Domande esame prof Zavanella Serie Storiche

(1) Serie Storica & Processo Stocastico

Un processo stocastico è un insieme di variabili casuali indicizzate dal tempo. Può essere definito tramite questa scrittura {X(t/ω)}. Il parametro ω appartiene allo spazio campionario Ω mentre t appartiene ad una famiglia di indici. Se si fissa t=t otteniamo {X_t/ω} ove X_t/ω è una variabile casuale che dipende da t. Se invece si fissa ω=ω" otteniamo una funzione reale X {ω"/t} = X_ω"(t) che è una realizzazione/traiettoria del processo stocastico. La serie storica è proprio una singola realizzazione del processo stocastico. Utilizziamo le conoscenze su processi stocastici per analizzare le serie storiche.

(2) Proprietà dei Processi Stocastici e Loro Ruolo nelle Fasi di Identificazione, Stima e Previsione

Le proprietà sono 3: ergodicità, stazionarità e invertibilità. Per quanto riguarda la stazionarità, si dice che un processo è stazionario quando è invariante rispetto ad una trasformazione arbitraria lungo l'asse dei tempi. In particolare il processo stocastico è stazionario in senso stretto se:

Questa ipotesi, è facile immaginare, risulta molto difficile da soddisfare e per questo si parla di stazionarità in senso debole o in senso lato. Un processo è stazionario in senso debole se tutti i suoi momenti congiunti fino an ordine m≤2 sono invarianti rispetto a t₀. Si dice che un processo è stazionario del secondo ordine.

Per invertibilità si intende la possibilità di scrivere variabile casuale all'interno del processo in funzione suoi valori passati [in presenza anche di WN]. Questa gioca un ruolo fondamentale nella fase di identificare esiste una corrispondenza biunivoca tra funzione di A e funzione del processo per i moduli AR mentre per i moduli MA abbiamo una famiglia di 2ⁿ moduli di cui uno è invertibile. È per queste proprietà molto importante che i processi devono essere ergodici, stazionari e invertibili.

[3] Processo White Noise e Processo Lineare Generale

Il più semplice processo stocastico è quello White Noise, indicato con {a_t}. Le ipotesi alla base sono le seguenti:

• E(a_t) = 0
• E(a_ta_t+k) = 0   ∀k ≠ 0
• E(a_t²) = σ_a² < ∞

Da cui segue che:

• Autocov:0   ∀k ≠ 0 σ_a²   k = 0
• Autocorr:0   ∀k ≠ 0 1   k = 0
• Autocorr. parziale:0   ∀k ≠ 0 1   k = 0

stazionario in covarianza quando i primi due momenti

sono costanti all'interno del processo stocastico.

in questo caso avremo che:

μ=μ

γ₀ = σ_ε² = σ²

∀ t

la stazionarietà è una proprietà fondamentale in

quanto necessaria per applicare il teorema di Wold e

quindi dare luogo a processo lineare generale, permette

anche l'esistenza dell'ergodicità, è serva in una fase di

identificazione per avere la possibilità di identificare il

modello per le sue caratteristiche. la presenza o meno

di questa proprietà influenza le previsioni.

per quanto riguarda l'ergodicità, ci permette di riprodurre

i risultati di una singola realizzazione a tutto il processo.

un processo stazionario è ergodico rispetto alla funzione

momento E [g (X_t)] se il momento campionario converge in modo

quadratico alla funzione momento:

1/N ∑_t=1^N g (X_t)² — E [g (X_t)]

questa convergenza implica che il processo sia ergodico

in senso forte. il processo è ergodico in senso debole se

la convergenza avviene in probabilità:

1/N ∑_t=1^N X_t̶̶_{͂͂ p} E (X_t)

se questa proprietà è soddisfatta allora la varianza

dello stimatore tende a zero (stimatore media). la condizione

sufficiente è che: lim_m→∞ 1/N ∑ γ (k) =0

Per la costruzione della statistica test bisogna ricordare che

ρ̂(k) ∼ N[ρ(k), Var[ρ̂(k)], ma nel test in questione si usa la varianza relativa al WN, ovvero ¹⁄_N (Cunnoi):

Z = ρ̂(k) - 0 ∕ √m⁄_N

Stabilito α si identificano i due valori critici - Z_α/2 e Z_α/2 la zona di accettazione diventa chiaramente la seguente:

-1.96 ≤ Z ≤ 1.96 ovvero |ρ̂(k)| ≤ ^1.96∕_√m

Sui software viene indicata una banda di significatività.

(11)

Stima della funzione di autocorrelazione e inferenza sull'intera funzione di autocorrelazione (Test Portmanteau)

Uguale a domanda precedente fino a segno in blu. Il test di Portmanteau serve per verificare la natura di white noise. In questo caso abbiamo che:

H₀: ρ₂ = ρ₂ = ... = ρ_k = 0 vs H₁: almeno 1 ≠ 0

Chiaramente se accetto H₁ conduco al rifiuto con ipotesi che i residui siano realizzazione di un processo white noise.

Stat. test:

Q(k) = m ∑_k=2^k [ρ̂(k)]² con: W_k = 1 Test di Box-Pierce

W_k = ^m+2⁄_m-x Test di Ljung-Box

La statistica test Q_(k) si distribuisce come una chi quadro:

Q(k) ∼ χ²_{k - (p+q+1)}

(12)

Stima di max. verosimiglianza dei parametri del modello AR(1); problemi e soluzioni

Modello AR(1) stazionario: X_t = c + φX_t-2 + ε_t

(ε_t) ∼ iid N[0, σ²_u]

Cioè posso dire che?

ℓ(X₁|a₀) ~ N(0, σ_a²)

Si potrebbe fare un ragionamento analogo per α₁ ma è evidente che non può essere noto con certezza. Ottenuto X₂ = x₂ il valore di α₁ può essere stimato:

α̂₁ = X₁ - M₁ + θ a₀ = X₁ - M

Quindi, ne segue che:

ℓ(X₂|x₁, α₀ = 0; β) ~ N(M - θ a₁, θ²σ_a²)

Ottenuta X₂ = x₂ e nota α̂₂ si può ottenere

α̂₂ = X₂ - M + θ α̂₁

Che procedendo in modo analogo diventa:

αt = X_t - Xt + θ α̂₂

La densità condizionata di X_Θ è quindi:

ℓ(X_t|x_t+1, X₁, α₀ = 0; β) ~

(1 / √(2πσ_a)) exp(-α²/2σ_a)

Tuttavia la funzione di verosimiglianza è funzione non lineare e abbastanza complicata di M e Θ. Si deve anche osservare che se il modello è invertibile e |Θ|<1 α₀=0 si annulla presto; se invece |Θ|>1 l'effetto di cancellare α₀ si moltiplicherà e l'appross. della verosimiglianza non sarà più valida. Ne segue che le stime andranno trovate con metodi di ottimizzazione numerica.