Domande temi d'esame Meccanica dei Fluidi

MECCANICA DEI FLUIDI

POLITECNICO DI MILANO - FACOLTA’ DI INGEGNERIA INDUSTRIALE

Domande esami Meccanica dei Fluidi

2. Statica dei fluidi

Ipotesi, enunciato e dimostrazione dell’equazione indefinita dell’equilibrio statico e della

legge di Stevino

Prendendo un volume infinitesimo di fluido in quiete di dimensioni scriviamo la seconda legge

, , ,

della dinamica come: � �

� + = ( ℎè )

� (�

Cioè come la somma delle forze di superficie e di volume sia nulla è una generica forza per unità di volume).

Esprimiamo le forze di superficie come le forze esercitate dalla pressione sulle facce del volume infinitesimo.

(−̂ )

̂ � +

+ � +

(−̂ )

+ ̂ � +

+ � +

� �� −�

+ � +

� =

+ �−

I termini si semplificano con

= .

Rimane

� �

̂ + ̂ + = � , , � =

∇ =

Che è l’equazione indefinita che governa la statica dei fluidi. �

Nel caso di fluidi pesanti, ovvero quando l’unica forza di volume per unità di massa è la forza peso = −∇̃

Fluidi incomprimibili

Fluido incomprimibile = .

Dividendo tutto per (entrambe costanti)

= �

∇ �̃ + � =

Che rappresenta la Legge di Stevino. = .

̃ +

Ricavare l’espressione del centro di spinta statica su superfici piane

(Metodo meccanico)

Definita la retta di sponda come l’intersezione tra il piano dei carichi idrostatici e il piano su ci giace la superficie

e si definisce il sistema di riferimento come in figura. La spinta esercitata dal fluido sulla superfice è data da:

���� �

�

Π

= � = �

��

GABRIELE MAZZOLARI A.A. 2019/2020 Pagina | 1

MECCANICA DEI FLUIDI

POLITECNICO DI MILANO - FACOLTA’ DI INGEGNERIA INDUSTRIALE

Essendo costante il versore normale alla superficie (piana). La

pressione è poi calcolata come (Stevino):

[ℎ

= ℎ = = sin ] = sin

Da cui si ricava

���� �

sin = ��

= = �

�

��

]

[

�

sin = sin = ℎ

=

�

= ℎ

���� �

=

� ����

La spinta che il fluido trasmette alla parete è uguale ed opposta alla forza che la parete trasmette al

fluido, quindi: � �

���� |

| | |

�

= − = − → =

�

����

La retta di applicazione di coincide con quella di , ma hanno verso discorde. Definito il centro di spinta

�

C.S. come l’intersezione tra la retta di applicazione di ed il piano della superficie, è necessario che la somma

����

�

dei momenti infinitesimi generati dalle forze sia uguale a quello della risultante . Definita la

Π

coordinata del centro di spinta, si ha:

���� � �

��

=

�Π �

��

����

Ovvero il momento generato da è pari alla somma dei momenti generati dalle pressioni sulle superfici

Π

infinitesime Essendo si ha:

. = sin

���� 2 � ��

�� sin

� = sin = = ���

��� �

��

2

Sapendo che momento d’inerzia dell’area, momento statico:

= =

∫

→ =

=

Successivamente si ha poi: = +

4. Dinamica dei fluidi

Formulare e dimostrare l’equazione di continuità nelle forme indefinita e globale

Forma indefinita

Il bilancio di massa di una particella di fluido non reattivo afferma che la sua massa deve rimanere costante

nel tempo. =0

Essendo la massa pari al prodotto di densità per volume si ha

()

= + =0

GABRIELE MAZZOLARI A.A. 2019/2020 Pagina | 2

MECCANICA DEI FLUIDI

POLITECNICO DI MILANO - FACOLTA’ DI INGEGNERIA INDUSTRIALE

Euleriana

Divido per il volume 1

+ � � =0

= � + � + � � + � −

�

� + � � + � � + � −

= = + + �

�

1

�

= + + = ∇ ∙

�

+ ∇ ∙ =0

Lagrangiana

Prendiamo in considerazione un parallelepipedo infinitesimo di lati attraversato da particelle di

, , ,

fluido. Il principio di conservazione della massa afferma che la massa entrata in un certo intervallo di tempo

meno quella uscita deve essere pari a quella accumulata. Considerando la faccia avente per normale l’asse ,

la riusciranno ad attraversare nell’intervallo di tempo solo quelle che si trovano ad una distanza da

essa. = = " ∗ "

)

(

= +

= −

�

� � �

= −

− + �

�

Considerando anche le facce con normali gli assi e si determina la massa complessivamente entrata nel

,

volume ) )

� �

( (

( �)

−� + + � = −∇ ∙

Essendo poi la massa accumulata come la differenza tra la massa finale e quella inziale contenuta nel volume

si ha anche

� + � − =

Eguagliando le due equazioni si ottiene

( (

�) �)

= −∇ ∙ → + ∇ ∙ = 0

Globale

Per arrivare alla forma globale basta integrare la forma indefinita su un volume finito .

GABRIELE MAZZOLARI A.A. 2019/2020 Pagina | 3

MECCANICA DEI FLUIDI

POLITECNICO DI MILANO - FACOLTA’ DI INGEGNERIA INDUSTRIALE

( (

�)� �)

� + ∇ ∙ = � + � ∇ ∙ = 0

�

= �� � =

�

� �

( �

�) �

= � = − � = − � ∙

� ∇ ∙

= −

5. Fluidi ideali

Fornire ipotesi, enunciato e dimostrazione del teorema di Bernoulli �

Ipotesi: si considera un fluido ideale per cui gli sforzi tangenziali sono nulli, pertanto il tensore degli sforzi si

�

riduce a .

La divergenza del tensore degli sforzi si riduce quindi al gradiente della pressione:

� ̂ = ̂ = ∇

∇ ∙ =

Pertanto l’equazione di con