Domande di teoria Fisica tecnica

P P

δT δP

P T

Applicando tale definizione ad un gas ideale otteniamo

δs δs 1

( ) ( ) ( )

δh=T δT T δP δT T δP δT

+ +vδP=C −v +vδP=C

P P

δT δP T

P T

Dalle relazioni di Maxwell possiamo scrivere per l’ entropia:

C

δs δs

( ) ( ) P

δs= δP+ δT K δP+ δT

=−v P

δP δT T

T P

Applicando tale definizione ad un gas ideale otteniamo

C C C

¿

R

−v

P P P

δs=−v K δP+ δT δP δT δP δT

= + = +

P T T T P T

17. LE ESPRESSIONI DI VARIAZIONE DI ENTALPIA ED ENTROPIA SPECIFICA PER UN

, P)

(T

LIQUIDO IDEALE IN FUNZIONE DI

Un liquido si definisce ideale quando si può ipotizzare che sia assolutamente incomprimibile, ne

consegue una rivalutazione dei coefficienti termovolumetrici

δv 1 δv

( ) ( )

−1

K ; K

= =0 = =0

T P

v δP v δT

T P

δs δs

( ) ( )

δh=T δT T δP δT vδP

+ +vδP=C +

P

δT δP

P T

C C

P P

δs=−v K δP+ δT δT

=

P T T

18. SCRIVERE LE ESPRESSIONI DIFFERENZIALI DI DUE POTENZIALI TERMODINAMICI

PER GAS IDEALI

Energia interna δs δs p

( ) ( ) ( )

δu=Tδs− pδv=T δT δP− pδv=C δT T

+T + −T =0

v

δT δv T

v T

Entalpia δs δs 1

( ) ( ) ( )

δh=T δT T δP δT T δP δT

+ +vδP=C −v +vδP=C

P P

δT δP T

P T T −S

19. DIMOSTRARE CHE NEL PIANO LE CURVE ISOCORE SONO SEMPRE PIU’

PENDENTI DI QUELLE ISOBARE

Si consideri un gas ideale che subisce una trasformazione TIR durante la quale si scambi calore,

tale calore può essere scritto come

Q=Tδs

Introducendo le trasformazioni politropiche possiamo uguagliare la scrittura precedente alla

definizione

Q=C δT

X δT δs

C δT →

=Tδs =

X T C X

Integrando l’ eq differenziale si ottiene

s−s

δT δs T

∫ ∫ 0

→ ln

= =

T C T C

X 0 X

Da cui si ricava l’ espressione della temperatura

s−s 0

C

T e

=T X

0 C >C

Siccome per un’ isobara il termine esponenziale sarà minore e di conseguenza sarà

P v

minore la pendenza

20. SCRIVERE L’ EQUAZIONE DI PARTENZA E LE IPOTESI NECESSARIE PER RICAVARE

L’ EQUAZIONE GENERALE DELLE POLITROPICHE

Le ipotesi fondamentali sono che il gas si possa considerare ideale e che subisca una

trasformazione TIR. δs

( )

C =T

Definendo il calore specifico a pressione costante come è plausibile pensare di

P δT P

x

definire un calore specifico in funzione di una grandezza che rimanga costante

δs

( )

C =T

X δT X

Scrivendo l’ equazione dell’ energia interna per un gas ideale otteniamo

δu=C δT pδv

=Tδs−

v Q=Tδs

Per definizione di calore in una TIR inoltre per definizione di specifico è possibile

Q=C δT

scriverlo anche come X

Unendo a sistema il bilancio e gli ultimi due accorgimenti scriviamo

PvR

( ) ¿

C δT → C δ → C vδP+ C Pδv=R Pδv

( ) ( ) ( ) ( )

−C =Pδv −C =Pδv −C −C

X v X v X v X v

¿

¿

C vδP= R C Pδv → C vδP=− C Pδv

( )

