Dynamics of structures

1. EQUAZIONI DEL MOTO PER SISTEMI DINAMICI LINEARI DISCRETIZZATI

PROBLEMA DELLA DISCRETIZZAZIONE DEI MEZZI CONTINUI

L'oggetto della dinamica delle strutture è lo studio delle vibrazioni che si verificano nei sistemi strutturali per effetto di eccitazioni di varia natura. Questi sistemi deformabili sono continui: infatti, l'inerzia e la deformabilità dei materiali sono distribuiti con continuità negli elementi che compongono la struttura.

Studiare questo tipo di problemi richiederebbe l'introduzione di un numero infinito di coordinate libere ovvero nel calcolare la risposta strutturale per mezzo di eq. differenziali alle derivate parziali.

• Studio delle oscillazioni di una mensola soggetta all'azione di una forza trasversale distribuita f(x;t)

ip: • piccole oscillazioni nell'intorno di G0; • comportamento elastico-lineare; • sezione simmetrica rispetto a 1/5 x; • inerzia rotazionale trascurabile; • deformaz. assiali e a taglio trascurabili;

Per scrivere l'equazione del moto consideriamo d'aprima l'applicazione di un carico statico distribuito p(x), la relazione che lega la deformata al carico per c;

1. EQUAZIONI DEL MOTO PER SISTEMI DINAMICI

LINEARI DISCRETI

PROBLEMA DELLA DISCRETIZZAZIONE DEI MEZZI CONTINUI

L'oggetto della dinamica delle strutture è lo studio delle vibrazioni che si verificano nei sistemi strutturali per effetto di eccitazioni di varia natura. Questi sistemi deformabili sono continui infatti, l'inerzia e la deformabilità dei materiali sono distribuite con continuità negli elementi che compongono la struttura.

Studiare questo tipo di problemi richiederebbe l'introduzione di un numero infinito di coordinate libere ovvero, nel calcolare la risposta strutturale per mezzo di eq. differenziali alle derivate parziali.

• studio delle oscillazioni di una mensola soggetta all'azione di una forza trasversale distribuita f(x;t)

hp:

• piccole oscillazioni nell'intorno di C₀;
• comportamento elastico-lineare;
• sezione simmetrica rispetto a Π(x;
• inerzia rotazionale trascurabile;
• deformaz. assiali e a taglio trascurabili.

Per scrivere l'equazione del moto consideriamo dapprima l'applicazione di un carico statico distribuito p(x), la relazione che lega la deformata al carico per C:

[^d2/_dx² (EJ(x) ^d2/_dx² n(x))] = p(x)

Usando il principio di D’Alembert si sostituisce a p(x) la somma dell’azione dinamica f(x,t) e della forza d’inerzia per unità di lunghezza.

(*) ^∂2/_∂x² [EJ(x) ^∂2/_∂x² n(x,t)] = f(x,t) - γ (x) ^∂2∂x(x,t)/_∂t² (equilibrio

dinamico)

con γ(x)= densità lineare; E = modulo di Young e J(x) = momento d’inerzia.

Per risolvere l’equazione occorre specificare le condizioni al contorno specificando lo spostamento e la rotazione dei vincoli. Sia condizioni dinamiche per l’atto di moto iniziale per la trave, si ha:

{

U(t₀; x) = λ (x);

U̇(t₀; x) = s (x); t₀ > 0

}

Il problema di questa formulazione è che l’equilibrio dinamico sopra è difficile da risolvere, pertanto è necessario un approccio numerico per arrivare alla soluzione. In generale si introduce il problema della discretizzazione dei continui.

DiscretizzazioneProcesso nel quale si passa da un problema avente un’infinità di funzioni incognite ad un problema di numero finito di discretizzazione, per ora, è applicata solamente allo spazio (x).

U(x ; t) = q₁(t)_,..., q_n(t)

2

I metodi piu' utilizzati sono:

1. Metodo delle Funzioni di Forma
2. Metodo delle Masse Concentrate

1) Metodo delle Funzioni di Forma (Assumed Shape Method)

Il metodo consiste nell'esprimere la deformata u(x,t) come combinazione lineare di un numero finito di Funzioni di Forma ψ_k, k=1,...,n e di coefficienti q_k(t) funzione del tempo. Le funzioni q_k(t) rappresentano le coordinate libere (o lagrangiane) del sistema. Quindi: