Dynamics of structures - Teoria 10 crediti

DINAMICA DELLE STRUTTURE

Polimi - Prof Perotti

SCRITTURA DELLE EQUAZIONI DEL MOTO PER SISTEMI DINAMICI LINEARI, DISCRETIZZATI

IL PROBLEMA DELLA DISCRETIZZAZIONE

Cosa significa modellare un problema di un corpo soggetto ad azioni dinamiche? Lo scopo è un corpo immerso in un moto fluido - come posso schematizzarlo?

Il comportamento reale è impossibile avere la perfetta soluzione. Si può procedere ad individuare modelli in modo da descrivere sulla base di ipotesi semplificative i criteri e equazioni legati al problema. Ma cosa è necessario modellare?!

1. AZIONI AGENTI: carichi, perturbazioni, eccitazioni Sono indipendenti dalla struttura → individuate grandezze fisiche più adatte Per esempio: vento → velocità terremoti → accelerazione del suolo

La tipologia di azione che ne può interagire con la struttura; cioè per esempio il carico del resto di una struttura produce un effetto diverso rispetto allo stesso applicato a una struttura tozza.

2. Individuare modello lineari da usare nelle equazioni del moto → via più semplice Le azioni possono essere statiche o dinamiche possono dinamiche ma ridotte ad un carico statico equivalente per eliminare la complessa interazione del tempo nel problema.

3. TEORIA STRUTTURALE: per esempio usando la TM di Eulero-Bernoulli, per le travi → ha de piccoli spostamenti/rotazioni, time slaved e contusa con proprio asse; (++) trascurare contributo rigidezza del taglio ecc., in base al modello strutturale scelto.

3) MATERIALI : anche la scelta dei modelli semplici per il materiale semplifica la tipologia di risposta ottenuta. Nella nostra analisi possiamo usare le seguenti ipotesi:

a) MATERIALE ELASTICO OMOGENEO (LINEARE E ISOTROPO), DEFINITO EQUAZIONE COSTRUTTIVA:

Quella si può considerare sostituita da uno schema che può variare lungo la campata, con funzione I (x)

4) VINCERE : anche una rozza semplificazione che tiene in considerazione la risposta strutturale sia interna che esterna.

Essa permette una statica che dinamica

Doc.R

Il rapporto tra comportamento statico e dinamico è molto più sensibile alle approssimazioni in termini di regole che governano il comportamento generale.

Parete??

• Comp. Statico si hanno soltanto carichi esterni
• Nel caso dinamico si introducono le forze d'inerzia

STABILITÀ STATICO DINAMICO DATI + VINCOLI

Massima del modello dinamico

5) FORZE D'INERZIA dipendono dalla massa del sistema = costante nel tempo, g(t) = β A(s)

= MASSA MATERIALI

Ma: SE OGNI MODELLO CONSIDERATO È LINEARE -> VALE IL PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE

SCRITTURA EQZ. DEL MOTO PER SISTEMI AD n GDL NON STORZATI

Tramite i metodi di discretizzazione, ellencati precedentemente, è stato portato ridurre il problema ad una EDO con un NUMERO FINITO di n GDL. Ma come si ottengono le EQZ del moto per ognuno di essi gdl?? → EQZ di LAGRANGE

Essi consentono di descrivere il moto di QUALSIASI SISTEMA dotato di VINCOLI OLI, OLOMICI. Conoscendo le coordinate q_n(t) dette derano muove valari nulla nell’intorno della configurazione di equilibrio.

• d/dt (∂L/∂q_k) - ∂L/∂q_k = Q_k

SISTEMA CONSERVATIVO

Si procede a calcolure in funzione di q_i, q̇_i̇ e le carie forz energetiche che intervene nell’ego. di Lagrange.

APPROCCIO CON FUNZIONI DI FORMA @

ENERGIA CINETICA: manco distruttile lungo la luce della torre tragge è in una configurazione equilibrata

• T = 1/2 ∫₀^l ρ₀(x) Ṁ(x, t)² dx con y(t) = dnedovento = limovo della
• torre con Ṁ(x, t) = Σ_E1 y_k(t) q̇_H(t) del mobello precedote @

dato de q² eboustatto denote sono due alienot ?_Jφ

• T = 1/2 ∫₀^l Σ_K1 Φ_k γ_ψ k Φ_σ . Φ₅ (t) ā_k (t) . Φ₁₅ (t) e dai (..).
• 1/2 Σ_κ Σ_ζ ∫₀¹ Φ_k (x) y_k (x) Φ_y ,x dx . Φ_i(t) 9_j(t)

in modo le : Mk_k = M_ρK → m(n, h) = SIMMETRICA

dla in natenzone metatzie per passu ricetta:

T = 1/2 Σⁿ C_h m_j q̇_H(t)

T_E DEFINITA POSITIVA SEMPRE PER OGNI ALT0 DI M0T0 → m ≥ 0 suipe

Effetto della presenza di carichi statici nello studio del moto

La prima nozione da definire è che i carichi statici non influenzano le vibrazioni indotte dai carichi dinamici ma danno effetti diversi.

Il contributo dei carichi statici rientra nella valutazione dell'energia potenziale totale, quindi risiede nel sistema di equazioni del moto.

V(g) = V₀ + δV + δ² V + ...

con δ_i = variazioni di ordine i del potenziale

Carichi statici conservativi

Consideriamo δ₂V variabile, secondo consente di capire la variabilità dell'energia potenziale percepita dal sistema durante il passaggio dalla configurazione di equilibrio a quella configurazione determinata in x(t).

Definiamo V(g) = - lavoro dei carichi statici esterni

V(g₀) = -P(l-u) = -P