Domande di Costruzione di strade, ferroviarie e aeroporti

Ricavare le equazioni parametriche della clotoide

Partendo dall'elementino di clotoide di dimensioni infinitesime, possiamo ricavare le equazioni parametriche scomponendo:

dx = ds * cos(τ)

dy = ds * sin(τ)

Dove:

S = √(2 * A)

ds = A * dτ

Sostituendo e integrando, otteniamo:

∫[x] = A * ∫[τ * cos(τ)] dτ

∫[y] = A * ∫[τ * sin(τ)] dτ

Risolvendo questi integrali, otteniamo le equazioni parametriche della clotoide:

x = A * (τ - (1/10) * τ^3 + (1/216) * τ^5 - ...)

y = A * (τ^2/2 - (1/20) * τ^4 + (1/216) * τ^6 - ...)

Tali integrali non sono risolvibili in forma chiusa, quindi è necessario sviluppare in serie di Taylor il seno e il coseno.

1. Il candidato dimostri la relazione tra fattore di scala, R e scostamento per le clotoidi con fattore di forma unitario.
2. Un parametro utile per il tracciamento di una clotoide è ∆r = scostamento, distanza tra il cerchio osculatore dall'asse delle x.
3. 2S=τ
4. 22 A2 2=2S τ A√S= A 2 τ= X P=X -RX sin τM P=Y +Y R cos τM P√ 2 2 2 22 A A A A S S√≈X -R -R = - =S- =X sin τ A 2 τ-Rτ= AM P 2 R 2 R 2 22 2R 2 R( )2τ τ√≈Y + + =R+Y R cos τ A 2 τ R 1- ∆ rM P 3 22 2τ τ A√=A +R+∆ r 2 τ R-R sappiamo τ= 23 2 2 R( )2 4-RA A A=A +∆ r ∙ ∙ 2 4R 26 R 4 R √ ( )2 2 4 4A A A A 3 ∆r3= - =∆r ∙ → A= 24 R ∆ r 1+2 3 3R 14 R6 R 8 R 24 R
5. Il candidato dimostri come si riceve l'Amin per sovrapendenza e spieghi il significato della relativa verifica.
6. Lungo la clotoide viene variata la pendenza

carreggiata, possiamo osservare che quando si passa da un elemento con una certa curvatura ad un altro con una curvatura diversa, il bordo esterno della carreggiata subisce una variazione di quota e assume una sovrapendenza rispetto all'asse stradale. La sovrapendenza è calcolata utilizzando la formula (q + )100B q1 2∆ i= L, dove q rappresenta la sovrapendenza, B è la larghezza della carreggiata, q1 è la sovrapendenza iniziale, ∆i è la variazione di quota e L è la lunghezza dell'arco della clotoide. Per determinare la lunghezza minima dell'arco della clotoide, possiamo utilizzare l'equazione 1 1−Rf Ri 1=Lmin 2A √ ( )−qB q 1001 2A ≥ Amin=, dove Rf è il raggio finale, Ri è il raggio iniziale, A è la lunghezza dell'arco della clotoide e Amin rappresenta la lunghezza minima dell'arco della clotoide. L'abaco di Osterloch è uno strumento utilizzato per il dimensionamento delle clotoidi di continuità. Esso fornisce una rappresentazione grafica delle relazioni tra i parametri della clotoide, come la lunghezza dell'arco, il raggio iniziale e finale, e la sovrapendenza. L'espressione analitica da cui deriva l'abaco di Osterloch è l'equazione di clotoide, che permette di calcolare la lunghezza dell'arco della clotoide in funzione dei parametri sopra citati. Questa equazione è utilizzata per determinare la forma e la lunghezza della clotoide necessaria per garantire una transizione fluida tra due elementi di curvatura diversa della carreggiata. In conclusione, l'abaco di Osterloch è uno strumento fondamentale per il dimensionamento delle clotoidi di continuità, permettendo di calcolare la lunghezza dell'arco della clotoide in base ai parametri specifici della strada.continuità: 2[ ] [2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (-R -D = - + -Y = -R - -R + + - +R X X Y X sin τ X sin τ Y R cos τ Y R cos1 2 M 2 M 1 M 1 M 2 P 2 2 2 P 1 1 1 P 1 1 1 P 2 22 2A A1 2= =τ ; τSappiamo inoltre 1 22 22 R 2 R1 2Sostituiamo ed otteniamo un'equazione molto complessa che può essere risolta solo attraverso un risolutore matematico. Un'alternativa è quella di utilizzare l'abaco di Osterloch. Osterloch ha determinato la variazione del rapporto A/R in funzioni delle 2 variabili R /R e D/R ottenendo una famiglia di1 2 1 1curve che consente di determinare il parametro A (che deve rispettare semprele limitazioni) moltiplicando per R . Le soluzioni date da Osterloch sono utili, ma1comportano un'approssimazione legata al metodo grafico, taleapprossimazione è accettabile in base di progetto preliminare.Progetto definitivo metodo analitico.25) Il candidato illustri il

criterio di dimensionamento dei raccordi verticali basato sul comfort.

Il raccordo verticale è definito se si conosce la lunghezza L o il R (raggio del cerchio osculatore nel vertice). La determinazione di questi valori è fondata su due criteri:

1. Assicurare le visuali libere necessarie per la sicurezza di marcia;
2. Assicurare il comfort dell'utente.

Poniamo un limite di accelerazione verticale a ≤ 0,6 m/s² → v² = 2V aSappiamo v R a v con v = velocità in cui viene percorso il raccordo

2V V 2=Rmin= a ≤ 0,6 m/s² m R

0,6 2s²

6) Il candidato dimostri la formula di dimensionamento dei raccordi verticali convessi (dossi) nell'ipotesi che la visuale libera sia minore dello sviluppo del raccordo stesso.

