Econometria - analisi econometrica

ANALISI

ECONOMETRICA

Dispensa a cura di Gabriele Pelli

Università Commerciale Luigi Bocconi

Indice

ANALISI ECONOMETRICA................................................................ 1

1 Algebra delle matrici ...................................................................6

1.1 La trasposta della somma ...................................................... 6

1.2 Matrici partizionate ............................................................... 6

1.3 La trasposta del prodotto ...................................................... 7

1.4 La matrice prodotto incrociato.............................................. 8

1.5 Prodotto incrociato di matrici partizionate .......................... 8

1.6 La traccia di una matrice ...................................................... 9

1.7 Rango di una matrice ............................................................ 9

1.8 Rango di una matrice prodotto ............................................. 9

1.9 Proprietà della matrice inversa ............................................. 9

2 Matrici negli OLS ..................................................................... 10

2.1 Il rango della matrice del prodotto incrociato ......................10

2.2 Lo stimatore OLS .................................................................10

2.3 Spazi vettoriali .....................................................................11

2.4 Spanning sets ........................................................................11

2.5 Spazi ortogonali ....................................................................12

2.6 Matrici di proiezione ............................................................12

2.7 Residui OLS e valori predetti ...............................................14

2.8 La matrice prodotto incrociato nel modello OLS .................14

3 Il modello di regressione lineare ................................................. 15

3.1 Il modello lineare della popolazione .....................................15

3.2 Dal modello lineare della popolazione al

modello di regressione lineare ...............................................15

3.3 Le proprietà dell’ LRM ........................................................16

4 Le proprietà algebriche degli OLS .............................................. 17

4.1 OLS: definizioni e proprietà .................................................17

4.2 Regressione partizionata .......................................................18

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4.3 L’aggiunta di un regressore ..................................................21

4.4 Bontà della stima e analisi della varianza ............................23

4.5 Misure di bontà della stima centrate e non centrate ...........25

5 Le proprietà statistiche degli OLS in campioni finiti .................. 27

5.1 Non distorsione .....................................................................27

5.2 Il teorema di Gauss-Markov .................................................27

5.3 Stimare la matrice di covarianza degli OLS .........................29

5.4 Test esatti di significanza con errori

distribuiti normalmente ........................................................31

5.5 La legge generale delle aspettative iterate (LIE) .................36

5.6 La distorsione da variabili omesse ........................................36

proxy variables

La soluzione delle ........................................39

5.7 La varianza di un singolo coefficiente OLS ..........................41

Le tre determinanti di Var(b |X) quando 1 è nella X .....42

i (nx1)

5.8 I residui dalla regressione OLS partizionata ........................44

6 Risultati per gli stimatori OLS e GLS in grandi campioni .......... 45

6.1 Introduzione .........................................................................45

6.2 OLS con errori non sferici ....................................................45

Consistenza ...........................................................................45

Normalità asintotica con eteroschedasticità .........................46

Lo stimatore di White consistente per gli standard

errors OLS in caso di eteroschedasticità ..............................48

Test di eteroschedasticità di White......................................48

Clustering .............................................................................49

6.3 GLS ......................................................................................50

Consistenza dei GLS ............................................................52

Normalità asintotica .............................................................53

Feasible GLS ........................................................................54

6.4 Test in grandi campioni .......................................................57

Il t-ratio test .........................................................................57

Il test Chi-quadro .................................................................58

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panel data

7 Modelli FE e RE con ................................................ 59

7.1 Il modello a effetti fissi (FE o LSDV) ..................................59

Pooled OLS (POLS) .............................................................65

7.2 Il modello Random Effect (RE) ...........................................66

The Feasible GLS .................................................................70

7.3 Hausman test (FE vs RE) ....................................................73

7.4 Risultati per lo stimatore LSDV (FE) in grandi campioni ..76

Consistenza ...........................................................................77

Normalità asintotica .............................................................77

7.5 Uno stimatore robusto per la matrice di covarianza ............79

Panel non bilanciati..............................................................79

8 IV e stima GMM....................................................................... 81

8.1 Il metodo dei momenti .........................................................81

Il modello di regressione lineare ...........................................82

Il modello di regressione con variabili strumentali (IV) ......82

Il metodo generalizzato dei momenti (GMM) ......................84

Lo stimatore Two Stages Least Squares (TSLS) .................85

8.2 Stimatori robusti per la varianza .........................................86

8.3 Test di esogeneità Durbin-Wu-Hausman .............................87

9 Appendice: Stata implementation .............................................. 88

9.1 Come caricare i propri dati in Stata ....................................88

help

9.2 Il comando ....................................................................88

regress

9.3 Stima degli OLS con il comando ..............................88

9.4 Come salvare i risultati di un comando ...............................89

predict

9.5 Post estimation command: .......................................90

regress

9.6 Osservazioni sull’output del comando: .....................90

9.7 Come calcolare gli standard errors OLS robusti

eteroschedasticità

per ...........................................................92

9.8 Come implementare il test per

eteroschedasticità di White ..................................................92

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9.9 Come calcolare gli standard errors OLS robusti

cluster correlation

per ...........................................................92

9.10 Come generare una variabile come logaritmo

di una variabile già esistente ................................................93

