenterà o diminuirà il prezzo del titolo. Questo concetto, chiamato albero binomiale (vi sono sempre due

diramazioni) può estendersi a periodi e quindi il prezzo del titolo, a scadenza, potrà avere un valore pari a:

; ; ; … ; ; ;

Si scrive ora il rimborso del titolo privo di rischio nel seguente modo: con Inoltre,

= 0 = > 1 > 0.

supponendo un unico periodo e ricordando che il prezzo del titolo è e chiamando dalla formula

( )

, = ,

iniziale: −

() (1

= si giunge a = ∙ + − ) da cui = −

Inoltre, varrà solo se

0 < < 1 > > .

Indicando adesso con il prezzo del portafoglio che replica il vettore dei rendimenti nei diversi scenari e ricordando

che il rendimento crescerà allora:

1

(1

= ∙ ∙ − ) infatti se = allora = da cui =

Con questa equazione è possibile ricavare il prezzo di qualsiasi titolo, ad esempio di un’opzione call:

( (

− ) = − )

Inoltre, quando ovvero vi sono infiniti periodi, il modello sopra presentato tenderà al modello di Black –

→ ∞,

Scholes; invece, quando = 1: 1

( (1

= − ) + ) ma ricordando che = e che = allora:

1 1

( (1 ( )

= − ) + ) = + che è esattamente la formula originaria di

21

STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI DI INTERESSE

Si è detto in precedenza che il rimborso per il titolo privo di rischio è Tuttavia, i titoli possono avere

= 0 > 1.

durata diversa e quindi occorre indicare il rimborso distinguendone la durata, ovvero . Quindi, se prima valeva

,

, quando la durata è generica vale:

= 1 +

, ,

=1+∙

, , La curva mostrata nel grafico è definita curva per scadenza dei tassi di interesse

(yield curve), la quale si occupa di mostrare il valore assunto dai tassi a seconda della

scadenza del titolo. Dall’andamento della curva si nota che i tassi tendono ad

aumentare quando cresce la scadenza del titolo .

Si considerino ora due periodi e e due tassi lordi:

( ) ( )

, ,

( )

= 1 + − ∙

, ,

( )

= 1 + − ∙

, ,

Si ipotizzi adesso di voler acquistare un bene del valore al tempo . Possono verificarsi tre situazioni:

1) Il primo caso consiste nell’indebitarsi di al tempo e restituire a scadenza la somma comprensiva di

interessi, pari a .

∙ ,

2) Nel secondo caso, per evitare che il tasso aumenti, lo si vuole bloccare in tramite un finanziamento a

termine. In questo caso la stipulazione del contratto avverrà in , l’erogazione del finanziamento in e il

rimborso del finanziamento, pari a , avverrà in . Pertanto:

∙

, ,

( )

= 1 + − ∙

, , , ,

3) Nell’ultimo caso si sceglie di indebitarsi oggi per un valore e di investire questa somma, ricevendo in

≠

un rimborso pari a . Invece, il finanziamento ricevuto verrà rimborsato in per un valore di

∙

,

. Inoltre, supponendo che allora:

∙ ∙ = ,

, ,

,

= e quindi il rimborso in sarà pari a ∙

, ,

Nel primo progetto si pagherà quindi un tasso di interesse incerto, dato che questi verrà determinato in . Invece, gli

altri due contratti sono raffrontabili, in quanto equivalenti, e quindi esisteranno sul mercato solo se sono equivalenti

anche le condizioni economiche, cioè:

,

∙ =∙ da cui = ∙ → à