Domande teoria Statistica

1. SPIEGARE LA PEREQUAZIONE CON IL METODO DEI MINIMI QUADRATI

Si considera il caso in cui la funzione perequatrice sia la retta di equazione

CALCOLO DEI PARAMETRI DELLA RETTA

Per ottenere i parametri a e b che rendono minima la somma del quadrato degli scarti tra dati effettivi e dati teorici occorre ricercare il minimo della funzione. Il sistema di equazioni normali da risolvere è:

PROPRIETÀ DELLA RETTA DEI MINIMI QUADRATI

1 ➔ POSIZIONE: la retta passa per il punto che ha come coordinate i valori medi delle 2 variabili

2 ➔ SOMMA: la somma dei dati effettivi è pari alla somma dei dati perequati

3 ➔ SCARTI: gli scarti sono incorrelati con la x

2. SPIEGARE LA CORRELAZIONE LINEARE E L'USO DEL COEFFICIENTE r

La correlazione indica la tendenza che hanno 2 variabili a variare insieme, ovvero covariare. Il coefficiente di correlazione lineare r è un indice normalizzato che misura l'intensità della relazione lineare esistente tra le due variabili.

Tale coefficiente può assumere valori compresi tra -1 (correlazione perfetta negativa) e +1 (correlazione perfetta positiva). Una correlazione dove r=0 indica che non vi è alcuna relazione tra le due variabili.

N.B. La correlazione non include il concetto di causa-effetto, ma solo quello di rapporto tra variabili. La correlazione ci permette di affermare che tra le due variabili vi è una relazione sistematica, ma non che una è causa dell'altra.

1. SPIEGARE LA PEREQUAZIONE CON IL METODO DEI MINIMI QUADRATI

Si considera il caso in cui la funzione perequatrice è la retta di equazione Ž = bX+a dove il parametro a indica l'intercetta con l'asse delle ordinate e il parametro b la pendenza della retta.

CALCOLO DEI PARAMETRI DELLA RETTA

Per ottenere i parametri a e b che rendono minima la somma del quadrato degli scarti tra dati effettivi e dati teorici occorre ricercare il minimo della funzione. Il sistema di equazioni normali da risolvere è:

na + b∑Xi = ∑Yi

a∑Xi + b∑Xi² = ∑XiYi

PROPRIETÀ DELLA RETTA DEI MINIMI QUADRATI

1. posizione: la retta passa per il punto che ha come coordinate i valori medi delle 2 variabili Ž = a + bX
2. somma: la somma dei dati effettivi è pari alla somma dei dati perequati Ž = 1/n∑Yi o (1/n)∑Ži
3. scarti: gli scarti (Ž-Ži)^2/(n-2) sono incorrelati con la X ∑(Xi - X̄) = 0

2. SPIEGARE LA CORRELAZIONE LINEARE E L'USO DEL COEFFICIENTE r

La correlazione indica la tendenza che hanno 2 variabili a variare insieme, ovvero covariare. Il coefficiente di correlazione lineare r è un indice normalizzato che misura l'intensità della relazione lineare esistente tra le due variabili.

-1 ≤ r ≤ +1

r = ∑_i=1ⁿ(xi-X̄)(yi-Ȳ) / (σ_xy / σ_x · σ_y)

√(∑_i=1ⁿ(xi-X̄)² · ∑_i=1ⁿ(yi-Ȳ)²)

Tale coefficiente può assumere valori compresi tra -1 (correlazione perfetta negativa) e +1 (correlazione perfetta positiva). Una correlazione dove r=0 indica che non vi è alcuna relazione tra le due variabili.

NB. La correlazione non include il concetto di causa-effetto, ma solo quello di rapporto tra variabili. La correlazione ci permette di differire che tra le due variabili vi è una relazione sistematica, ma non che una causa l'altra.

3. SPIEGARE LA DISTRIBUZIONE DISCRETA E IN PARTICOLARE LA BINOMIALE

In teoria delle probabilità una distribuzione discreta è una distribuzione di probabilità definita su un insieme discreto. Questo insieme può essere finito oppure numerabile (i suoi elementi possono essere elencati tramite numeri naturali).

La distribuzione binomiale è un particolare tipo di distribuzione discreta. Essa descrive il numero di successi di un processo di Bernoulli. È caratterizzata da due parametri: n = numero di prove effettuate p = Probabilità di successo in ogni singola prova X = numero di successi nelle serie di prove

La distribuzione di probabilità è:

P(x) = (n! / x! (n-x)!) * (π)^x (1-π)^(n-x)

μ = nπ

σ^2 = (√nπ(1-π))

σ^2 = (nπ) (1-π)