9.11 Come identificare i dati come serie storiche .........................93

9.12 Come implementare una regressione con Panel Data ..........95

9.13 Come implementare una regressione con Panel Data

regress xtreg

usando il classico comando invece di ..............95

9.14 Come implementare un Hausman Test ................................96

9.15 Come rendere le stime panel robuste per

cluster correlation eteroschedasticità

e .................................98

9.16 Come eseguire un test di Breush-Pagan di

panel data

omogeneità degli errori con ................................99

9.17 Come implementare lo stimatore TSLS ...............................99

9.18 Come implementare lo stimatore GMM (lineare) ................99

9.19 Come eseguire il test di esogeneità DWH ............................99

9.20 Come testare per strumenti deboli ..................................... 100

9.21 Come eseguire stime quando si hanno strumenti deboli .... 100

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1 Algebra delle matrici

1.1 La trasposta della somma

Date due matrici dello stesso ordine e , abbiamo che:

( ) ( )

1.2 Matrici partizionate

Il partizionamento di una matrice è un’importante operazione che non

trasforma la matrice in sé, ma soltanto la sua rappresentazione.

Si consideri la seguente matrice:

E si traccino due linee tratteggiate perpendicolari tra loro separando

così la matrice in quattro blocchi, come segue:

La matrice può quindi essere rappresentata come:

Cioè come una matrice di matrici, dove sono dette

sottomatrici e (nell’ultima sua rappresentazione) è detta matrice

partizionata. 6 Dispensa a cura di Gabriele Pelli

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In termini generali, il partizionamento di una generica matrice ( )

in quattro sottomatrici (come nell’esempio presentato) è detto

“partizionamento ” e può essere sempre rappresentato come:

dove: e .

La trasposta di una matrice partizionata è la trasposta della matrice

delle sottomatrici, a loro volta trasposte. Tale operazione può essere

effettuata in due passaggi:

- Primo, trasporre la matrice delle sottomatrici come se i suoi

elementi non fossero matrici;

- Secondo, trasporre tutte le sottomatrici.

Ad esempio, sia:

Allora:

1.3 La trasposta del prodotto

Date due matrici e conformabili per il prodotto di per

( )

( )

, abbiamo che

( ) 7 Dispensa a cura di Gabriele Pelli

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1.4 La matrice prodotto incrociato

Data una matrice e un vettore , la matrice quadrata di

( ) ( )

ordine data da è detta (matrice) prodotto incrociato per :

Ed il vettore colonna di ordine , dato da è detto (vettore)

prodotto incrociato di e :

1.5 Prodotto incrociato di matrici partizionate

( ) ( ).

Sia una matrice partizionata Allora, il prodotto

incrociato di è dato da:

A volte, potrebbe essere conveniente calcolare il prodotto incrociato della

outer product

matrice (detto anche prodotto esterno - o – di )

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1.6 La traccia di una matrice { },

Essa è definita solo per matrici quadrate. Data una matrice

( )

, la traccia di , denotata con , è uno scalare definito

come:

1.7 Rango di una matrice ( ),

Def: Data una matrice , il rango di , cioè è definito

come il massimo numero di colonne linearmente

indipendenti di .

Def: Una matrice è quindi detta di rango colonna pieno

( ) ( )

(f.c.r.) se e solo se .

( )

1.8 Rango di una matrice prodotto

Date due matrici e conformabili per il prodotto , avremo:

( ) , ( ) ( )- ( )

1.9 Proprietà della matrice inversa

Assumiamo che sia di rango pieno, allora valgono le seguenti

proprietà:

[1] Esiste unica ;

[2] ;

[3] Se e sono matrici quadrate dello stesso ordine:

( )

( )

[4] ( ) 9 Dispensa a cura di Gabriele Pelli

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2 Matrici negli OLS

2.1 Il rango della matrice del prodotto incrociato

( ).

Sia una matrice ( )

Dimostriamo che se e solo se è di rango colonna pieno.

( )

Supponiamo che (cioè che è f.c.r.). Se , allora

( )

, il che implica che . Ma dal momento che

( )

(per assunzione), allora , il che prova che .

( )

Adesso, supponiamo che . Se , allora e

( )

dal momento che , avremo che , il che prova che



( ) . ( )

( ).

Esercizio: Sia una matrice Dimostrare che

se e solo se è di rango colonna pieno.

( )

Soluzione: Supponiamo che (cioè che è f.c.r.). Se

, allora , il che implica che .

( )

Ma dal momento che (per assunzione),

( )

allora , il che prova che .

( )

Adesso, supponiamo che . Se , allora

( )

e dal momento che , avremo che



( )

, il che prova che .

