Econometria - analisi econometrica

Remark: Il suddetto esercizio dimostra che, dopo la

riparametrizzazione, l’interpretazione dei coefficienti

resta invariata, il termine costante è e il coefficienti delle

rimanenti dummies individuali non sono più gli effetti

individuali dei rimanenti individui , bensì sono

i “contrasti” di rispetto ad , . Certamente,

l’individuo di riferimento non deve essere necessariamente il

primo del campione e può essere scelto liberamente.

Lo stimatore LSDV è solo lo stimatore OLS applicato al modello (73) e,

date [FE.1] - [FE.3] esso è BLUE.

Le rispettive formule degli stimatori per e sono ottenute

applicando semplicemente il teorema della regressione partizionata alla

(73), quindi: ( )

( )

, - , -

è lo stimatore LSDV per , mentre:

( ) ( ) ( )

è lo stimatore LSDV per .

Come già detto, entrambi sono BLUE, ma mentre converge a

sia quando che quando (o entrambi), converge

ad solo se . Questa discrepanza in grandi campioni tra i due

stimatori è dovuta al fatto che la dimensione di cresce al crescere di

, mentre la dimensione di dipende da ed è pertanto fissata.

Esercizio: Verificare che: 62 Dispensa a cura di Gabriele Pelli

Università Commerciale Luigi Bocconi

Dato il risultato del suddetto esercizio, abbiamo che:

( ) ( )

Quindi, per un generico vettore abbiamo che:

( ) ( )

Cioè, premoltiplicando un qualsiasi vettore per

( )

̅,

( )

otteniamo un vettore di medie dove ogni media si riferisce al

gruppo di osservazioni peculiari allo stesso individuo ed è pertanto

detta media gruppo.

Da ciò deriva che: ̅ ̅ ( )

̅ ( ̅ ̅ ) ( )

Dove è il vettore di medie gruppo per

l’individuo -esimo.

È inoltre chiaro che,

per ogni vettore si ha che:

( ) 63 Dispensa a cura di Gabriele Pelli

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Cioè, premoltiplicando un qualsiasi vettore per otteniamo

( ) , -

( )

un vettore di medie gruppo conformabile per la dimensione

del campione: ogni gruppo è ripetuto per volte.

( )

Segue quindi che è il vettore di deviazioni

, -

, -

dalla media gruppo.

Quindi, si può ottenere lo stimatore anche applicando gli OLS al

modello trasformato in deviazioni dalle medie gruppo, cioè regredendo

su .

, - , -

Esercizio: Verificare che .

, -

La matrice di varianza-covarianza condizionata di è data da

( ) ( ) .

, -

Essa viene stimata sostituendo con l’Anova estimator , basato

sui residui LSDV , cioè:

, -

, - ( )

( )

Esercizio: Dimostrare che

Suggerimento: per prima cosa notare che è determinato

dal lato destro della (73), dimostrare quindi che:

, poi elaborare la media condizionata di

, -

[ ]

, - usando l’operatore traccia come fatto in

, - , -

[ ]

, -

precedenza per . Infine, applicare la legge delle

aspettative iterate.

Non è difficile verificare che può essere ottenuto dalla regressione

OLS della (73) trasformata in deviazioni dalle medie gruppo

(conosciuta in letteratura come trasformazione within), cioè:

( )

, - , - , -

64 Dispensa a cura di Gabriele Pelli

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L’intuizione è semplice: dal momento che le medie gruppo di ogni

elemento costante nel tempo coincidono con l’elemento stesso, tutti

gli elementi costanti nel tempo della (73) vengono eliminati. Questo

spiega anche perché non può contenere variabili costanti nel tempo.

Quindi, in un certo senso, la trasformazione within controlla l’intera

eterogeneità costante nel tempo, latente e non, del modello (73),

rendendolo quasi come il classico LRM.

In particolare si può dimostrare facilmente che valgono [LRM.1]-[LRM.3].

Si noti, comunque, che gli errori nel modello trasformato hanno una

, -

matrice di varianza-covarianza non diagonale (essa è infatti singolare e

diagonale a blocchi). Nello specifico, il vettore presenta correlazione

, -

seriale tra gruppi (within-group) poiché per ogni gruppo individuale ci

sono solo errori (in deviazione dalla media) linearmente indipendenti.

Di conseguenza, [LRM.4] non vale più. Ciononostante, è BLUE.

Pooled OLS (POLS)

Lasciando i software econometrici liberi di trattare la (81) come un

classico LRM, essi calcolerebbero correttamente lo stimatore , ma

( ) ̃ ( ) ̃

stimerebbero con , con ,

, -

che è distorto dal momento che non usa una correzione per i gradi di

libertà corretta (usa cioè al posto di ).

Il software non può infatti sapere che per ogni individuo nel campione ci

sono solo errori (in differenza dalla media) linearmente indipendenti.

Il risultato è che lo standard error calcolato in questo modo ha bisogno di

√( ) ( )

essere corretto moltiplicandolo per .

