Domande esame prof Zavanella Serie Storiche

(1) SERIE STORICA & PROCESSO STOCASTICO

Un processo stocastico è un insieme di variabili casuali indicizzate dal tempo. Può essere definito tramite questa scrittura {X(t/w,s)}. Il parametro w appartiene allo spazio campionario Ω mentre t appartiene ad una famiglia di indici. Se si fissa t=T otteniamo {X_T(w)} ove X_T(w) è una variabile casuale che dipende da t. Se invece si fissa w=w otteniamo una funzione reale X( | w) = x_w(t) che è una realizzazione/traiettoria del processo stocastico. La serie storica è proprio una singola realizzazione del processo stocastico. Utilizzeremo le conoscenze sui processi stocastici per analizzare le serie storiche.

(2) PROPRIETÀ DEI PROCESSI STOCASTICI E LORO RUOLO NELLE FASI DI IDENTIFICAZIONE, STIMA E PREVISIONE

Le proprietà sono 3: ergodicità, stazionarietà e invertibilità. Per quanto riguarda la stazionarietà, si dice che un processo è stazionario quand'è invariante rispetto ad una trasformazione arbitraria lungo l'asse dei tempi. In particolare il processo stocastico è stazionario in senso stretto se:

F_t2,t1 (X_{t4, x2, ..., xM}) = F_{t4+, KtK, ..., tKM+} (X₁, ..., X_M) ∀K R

Questa ipotesi, è facile immaginare, risulta molto difficile da soddisfare e per questo si parla di stazionarietà in senso debole o in senso dato. Un processo è stazionario in senso debole se tutti i suoi momenti congiunti fino all'ordine M=3 e sono invarianti rispetto a t₀. Si dice che un processo è stazionario del secondo ordine.

(1) Serie Storica e Processo Stocastico

Un processo stocastico è un insieme di variabili casuali indicizzate dal tempo. Può essere definito tramite questa scrittura {x|M,t}. Il parametro M appartiene allo spazio campionario Ω mentre t appartiene ad una famiglia di indici. Se si fissa t=T otteniamo {x_t|M} dove x_t|M è una variabile casuale che dipende da t. Se invece si fissa M=ω otteniamo una funzione reale x|M,t=x_ω(t) che è una realizzazione/traiettoria del processo stocastico. La serie storica è proprio una singola realizzazione del processo stocastico. Utilizziamo le conoscenze su processi stocastici per analizzare le serie storiche.

(2) Proprietà dei Processi Stocastici e loro Ruolo nelle Fasi di Identificazione, Stima e Previsione

Le proprietà sono 3: ergodicità, stazionarietà e invertibilità. Per quanto riguarda la stazionarietà, si dice che un processo è stazionario quando è invariante rispetto ad una trasformazione arbitraria lungo l'asse dei tempi. In particolare il processo stocastico è stazionario in senso stretto se:

F_{t₁₄,t₁₂,...,t₁ₘ}(x₁₄, x₂,..., xₘ) = F_{t₁₄₊ₖ,t₁₂₊ₖ,...,t₁ₘ₊ₖ}(x₁₄,..., xₘ) ∀ k R ∀ t_{₁,₂,...,ₘ}

Questa ipotesi, è facile immaginare, risulta molto difficile da soddisfare e per questo si parla di stazionarietà in senso debole o in senso lato. Un processo è stazionario in senso debole se tutti i suoi momenti congiunti fino all'ordine m ≥ 3 e sono invarianti rispetto a k. Si dice che un processo è stazionario del secondo ordine 0/1

Per invertibilità si intende la possibilità di scrivere variabile casuale all'interno del processo in funzione suoi valori passati (in presenza anche del WN). Questa gioca un ruolo fondamentale in una fase di identificarsi esiste una corrispondenza biunivoca tra funzione di a e funzione del processo per i moduli AR mentre per i moduli MA abbiamo una famiglia di 2^q moduli di cui uno è invertibile. È per queste proprietà molto importante che i processi devono essere ergodici, stazionari e invertibili.

(3) Processo White Noise & Processo Lineare Generale

Il più semplice processo stocastico è quello White N indicato con {a_t}. Le ipotesi alla base sono le seguenti che:

• E[a_t] = 0
• E(a_ta_t-k) = 0    ∀ k ≠ 0
• E[a_t²] = σ²_a < ∞

Da cui segue che:

• autocov: γ_k =     0    ∀ k ≠ 0    σ²_a    k = 0
• autocorr: ρ_k =     0    ∀ k ≠ 0    1     k = 0
• autocorr. parziale: φ =     0    ∀ k ≠ 0    1     k = 0

Un processo white noise viene detto gaussiano se

la distribuzione congiunta è normale:

a_t ~ N(0, σ_a²) - iid

Per il processo di W