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Appunti di statistica I con le dimostrazioni basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni della prof. Polisicchio dell’università degli Studi di Milano Bicocca - Unimib, facoltà di economia, Corso di laurea in economia e commercio. Scarica il file in formato PDF!

Esame di Statistica I docente Prof. M. Polisicchio

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2)la retta a minimi quadrati passa per il punto di coordinate (x̄

; ӯ), ӯ= ἂ + ἂ * x̄

. Dalla prima proprietà Σyi=ŷi, si

1

0

deduce che: Σyi=Σ(ἂ + ἂ *xi)-->Σyi=Σn* ἂ + ἂ *Σxi, dividendo per N da entrambe le parti si ottiene: ӯ= ἂ + ἂ * x̄

.

1 1 1

0 0 0

3)La covarianza fra la variabile residua Z e la variabile X è nulla: Cov(Z,X)=1/n Cod(Z,X)=1/n(Σ(zi-z)*(xi- x̄

)).

Ricordando che ż=0 e che zi=yi-ŷ, si ottiene: Cov (Z,X)=1/n Σ(yi-ŷi)*(xi- x̄

)=0, annulla le sommatorie Σ(yi-ŷi)=0 e

Σ(yi-ŷi)*(xi- x̄

)=0.

La scomposizione della devianza totale in devianza spiegata e devianza residua, nel caso

della retta interpolante a minimi quadrati: si verifica che (yi-ӯ)=(yi-ŷi)+(ŷi-ӯ), il quadrato dello scarto totale

2 2 2

risulta: (yi-ӯ) =(yi-ŷi) +(ŷi-ӯ) +2(yi-ŷi)(ŷi-ӯ), sommando tutti gli scarti totali al quadrato si ottiene:

2 2 2

Σ(yi-ӯ) =Σ(yi-ŷi) +Σ(ŷi-ӯi) +2Σ(yi-ŷi)*(ŷi-ӯi), sostituendo nell'ultima sommatoria L (xi- x̄

) al posto di (ŷi-ӯi) si ha:

1

2 2 2

2Σ(yi-ŷi)*L (xi- x̄

)=2L Σ(yi-ŷi)*(xi- x̄

). Otteniamo: Σ(yi-ӯi) =Σ(yi-ŷi) +Σ(ŷi-ӯi) . La devianza spiegata è uguale alla

1 1

somma del quadrato degli scarti spiegati, la devianza residua è uguale alla somma del quadrato degli scarti

residui-->D =D +D

T R S. 2d

La devianza spiegata in funzione del coefficiente angolare della retta a minimi quadrati: I =devianza

2 2 2 2 2

spiegata/devianza totale=Σ(ŷi-ӯi) /Σ(yi-ӯi) = Σ(ŷi-ӯi) /Σ(ŷi-ӯi) +Σ(yi+ŷi) . l'indice assume i valori [0;1]. l'indice

2 12

assume valore massimo+1 se D =0. l'indice assume valore min 0 se D =0, devianza spiegata= Σ(ŷi-ӯi) =L Σ(xi-

R S

2 12

) =L *DEV(X).

Relazione fra le frequenze relative marginali e le frequenze relative parziali: L frequenza relativa marginale

fr(bi) è uguale alla media aritmetica ponderata delle frequenze relative condizionate fr(bi/aj) con pesi pari alla

numerosità nj delle distribuzioni parziali.

fr(bi)=ni./N=ni1+...+nij+....+nic/N=[(ni1/n.1)*n.1+...+(nij/n.j)*n.j+...+(nic/n.c)*n.c]/N. Poiché ni1/n.1=fr(bi/a1)

risulta: fr(bi)=[fr(bi/a1)*n.1+...+fr(bi/aj)*n.j+...+fr(bi/ac)*n.c]/N---> fr(bi)=1/N Σfr(bi/aj)*n.j.

Uguaglianza delle frequenze marginali teoriche nel caso di indipendenza distributiva con le corrispondenti

frequenze marginali effettive: ň =ni.*n.j/N; ň=Σň --> ň =Σni.*n.j/N=ni./N Σn.j=(ni./N)*N=ni.--> ňi=ni.

ij ij i.

L’indipendenza distributiva implica l’indipendenza in media: se n =(n *n )/N-->allora ӯ =ӯ -->ӯ =(1/n j)Σyi*n ;

ij .j i. j j . ij

per l'ipotesi di indipendenza distributiva, risulta: ӯ (1/n j)Σyi*((n *n )/N)=((n /n )*N)Σyi*ni.=1/N Σyi*ni.=ӯ.

j= . .j i. .j .j

Il calcolo della covarianza in una tabella a doppia entrata attraverso le medie parziali di X o le medie parziali

di Y: Cod(X,Y)=ΣΣ(x x̄

)(y =Σ(x x̄)Σ(y . svolgendolo:

- -ӯ)*n - -ӯ)*n

j i ij j i ij

Σ(y Σy *n =ӯ n -ӯ*n =(ӯ -ӯ)*n.j-->Cod(X,Y)=Σ(xj- x̄

)(ӯ -ӯ)*n e Cov(X,Y)=1/NΣ(xj- x̄

)(ӯ -ӯ)*n

-ӯ)*n -ӯΣn .

i ij= i ij ij j. .j .j j j .j j .j

Proprietà della covarianza:

1)l'indipendenza distributiva implica che Cov(X,Y)=0, per ipotesi c'è indipendenza distributiva, ossia

n =(n *n )/N, Cov(X,Y)=1/NΣΣ(y )*n =1/NΣΣ(y )*(n *n /N)=1/NΣ(x x̄

)*n Σy , per la prima

-ӯ)(x -x̄ -ӯ)(x -x̄ - -ӯ)*n

ij .j i. i j .j i j i. .j j .j i i.

proprietà della media aritmetica le ultime due sommatorie sono uguali a 0-->Cov(X,Y)=0.

2)se uno dei due caratteri Y o X è indipendente in media dall'altro, allora Cov(Y,X)=0, Supponiamo che Y sia

indipendente in media da X: Cov(X,Y)=1/NΣ(x x̄

)(y =1/NΣ(x x̄

)*0*n =0.

- -ӯ)*n -

j j ij j .j

3)Se z =a+bxi e che w =c+dy allora Cov(Z,W)=bdCov(X,Y), è noto che z=a+bx̄ e che w=c+dӯ, pertanto

i i i

(z )-a-b x̄

=b(x x̄

) e (wi-w)=(c+dy )-c-dӯ=d(y -ӯ). -->(z x̄

)(y -ӯ). -->

-z)=(a+bx - -z)(wi-w)=b*c*(x -

i i i i i i i i

Cov(Z,W)=1/NΣ(z x̄

)(y -ӯ)=b*d*1/NΣ(x x̄

)(y -ӯ) -->Cov(Z,W)=b*d*Cov(X,Y).

-z)(w -w)=1/NΣb*d*(x - -

i i i i i i


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AUTORE

menguz

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6 mesi fa


DETTAGLI
Esame: Statistica I
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e commercio
SSD:
A.A.: 2018-2019

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher menguz di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Statistica I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Milano Bicocca - Unimib o del prof Polisicchio Marcella.

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