2.2 Lo stimatore OLS

Si consideri il modello di regressione lineare in forma matriciale, cioè:

ordinary least squares

E si assuma che sia f.c.r. Lo stimatore OLS ( )

per , che indicheremo con , è tale che il prodotto incrociato tra

ogni regressore in e i residui OLS:

( )

Sia uguale a zero, cioè: 10 Dispensa a cura di Gabriele Pelli

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O equivalentemente:

Poiché è di rango colonna pieno, e la matrice è di rango pieno e

quindi invertibile, avremo che lo stimatore OLS esiste ed è dato dalla

seguente formula: ( ) ( )

E la formula dei valori OLS predetti sarà:

̂ ( )

2.3 Spazi vettoriali

Uno spazio vettoriale è definito come la collezione di vettori

(colonna) tali che, dati due vettori e in , allora e

per ogni scalare . Lo spazio euclideo -dimensionale è uno

spazio vettoriale.

2.4 Spanning sets ( ),

Data una matrice ogni colonna di appartiene a

( )

e l’insieme di tutte le combinazioni lineari delle colonne di è

( ).

detto spanning set di (o anche il range di ), denotato con

( )

Si può facilmente dimostrare che è un sottospazio vettoriale di

( )

. Poiché inoltre ogni elemento di è un vettore di

componenti, esso è detto essere uno spazio vettoriale di ordine .

, )-

( ), (

La dimensione di denotata con è il massimo numero

( ).

di vettori linearmente indipendenti in

, )-

( ( ).

Esercizio: Dimostrare che ( )

Soluzione: Dal momento che ogni vettore può essere scritto

( ),

come , dove è un qualche vettore allora

( )

ogni collezione di vettori in può essere espressa

come il seguente prodotto tra matrici:

( ) ( )

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( )

Allora, per la disuguaglianza vale che:

( )

( )

( ) ( )

Con l’uguaglianza che vale se e se è non

( )

singolare. , )-

( ( ).

il che prova che Ovviamente se è



, )-

(

f.c.r. allora .

2.5 Spazi ortogonali

Due vettori colonna dello stesso ordine e sono detti ortogonali se e

solo se (oppure ). ( )

L’insieme di tutti i vettori in che sono ortogonali a è denotato

con . ( ) ( ) ( )

È facile dimostrare che: ( ),

Ci si riferisce comunemente a come allo spazio ortogonale a o

( ).

complemento ortogonale

anche il di

2.6 Matrici di proiezione

Si assuma che sia f.c.r. e si definisca l’operatore come:

, -

( )

, -

Si può facilmente verificare che è una matrice simmetrica

, -

( ) e idempotente ( ).

, - , -

, - , - , -

Ogni matrice con le due suddette proprietà è detta proiettore

ortogonale, e dunque è . In termini geometrici, proietta vettori

, - , -

( )

su lungo una direzione che è parallela ad (cioè allo spazio

( )).

ortogonale ad

Simmetricamente, abbiamo che:

, - , -

è il proiettore ortogonale che proietta vettori su lungo una direzione

( )

parallela a (cioè allo spazio ortogonale a ).

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( ),

Esercizio: Date due matrici e nello spazio ( )

entrambe di rango colonna pieno, dimostrare che se

( ) ( ) allora .

, - , -

( ) ( ),

Soluzione: Se allora ogni colonna di appartiene a

( ) e in quanto tale può essere espressa come

combinazione lineare delle colonne di , cioè ,

( ).

dove è una matrice

( )

Quindi, . Poiché sia che

, - ( ),

hanno rango pari a , alla luce della disuguaglianza

, ( )-

abbiamo che , il che implica che

( ) ( )

, e poiché è impossibile,

( )

necessariamente avremo che e quindi è non

singolare.

Infine, per la proprietà dell’inversa del prodotto di matrici

quadrate: ( )

, - ( ) ( )

( )



.

, -

Esercizio: Dimostrare che e sono ortogonali, cioè .

, - , - , - , -



( )

Soluzione: .

, - , - , - , -

, - , -

Esercizio: Dato un qualsiasi vettore a coefficienti reali che giace

( )

( ),

su dimostrare che e che

, - , -

( ),

Soluzione: Dal momento che vale che .

( )

Allora avremo che: ( )

, - , -

Dato ciò, avremo che: 

( ) .

, - , - , -

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2.7 Residui OLS e valori predetti

( ),

Usando la formula degli OLS della il vettore dei residui OLS può

essere formulato come: ( )

, -

( )

, - ( )

, -

Quindi, il vettore dei residui OLS è ortogonale alla proiezione di

( )).

sullo spazio (cioè sullo spazio ortogonale a Per questo

motivo è chiamato a volte anche il “residual maker”.

, - ( ) ( )

Dalle equazioni e segue che:

̂ ( ) ( )

, -

E quindi il vettore dei valori predetti OLS è la proiezione ortogonale su

( ) (cioè sullo spazio generato dai regressori in ).

̂

Chiaramente, poiché , avremo che , quindi i