Domande temi d'esame Meccanica dei Fluidi

POLITECNICO DI MILANO - FACOLTA’ DI INGEGNERIA INDUSTRIALE

( (

�)� �)

� + ∇ ∙ = � + � ∇ ∙ = 0

�

= �� � =

�

� �

( �

�) �

= � = − � = − � ∙

� ∇ ∙

= −

5. Fluidi ideali

Fornire ipotesi, enunciato e dimostrazione del teorema di Bernoulli �

Ipotesi: si considera un fluido ideale per cui gli sforzi tangenziali sono nulli, pertanto il tensore degli sforzi si

�

riduce a .

La divergenza del tensore degli sforzi si riduce quindi al gradiente della pressione:

� ̂ = ̂ = ∇

∇ ∙ =

Pertanto l’equazione di conservazione della quantità di moto diventa:

�� ��

− = ∇

�

Essendo soggetta al campo gravitazionale si ha .

= −∇̃ 2

� ��

∇̃ + ∇ = − +

�

Dividendo poi per si ottiene (ipotizzo il fluido sia incomprimibili quindi con densità costante che posso

=

portare nell’operatore gradiente): 2

1

� ��

∇ �̃ + � = − +

�

Proietto ora lungo le tre direzioni della terna intrinseca:

�̃ + � = 0

Che indica la distribuzione delle pressioni è idrostatica poiché direzione perpendicolare ad una corrente

gradualmente variata. 2

�̃ + � = −

Che indica che se la traiettoria è curva la quota piezometrica aumenta verso l’esterno della curva.

1 1

[.

�̃ + � = − = . ] = − � + �

2

Essendo e portandolo a sinistra, si ottiene:

= � �

2

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2

1

+ = −

+

�̃ �

2

Nel caso di moto stazionario (si annullano le derivate rispetto al tempo) si ottiene:

= 0

2

+ =

+ =0

�̃ �

2

Che indica la conservazione del carico totale o Trinomio di Bernoulli lungo la traiettoria che essa compie.

Definizione di potenza cinetica di una corrente e significato del coefficiente di ragguaglio.

Integrando la potenza meccanica infinitesima di un tubo di flusso di una corrente

2 3

= = + = �̃ +

+ � +

�̃ �

2 2

Sull’area della corrente si ottiene la potenza meccanica della corrente La potenza cinetica è il termine

.

legato alla velocità delle particelle di fluido della corrente:

3

3

= � = �

2 2

∫

Definendo la velocità media sulla sezione trasversale alla corrente come , se la velocità non

= =

è distribuita in maniera uniforme sulla sezione, 3 3

� ≠

Pertanto viene introdotto il coefficiente di ragguaglio della potenza cinetica

3

∫

= 3

6. Analisi dimensionale

Enunciato e dimostrazione del teorema Π

Teorema = è sempre possibile, con una scelta opportuna di del sistema di unità di misura, ridurre il numero

delle variabili di controllo di tante unità quante sono le unità di misura fondamentali.

Scelta una base costituita da un numero di variabili di controllo, tra di loro dimensionalmente indipendenti,

con abbastanza grande da esaurire i gradi di libertà dimensionali delle variabili in gioco (in meccanica se non

c’è dipendenza dalla temperatura basta Lunghezza Massa Tempo), si possono esprimere tutte le

= 3,

variabili del problema rispetto alle grandezze base.

Terna base = , ,

1 2 3

0

=

Π

0

1

2 3

Imponendo che sia un numero puro (adimensionale) si ha che sono gli esponenti che determinano

Π , ,

0

la misura di .

0

[ ] [ ] [ ] [ ]

=

0 1 2 3

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Per via delle ipotesi di indipendenza della terna base si ha

1

Π = =1

1 20 30

11

Così come per tutti i gruppi legati alle grandezze della terna base.

Π

Dunque ∗ ∗ (Π )

Π =

= , Π , Π , … Π , … Π

�Π �

0 1 2 3, 4 come:

Da cui, per mantenere il legame tra grandezze, si può ottenere il valore di

0

1 ∗ (Π )

= , … Π

0 4

2 3

7. Fluidi viscosi, moto in condotte

Disegnare e spiegare in dettaglio l’abaco di Moody

L’abaco di Moody è un grafico che mostra la variazione di indice di resistenza al variare del numero di

−

Reynolds e al variare della scabrezza relativa con scala logaritmica su e per tubi commerciali, quindi a

scabrezza non uniforme.

Per si parla di zona di moto laminare, in cui non c’è dipendenza di da . L’equazione in questo

< 2100

campo è: 64

=

Che in scala logaritmica è una retta.

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Per si parla di zona critica, in cui la relazione non è definibile in quanto dipende

2100 < < 10000 −

fortemente dalle condizioni della sperimentazione.

Per si parla di zona di moto turbolento. Se la scabrezza relativa è nulla si parla di legge dei

> 10 000 = 0

tubi lisci, determinata dalla legge di Prandtl-von Karman per tubi lisci

1 2.51

= −2 log � �

10 √

√

All’aumentare della scabrezza relativa, le curve si “staccano” progressivamente dalla curva dei tubi lisci,

determinate dalla legge di Colebrook-White (legge dei tubi scabri)

1 2.51 1

= −2 log � + �

10 3.71

√

√

Per numeri di si parla di zona di moto assolutamente turbolento in cui compare una

> 100 000

autosimilitudine di rispetto a (variazioni di non hanno più effetti su tendendo ad un asintoto

),

orizzontale, definito , che semplifica i calcoli rendendo esplicita la formula in quanto calcolabile come

∞ −2

1

= log � ��

�−2

∞ 10 3.71

Per si parla di zona di moto turbolento di transizione.

4000 < < 100 000

8. Fluidi viscosi, equazioni generali

Formulare il legame costitutivo per un fluido newtoniano

� �

Per i fluidi Stokesiani sappiamo che tensore degli sforzi si riconduce a quando la velocità si annulla e che

gli sforzi dipendono dalle velocità di deformazione.

� ̿ �

= +

��

� � ��

Con quando si annulla la velocità e

= 0 =

��

� ̿ ��

= +

Si dimostra che tale formulazione è invariante rispetto al sistema di riferimento.

�� � � �

� +

= � �

� 1 2

� � �

Con funzione tensoriale di e funzione scalare funzione dei tre invarianti di che sono traccia

1 2 ( )

(invariante lineare), somma