Un’interessante assunzione da testare è quella di assenza di eterogeneità

individuale, cioè: . Sotto la restrizione implicata

da , il modello (81) aggrega insieme tutti i dati trascurando il

clustering individuale e può essere riscritto come: ( )

Dove: 65 Dispensa a cura di Gabriele Pelli

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Quindi, sotto , il seguente stimatore per il modello OLS aggregato

(Pooled OLS – POLS): ( ) ( )

è BLUE. Sia il vettore dei residui del modello sotto , cioè:

( )

allora, sotto le assunzioni di normalità e , avremo che:

( ) ( )

( )

Se il test su non rifiuta , allora la procedura POLS è più efficiente,

e quindi maggiormente legittimata, rispetto a quella LSDV. Se invece

l’ipotesi nulla è rifiutata, allora lo stimatore POLS è distorto e occorre

utilizzare la procedura LSDV.

Esercizio: Riparametrizzando il modello LSDV come nel precedente

Esercizio, l’ipotesi di assenza di eterogeneità individuale

̄

diventa . Dimostrare che la risultante statistica

test è numericamente identica alla (85).

Soluzione: Poiché i modelli (73) e (74) sono esattamente lo stesso

modello, allora anche le risultanti statistiche test saranno

numericamente identiche.

7.2 Il modello Random Effect (RE)

Sebbene le sue proprietà statistiche siano differenti, il modello RE ha

la stessa struttura algebrica di quello FE: ( )

( )

( ),

Dove e è uno scalare che

denota l’effetto specifico individuale costante rispetto al tempo.

66 Dispensa a cura di Gabriele Pelli

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Senza perdita di generalità, scriviamo come , con:

Il modello (86) può quindi essere riscritto in maniera più compatta

come: ( )

dove:

Valgono inoltre le seguenti assunzioni:

[RE.1] è f.c.r. Questo è equivalente a: 1) è f.c.r e 2) nessuna

combinazione lineare delle colonne di è uguale a .

Quindi, purché siano soddisfatte queste due condizioni,

può contenere variabili costanti nel tempo.

( ) ( )

[RE.2] e . Questo implica esogeneità

stretta di rispetto a entrambe le componenti di , e

quindi rispetto a stessa. Si tratta di un’ipotesi molto

restrittiva, che implica che le variabili costanti nel tempo

che non sono incluse nel modello (rappresentate da ) non

sono correlate con i regressori inclusi nella . Si noti infine

che, dal momento che il vettore non è aleatorio,

condizionare rispetto a è la stessa cosa che condizionare

rispetto a .

( )

[RE.3] ,

( ) ,

( ) ( ) .

( )

67 Dispensa a cura di Gabriele Pelli

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( )

Sia . Allora, data [RE.3] avremo:

( ) ( ) ( )

Questo significa che sotto [RE.1]-[RE.3], sebbene omoschedastica, è

non diagonale e lo stimatore POLS della (83) è non distorto ma non

più BLUE (a meno che ).

Lo stimatore BLUE per sarà quindi dato dal seguente stimatore

random effect GLS: ( ) ( )

Per l’implementazione di dobbiamo quindi ottenere la matrice .

Esercizio: Verificare che è omoschedastica ed in particolare che:

( ) .

Soluzione: Dal momento che: , -

Allora: , -

, - , - , -

, - , -

Con .

Quindi: ( )

, - , -

Da cui: 4 4 5 5 4 5

, - , - , - , -

68 Dispensa a cura di Gabriele Pelli

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. /

Esercizio: Verificare che è effettivamente l’inversa

, - , -

( ) . /

di , cioè che: , - , - , - , -

Esercizio: 1) Verificare che può essere anche scritto come:

4 4 5 5 4 5 ( )

, - , - , - , -

2) Verificare che, moltiplicando tutte le variabili del

modello (87) per , si ottiene il classico LRM,

, - , -

e che quindi può essere ottenuto semplicemente

applicando gli OLS al modello trasformato.

3) Verificare che l’operatore può essere anche

, - , -

riscritto come: 4 5 ( )

, - , - , -

( )

L’operatore della (92) trasforma ogni variabile

, - , - quasi-mean deviations partial

conformabile che premoltiplica in , o

deviations (“quasi-deviazioni” dalla media, o deviazioni parziali dalla

media), nel senso che rimuove dalla variabile soltanto una porzione

della media gruppo.

Per questa ragione, i coefficienti delle variabili costanti nel tempo sono

identificati nel modello RE: le variabili costanti nel tempo, quando

premoltiplicate per il suddetto operatore, non vengono eliminate, bensì

ri-scalate per un fattore .

Il modello RE sotto la trasformazione GLS diventa quindi:

( ) ( ) ( )

[ ] [ ] [ ] ( )

, - , - , - , - , - , -

( )

[ ]

Con la varianza di data da:

, - , -

( )

{[ ] }

, - , -

69 Dispensa a cura di Gabriele Pelli

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The Feasible GLS

La versione “feasible” di , cioè , che è poi quella

effettivamente implementata dai software econometrici, può essere

ottenuta attraverso il metodo di Swamy e Arora (1972).

Lo stimatore per è semplicemente , mentre quello per è

ottenuto come segue:

- definiamo il vettore dei residui “between” come: ( )

, -

, -

( )

dove: è detto stimatore between.

, - , -

In poche parole, è il vettore dei residui ottenuto regredendo le

medie gruppo di sulle medie gruppo di e è il relativo

stimatore.

- A questo punto, basandoci su , costruiamo lo stimatore Anova

per come: ( )

( )

Esercizio: Dimostrare che:

[Suggerimento: Per prima cosa, notando che viene

determinato dal lato destro della (87), dimostrare che

, quindi elaborare la media condizionata

, -

[ ]

, -

di usando