Dynamics of structures

1. EQUAZIONI DEL MOTO PER SISTEMI DINAMICI LINEARI DISCRETI

PROBLEMA DELLA DISCRETIZZAZIONE DEI MEZZI CONTINUI

L'oggetto della dinamica delle strutture è lo studio delle vibrazioni che si verificano nei sistemi strutturali per effetto di eccitazioni di varia natura. Questi sistemi deformabili sono continui: infatti, l'inerzia e la deformabilità dei materiali sono distribuite con continuità negli elementi che compongono la struttura.

Studiare questo tipo di problemi richiederebbe l'introduzione di un numero infinito di coordinate libere ovvero nel calcolare la risposta strutturale per mezzo di eq. a derivate parziali.

• Studio delle oscillazioni di una mensola soggetta all'azione di una forza trasversale distribuita f(x,t)

hp:

• piccole oscillazioni nell'intorno di C₀;
• comportamento elastico-lineare;
• sezione simmetrica rispetto a l;₁;
• inerzia rotazionale trascurata;
• deformaz. assiali e a taglio trascurabili

Per scrivere l'equazione del moto consideriamo dapprima l'applicazione di un carico statico distribuito p(x), la relazione che lega la deformata al carico p(x) è:

Quando il principio di D'Alembert si sostituisce a p(x) la somma dell'azione dinamica f(x,t) e della forza d'inerzia per unità lunghezza:

(τ) ∂²[EJ(x)∂V(x,t) / ∂x²] = f(x,t) - γ(x)∂²V(x,t) / ∂t² (equilibrio dinamico)

con γ(x)=densità lineare, E=modulo di Young e J(x)=momento d'inerzia

Per risolvere l'equazione occorre specificare le condizioni al contorno, specificando lo spostamento e la rotazione dei vincoli. Le condizioni dinamiche per l'atto al noto iniziale, per la trave, si ha:

{V(t₀,x) = χ(x)

∂V(t₀,x) = λ(x); t₀ > 0

Il problema di questa formulazione è che l'equilibrio dinamico sopra è difficile da risolvere, pertanto è necessario un approccio numerico per arrivare alla soluzione. In generale si introduce il problema della discretizzazione dei continui.

DISCRETIZZAZIONE

Processo nel quale si passa da un problema avente infinite funzioni incognite ad un problema di numero finito, da discretizzazione per cui è applicato solamente allo spazio x.

V(x,t) → g₁(t),...,g_n(t)

L'equazione dell'energia cinetica, tenendo conto delle funzioni di forma, diventa:

T = 1/2 _k=1^m Σ _j=1^m Σ 0^l ψ_k(x)ψ_j(x) ḡ_j(t) ḋ_k(t) ḋẍ(x) dx

dove Z_j è dato dal quadrato di ḋ²(x,t).

Dato che le coordinate lagrangiane sono funzioni solo del tempo, e considerando la linearità dell'operatore integrale e sommatoria, si ha:

T = 1/2 _k=1^m Σ _j=1^m Σ 0^l ψ_k(x)ψ_j(x) ḋ(x) dx - ḋ_k(t) ḋ_j(t)

Dato che ψ_k e ψ_j sono note l'integrale è un valore che può essere calcolato e viene indicato con M_k,j, per cui:

T = 1/2 _k=1^m Σ _j=1^m Σ M_κ,χ ḋ_k(t) ḋ_j(t)

che è una forma quadratica nelle incognite ḋ_k e ḋ_j. Usando la notazione matriciale si ottiene:

T = 1/2 ḋ^T M ḋ (energia cinetica)

• dove:
• M = matrice dei coefficienti = matrice d'inerzia

V_a = 0 poiché in una configurazione di equilibrio (a) l'energia potenziale nell'intorno di Co è stazionaria per cui la sua derivata prima (U') non può che essere nulla.

V_b c'è il termine di secondo ordine che viene considerato :

V_@ = ^2V/_∂qi∂qj avol V_{2 |q=qo} = K_ij

NOTA! Se si vuole che l' EQUILIBRIO SIA STABILE all Co l'energia potenziale V deve essere SEMPRE POSITIVA

EQUAZIONI DEL MOTO

Una volta determinate le espressioni di T e V l'equazione del moto :

^dL/_{dt ∂q̇k} - ∂L / ∂q_k = Q_k, k=1, 2, ..., n (S)

comes: ^d (T - V) / _{dt ∂q̇k} - ∂(T - V) / ∂q_k = Q_k, k = 1, 2, ..., n

dove :

• {T - ½ q̇^T W q̇ = T (q̇)
• V = ½ q^T k q = V (q)

per cui :

• { ∂L / ∂q̇_k = ∂(T - V)/∂q̇_k = ∂T / ∂q̇_k
• ∂V/∂q̇_k = 0
• ∂T / ∂q̇_k

• { ∂L / ∂q_k = 2(T - V) / 2 ∂T / ∂q_k - ∂V / ∂q_k
• - ∂V / ∂q_k (H)

Dunque V^(N) è sicuramente una quantità non nulla ma, nell’analisi,

di aurta non viene considerata in quanto racchiusa in un termine V_I

che è nullo.

b) Consideriamo un carico concentrato P verticale applicato in sommità

Per effetto di P, la trave tende ad abbassarsi

di una quantità u = l - x̄

Per determinare lo spostamento consideriamo un

arcuo infinitesimo di trave dx

localmente, la trave, per effetto di P, subisce una rotazione N^t per cui si ha:

dx̄ = dx cos N^t

Integrando questa quantità su tutte la lunghezza l si ha

x̄ = ∫₀^l dx̄ = ∫₀^l cos N^t dx

e dato che N^t (nell’ hp di piccoli rotazioni) è molto piccolo si può

scrive cos N^t ~ 1 - N^{t 2}/2 da cui lo SPOSTAMENTO u è dato:

u = l - ∫₀^l [1 - N^{t 2}/2] dx = 1/2 ∫₀^l N^{t 2} dx

Applicando ora la definizione di ENERGIA POTENZIALE:

V^(P) = -W^(P) = -Pu = -P/l ∫₀^l (N^{t 2} (x,t) dx

16

Grazie all’ip di piccole oscillazioni si può esprimere z_r come funzione lineare delle coordinate lagrangiane q₁(t),..., q_u(t) del sistema:

z_r = z_r0 + ∑z_r(q₁(t),..., q_u(t))

Può determinare la velocità ż_r si può usare la regola delle catene:

ż_r = ∑_i=1ⁿ ∂z_r / ∂q_i q̇_i      (°°)    ∂ż / ∂t = ∂z / ∂q · dq / dt

e analogamente, per la variazione δz_r:

δz_r = ∑_j=1^u ∂z_r / ∂q_j δq_j     ($)

Sostituendo tali valori nella δW_D(t) si ha:

δW_D = -∑_r=1^s c_r ∑_i=1ⁿ ∂z_r / ∂q_i q̇_i · ∑_j=1^u ∂z_r / ∂q_j δq_j = -∑_r=1^s ∑_i=1ⁿ ∑ ∂z_r / ∂q_i ∂z_r / ∂q_j c_r q̇_i δq_j

Dato che z_r = z_r(q_i,..., q_n) è una funzione lineare (°°) e ($) sono valori costanti. Inoltre c_r è un numero per cui si può introdurre il COEFFICIENTE c_aj:

c_ij = ∑_r=1^s c_r ∂z_r / ∂q_i ∂z_r / ∂q_j    (∆)

Per cui il LAVORO VIRTUALE δW_D si forma mutabile diventa

δW_D = -δq^t ċ q̇