( ) ( ) ( )

−C −C + −C −C

X v X v X v X v

C −C

( )

X P

n=

Si definisce e si ottiene l’ equazione alla base delle trasformazioni politropiche

C

( )

−C

X v 1

P v P v

( ) ( )

δP δv δP δv

∫ ∫ 2 2 2 2 n

vδP=−n Pδv → → ln( →

=−n =−n =ln =−n ) =

P v P v P v P v

1 1 1 1

n

P v =cost

21. DESCRIVERE LE CONDIZIONI IN CUI UN GAS SI PUO’ CONSIDERARE IDEALE E

RIPORTATE UN’ EQUAZIONE DI GAS REALE DESCRIVENDO IL SIGNIFICATO FISICO

DEI TERMINI CHE VI APPAIONO

{ T 2

>

r T

Un gas si può definire ideale per dove è la temperatura ridotta e viene

r

P <0,001

r

definita come

T

T P T , P

= mentre è la pressione ridotta definita analogamente; sono

r R CR CR

T CR

rispettivamente la temperatura e la pressione critiche

Dal grafico notiamo che il modello di gas ideale è un’

v

ottima approssimazione anche per molto grandi.

Modello di Van der Wals ( GAS REALE )

a

( ) ¿

P− v−b T

( ) =R

2

v

a Definita come pressione di coesione, tiene conto

2

v

delle forze di attrazione intermolecolari

b Definito covolume, ossia il volume minimo

occupato dalle molecole date le forze repulsive

22. MOSTRARE ( USANDO LE OPPORTUNE ESPRESSIONI DIFFERENZIALI ) CHE

DURANTE UNA TRANSIZIONE DI FASE ISOTERMOBARICA LA VARIAZIONE DEL

POTENZIALE DI GIBBS E’ NULLA

Il potenziale di Gibbs è definito come segue

G=G H , S , N → δG=δ H TδS+ Pδv

( ) ( ) =( )

−TS −TδS−SδT =Pδv−SδT

δG=0

In caso di transizione di fase, per definizione isotermobarica,

23. RAPPRESENTARE IL DIAGRAMMA DI MOLLIER PER L’ ACQUA ED INDICARE DOVE

VALE L’ APPROSSIMAZIONE A GAS IDEALE Sul diagramma di Mollier

Un gas è approssimabile a

ideale laddove notiamo

che l’ entalpia è funzione

di stato dunque funzione

della sola temperatura.

H=H (T )

24. SCRIVERE IL

BILANCIO

ENERGETICO

PER UNA

TURBINA IN CUI

SIANO PRESENTI

ANCHE SCAMBIO

TERMICO E

VARIAZIONE DI

VELOCITA’ TRA

INGRESSO ED

USCITA

2

( )

2 P v

( )

P v ́ ́

out out

m u g z Q m u g z L

¿ ¿

́ + + + + = ́ + + + +

out out out

¿ ¿ ¿ ¿

ρ 2 ρ 2

¿ out

2

( )

2 v

( )

v out

́ ́

m h Q m h L

¿

́ + + = ́ + +

¿ ¿ ¿ out out

2 2

25. DISEGNARE UNA TRASFORMAZIONE ISOPBARA ED UNA ISOCORA SU UN PIANO

T T

−S =f (S)

PER UN GAS IDEALE ED INDICARNE LE FUNZIONI

Trasformazione isocora:

Per esprimere la temperatura in funzione dell’entropia è

necessario scrivere quest’ultima come

δQ δT δT

δS= =C =C

X v

T T T

Integrando si ottiene S −S 0

T C

S−S ln →T e

=C =T v

0 v 0

T 0

Trasformazione isobara:

