dimostrazioni statistica I

Dimostrazioni statistica I

Relazione fra numeri indici a base fissa e numeri indici a base mobile

I = X / X --> I = X / X , j.0 j 1.0
I = X / X ,..., I = X / X --> I = I * I * ... * I --> X / X = X / X * X / X * ... * X J-1 / X j-2 * X / X .2.1 2 1 j.j-1 j j-1 j.0 1.0 2.1 J.J-1 J 1 2 1 J J-10 0

Proprietà delle frequenze relative

• fr(a_j) = n(a_j) / n --> è sempre non negativa n(a_j) ≥ 0, n > 0.
• La somma delle frequenze relative di una distribuzione è uguale a 1: fr(a₁) + ... + fr(a_j) + ... + fr(a_s) = 1, [n(a₁) + ... + n(a_j) + ... + n(a_s)] / n = 1, Σn(a_j) / n = 1, Σn(a_j) = n.

Proprietà della media geometrica relativa ai logaritmi

La media geometrica dei logaritmi di N valori positivi è 1/N pari al logaritmo della media geometrica degli N valori:
log(M₁(x)) = log([x₁ * ... * x_i * ... * x_N] ) = 1/N(log x₁ + ... + log x_i + ... + log x_N) = 1/N Σ log x_i --> log(M₁(x)) = M₁(log x).

Media aritmetica

• Somma degli N scarti (x_i - M₁) = 0 --> Σ(X_i - M₁) = ΣX_i - ΣM₁ --> ΣX₁ - N * M₁. Dal momento che M₁ = 1/N Σx_i --> Σ(X_i - M₁) = ΣX_i - ΣX_i = 0. --> M₁ è l'unico valore che annulla la somma degli scarti.
• Somma del quadrato degli scarti delle x_i da un valore A è minima per A = M₁ --> Σ(x_i - A)² = Σ[x_i - A - M₁ + M₁]² = Σ[(x_i - M₁) + (M₁ - A)]² = Σ(X_i - M₁)² + N * (M₁ - A)² + 2(M₁ - A) Σ(x_i - M₁). Poiché N(A - M₁)² è una quantità non negativa, risulta: Σ(x_i - A)² ≥ Σ(x_i - M₁)².
• La media aritmetica totale è uguale alla media aritmetica ponderata delle medie aritmetiche parziali, con pesi pari alla proprietà dei gruppi (proprietà associativa) --> M₁ = (M₁^(J) * N₁ + … + M₁^(k) * N_j + … + M₁^(j) * N_k) / (N₁ + ... + N_j + ... + N_k) = 1/N ΣM₁ * N_j.
• Se fra i valori Y e quelli di X vi è una relazione lineare del tipo y_i = a + b * x_i, allora fra la media aritmetica di Y e quella di X vi è la stessa relazione lineare --> M₁(Y) = (1/N) Σa + b * x_i --> M₁(Y) = (1/N) Σa + (1/N) * b Σx_i --> M₁(Y) = (1/N) * N * a + b * (1/N) Σx_i --> M₁(y) = a + b * M₁(x).

Procedimento indiretto per il calcolo della devianza o della varianza

Dev(X) = Σ(X_i - M₁)² = Σ(x_i² + M₁² - 2M₁x_i) = Σx_i² + ΣM₁² - 2M₁Σx_i. Poiché Σx_i = N * M₁, risulta:
Dev(X) = Σx_i² + N M₁² - 2M₁ * N M₁ --> Dev(x) = Σx_i² - N M₁² da cui Var(X) = σ² = 1/N Σx_i² - M₁².

Proprietà Varianza

• Se Y = a + b x, allora σ²(Y) = b² * σ²(X); se Y = a + b x, allora M₁(Y) = a + b * M₁(X), per definizione σ²(y) = 1/N Σ(y_i - M₁(Y))²,
  per ipotesi y_i = a + b x_i e M₁(y) = a + b * M₁(X) --> [y_i - M₁(y)]² = [a + b x_i - a - b M₁(X)]² = [b(x_i - M₁(x))]² = b² [x_i - M₁(x)]²,
  -->σ²(Y) = 1/N Σb² [x_i - M₁(X)]² = b² 1/N Σ[x_i - M₁(X)]² = b² σ²(X).
• Scomposizione della varianza totale: σ²_T = 1/N Σσ²_j * N_j + 1/N Σ( x̄_j - x̄)² * N_j, la varianza totale si ottiene aggiungendo
  alla media ponderata delle varianze parziali la varianza fra le medie parziali. Varianza totale = varianza nei gruppi + varianza fra i gruppi: σ²_T = σ²_N + σ²_F = 1/N Σσ²_j * N_j + 1/N Σ( x̄_j - x̄)² * N_j.