D < L L = R∆i = lunghezza raccordoD = distanza di visibilità in cui il conducente vede l'oggetto

h = punto di vista (occhio conducente) = 1,10 m

h = punto di mira (oggetto visto verticalmente) = 0,10 m

√ h² 1 = a ∙ h p p = 1 a √ h²

1. 2=a∙h
2. q q=2 a√ 1 1( ) ( )√ √ √ √+ = +D= p+ q= h h h h1 2 1 2√a a√ 22 L 2 L2( ) ( )√ √ √2 = + = + +2D h h h h h h1 2 1 2 1 2∆i ∆ i 2∆ i∙ DL=Ricaviamo L  √( )+h +22 h h h1 2 1 22L D= =raggiocerchioR= osculatore nel vertice parabola minimo√( )∆ i + +22 h h h h1 2 1 2D > L √+h + +hh hL 1 2 1 2+D= 2 ∆i( )√+ + +h h h h1 2 1 2L=2 D− ∆i( )√+ + +hh h hL 2 1 2 1 2=R= D−∆i ∆i ∆i
3. 27) Il candidato illustri il criterio di dimensionamento di un raccordoverticale concavo (sacca) nell’ipotesi di D<L e dimostri come si ricava larelazione che viene impiegata nel suddetto dimensionamento.Il criterio di dimensionamento di un raccordo verticale si basa sulla visibilità.Non si pongono in questo caso problemi di visibilità diurna, mentre ènecessario garantire che il tratto di strada illuminato dai fari abbia lunghezzanon inferiore alla distanza di

arresto. Detta h = altezza fari veicolo e θ = max divergenza verso l'alto del fascio luminoso.
Hp: D<L, piccolezza di θ2h+ D ·θ=a · D
Δi 2h+ D ·θ= D2 L
ricaviamo L e sappiamo L=|Δi|R → R=L/|Δi|2
Δi D- L= 2(h+ D ·θ)2
D- R= 2(h+ D · θ)
Nel caso fosse stato chiesto il caso D>L:
( )h+D· θL=2 D- Δi( )L 2 h+ D· θ=R= D- Δi Δi Δi
28) Il candidato illustri cosa prevede l'attuale normativa in relazione all'allargamento della carreggiata in curva ed in base a quali considerazioni viene prescritto.
Allo scopo di consentire la sicura iscrizione dei veicoli (veicoli soprattutto) nei tratti curvilinei del tracciato, è necessario che nelle curve circolari ciascuna corsia sia allargata di una quantità E. Sappiamo che in curva i veicoli hanno un ingombro trasversale maggiore di quello in rettifilo, perciò se necessario si prevede l'allargamento conservando gli stessi franchi.

laterali e margini delle corsie, per consentire la svolta contemporanea di due mezzi pesanti in curva.

kE= k=45 R=raggio esterno della corsia

Tale fenomeno risulta molto pronunciato se la curva ha un raggio piccolo.

Se l'allargamento E risulta inferiore a 0,20 m la corsia conserva la larghezza che ha in rettifilo.

Nel caso rettifilo-curva l'allargamento parte 7,50 m prima della clotoide e termina 7,50 m dopo la clotoide.

Allo scopo di consentire la sicura iscrizione dei veicoli pesanti in curva, perché hanno un ingombro trasversale maggiore di quello quando percorrono un rettifilo, è necessario che ciascuna corsia nelle curve circolari sia allargata di una quantità E per consentire le contemporanee di due mezzi pesanti.

29) Con riferimento alle norme ed i criteri che disciplinano la progettazione plano-altimetrica di una infrastruttura stradale, il candidato spieghi il significato di Distanza di Ricomparsa e l'ambito di impiego.

Oltre alla progettazione dei

Singoli elementi, occorre considerare il tracciato nella sua globalità, ciò si ottiene mediante lo studio del coordinamento plano-altimetrico. Lo studio del coordinamento plano-altimetrico ci garantisce una percezione chiara delle caratteristiche del tracciato. Generalmente con questo studio si analizzano i possibili difetti prospettici che scaturiscono da un coordinamento non corretto. Un difetto importante è quando un raccordo convesso precede un raccordo concavo, accade quasi sempre che una porzione di strada sparisce dalla vista del conducente, per riapparire poi ad una certa distanza, si verifica la perdita del tracciato. In tale situazione si creano situazioni di disagio e incertezza. La perdita di tracciato non è eliminabile, ma le sgradevoli sensazioni possono essere eliminate facendo in modo che la strada ricompaia ad una conveniente distanza dal conducente (Dr). Dr è la distanza a cui deve ricomparire la strada affinché la perdita del tracciato

noninduca un disagio nel conducente. La grandezza che può essere assimilata alla Dr è la lunghezza di accomodamento dell'occhio. 30) Il candidato spieghi il significato del concetto di distanza di Riconoscimento. Per distanza di Riconoscimento (Dri) si intende la lunghezza massima del tratto di strada entro il quale il conducente può riconoscere eventuali ostacoli o avvenimenti. Dri = 12 s ∙ V m / s, V è riferita all'elemento di raggio minore La variazione di velocità può avvenire solo nella Dri e quindi per garantire la