Per esprimere la temperatura in funzione dell’entropia è necessario

scrivere quest’ultima come

δQ δT δT

δS= =C =C

X P

T T T

Integrando si ottiene S −S 0

T C

S−S ln →T e

=C =T P

0 v 0

T 0

26. ESPRIMERE IL RENDIMENTO DI UN CICLO JOULE DIRETTO IN FUNZIONE DELLE

TEMPERATURE E DEGLI SCAMBI ENERGETICI

Il rendimento è definito come rapporto tra effetto utile e spesa ( in termini energetici o di potenza )

In via preliminare scriviamo il bilancio energetico sul ciclo

l q

+q =l +

¿ ¿ out out

Il rendimento in funzione degli scambi termici può essere scritto come

L l q q

−l −q

¿ ¿

utile out out out

η= = = =1−

q q q q

¿ ¿ ¿ ¿

Per un ciclo Joule ideale ( macchine isoentropiche ) si possono studiare le trasformazioni del gas

con l’ equazione delle politropiche e ne deriva che

n−1 n−1 1−n P

n n n 2

T P P → T β ; β

=T =T =

1 1 2 2 2 1 compressore P 1

n−1 n−1 n−1 P

n n n 3

T P P →T β ; β

=T =T =

3 3 4 4 4 3 turbina P 4

β

Uguagliando la scrittura di

T T

2 3

=

T T

1 4

Scrivendo il rendimento in funzione delle temperature:

T

( )

4 −1

T

C T

q T T

( )

−T 1

P 4 1

out 1 1

η=1− =1− =1− =1−

q T T

C T

( ) T

−T ( )

2 2

¿ P 3 2 3 −1

T 2 T −S

27. RIPORTARE SUL DIAGRAMMA UN CICLO RANKINE REALE INVERSO E

SCRIVERE LE ESPRESSIONI DEL COP SIA COME MACCHINA FRIGORIFERA CHE

COME POMPA DI CALORE Scriviamo il bilancio sul ciclo

q → l

+l =q =q −q Macchina

¿ ¿

c out c out

frigo q q

¿ ¿

CO P = =

MF l q −q

c out ¿

Pompa di calore

q q

out out

CO P = =

PdC l q −q

c out ¿

28. DIMOSTARE CHE PER UN

GENERICO CICLO INVERSO, A

PARITA’ DI TEMPERATURE ,

CO P P

+1=CO

MF PdC

Bilancio sul ciclo

q +l =q

¿ c out

Macchina frigo

q q

¿ ¿

CO P = =

MF l q −q

c out ¿

Pompa di calore

q q +l q

¿

out c

CO P P

¿

= = = +1=CO +1

PdC MF

l l l

c c c

29. SCRIVERE LE EQUAZIONI CHE ESPRIMONO LO SCAMBIO ENERGETICO TRA DUE

FLUIDI IN UNO SCAMBIATORE DI CALORE

L’ analisi puramente energetica per uno scambiatore di

calore ideale ( isobaro ) si conduce come segue

́

mh Q= mh

́ + ́

¿ out

́

m s S m s

́ + = ́ Le due equazioni si estendono sia al lato caldo che a quello freddo, è

¿ Q out

fondamentale notare che il modulo dello scambio termico è lo stesso nei due casi.

30. ESPRESSIONE DEL RENDIMENTO ISOENTROPICO DI UN COMPRESSORE CHE

ELABORA GAS IDEALE, IN FUNZIONE DELLE TEMPERATURE DI INIZIO E FINE

COMPRESSIONE

Il rendimento isoentropico è definito come

l i s

η = c

i s l

C r e

c

Dal bilancio energetico sulla macchina si ottiene

h →l

+l =h =h −h =C (T −T )

1 c 2 c 2 1 P 2 1

Ne consegue che is

l C (T −T )

i s P 2 1

η = =

c

i s l C (T −T )

C r e P 2 1

c

31. ESPRESSIONE DEL RENDIMENTO ISOENTROPICO DI UNA TURBINA CHE ELABORA

GAS IDEALE, IN FUNZIONE DELLE TEMPERAT