4. INDIPENDENZA STATISTICA NELLE DISTRIBUZIONI CONGIUNTE E INDICI DI CONNESSIONE BASATI SUL χ²

Due caratteri si dicono indipendenti quando essi non si influenzano vicendevolmente, sapendo che una unità statistica presenta la modalità X_i. Non sono in grado di dire alcunché su quale modalità di Y c'è presente. Dati due caratteri X e Y è possibile definire una tabella a doppia entrata. Il corpo centrale è costituito da una matrice il cui elemento generico rappresenta la frequenza congiunta, ossia la frequenza assoluta delle unità che presentano congiuntamente le modalità X_i di X e Y_j di Y. Le colonne e le righe dei totali sono dette distribuzioni marginali di riga e di colonna. Se due mutabili sono indipendenti, ovvero non vi è connessione se la tabella delle frequenze empiriche è uguale alla tabella delle frequenze teoriche Se χ²=0 non vi è connessione χ²>0 connessione

FREQUENZA TEORICA IN IPOTESI DI INDIPENDENZA

ſ_ij = n_i * n_j / n

→ CHI QUADRO

χ² = n (Σ_i=1^rΣ_j=1^c (n_ij - ½) / n_iji^r - 1)

→ COEFFICIENTE DI CONTINGENZA c.di.cont. → χ² / χ² + n √1+ 1 / k

INDICE QUADRATICO MEDIO DI CONTINGENZA

I_C = χ² / χ² + n

→ V DI CRAMER

V = χ² / √ n. min (n_r-1, n_c-1) V=0 ≡ indp V=1 mass. connessione

0 ≤ V ≤ 1

5. SPIEGARE:

1. principali concezioni di probabilità
2. proprietà probabilistiche degli eventi indipendenti e incompatibili.

A) CONCEZIONE CLASSICA

• La probabilità del verificarsi di un evento E può essere valutata come rapporto tra casi favorevoli e casi possibili, supposto che questi siano equipossibili.

B) CONCEZIONE FREQUENTISTA

f(E)=lim_n->∞ f_n(E)

Limite, per numero di prove che tende a ∞, della frequenza relativa.

C) SOGGETTIVISTA

• Al soggetto è riconosciuta la possibilità di esprimere una propria personale valutazione sulla probabilità che si verifichi l’evento.

D) IMPOSTAZIONE ASSIOMATICA DI KOLOMOGOROV

• Non negatività → La probabilità di un evento è sempre ≥ 0
• Additivà → La probabilità di eventi incompatibili, corrisponde alla somma delle loro probabilità
• Norma → La probabilità dell’evento certo è 1.

2. EVENTI INCOMPATIBILI

A∩B = ∅

⇒ P(A∪B) = P(A) + P(B)

EVENTI INDIPENDENTI

P(A∩B) = P(A) · P(B)

⇒ P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

6. RAPPORTI STATISTICI

• Sono indicatori che risultano dal rapporto di due dati statistici.

Si distinguono

• A) RAPPORTI DI COMPOSIZIONE

Siano date K grandezze a₁, a₂,..., a_k che formano una partizione di A ovvero A = a₁+a₂+...+a_k.

Sono rapporti di composizione percentuali

a₁/^A100, a₂/^A100, ..., a_k/^A100

• B) RAPPORTI DI COESISTENZA

Siano date K grandezze a₁, a₂,..., a_k che formano una partizione di A, ovvero A = a₂+...+a_k.

Presi due sottoinsiemi di tali grandezze si chiama rapporto di coesistenza percentualeil rapporto tra la somma delle grandezze del primo insieme e il secondo.

Rapporto max è possibile > 100

• C) RAPPORTI DI DERIVAZIONE

Sia A un fenomeno di stato e B un fenomeno di movimento generato da A.

siano a₁, a₂,..., a_k e b₁, b₂,..., b_k le manifestazioni di A e B rispetto a K situazioni.

Il rapporto di derivazione è pari a b₁/a₁1000, b₂/a₂1000, ..., b_k/a_k1000

• D) RAPPORTI DI DENSITÀ

Si mettono a confronto le manifestazioni di un fenomeno con le dimensionia cui il fenomeno è collegato (superfici, lunghezze, popolazione).

es. di output

popolaz. residente

7. Presentare i principali tipi di grafica riferiti alle diverse tipologie di caratteri

Caratteri qualitativi

• diagramma a torta _αi = 360^of_i
• diagramma a barre (le barre devono essere proporzionali alla frequenza assoluta)

Caratteri quantitativi

• istogrammi: non vi è spazio tra le barre
• hi = h_i = p.p. assoluta; wi = ampiezza classe
• ogive: grafici x frequenze cumulate
• ortogramma: rapp. grafica x variabili discrete
• box plot:

|----------|

q₃ Mediana q₁

|---|___|---

Mediaaritmetica

8. Numeri indice semplice

Rapportano le intensità di un fenomeno in luoghi o tempi diversi.

Si distinguono serie di numeri indice a base fissa e mobile

A) Base fissa

Permettono di valutare l'evoluzione del fenomeno nell'arco di tempo in cui è stato osservato.

bI_t = _qt/_qb

B) Base mobile

Se si è interessati a studiare le variazioni relative delle quantità Q da un tempo t-1 a quello successivo t.

t-1 I_t = _qt/_qt-1