Dimostrazioni, Statistica I

Relazione fra numeri indici a base fissa e numeri indici a base mobile

I numeri indici a base fissa e quelli a base mobile sono definiti dalle seguenti equazioni:

I = X / X_j.0 j 0 → I = X / X I = X / X , ..., I = X / X → I = I * I * ... * I → X / X = X / X * X / X * ... * X_j-1/X_j.0 1 2.1 2 1 j.j-1 j j-1 j.0 1.0 2.1 J.J-1 J 1 2

Proprietà delle frequenze relative

• Fr(a_j) = n(a_j)/n → è sempre non negativa n(a_j) ≥ 0, n > 0.
• La somma delle frequenze relative di una distribuzione è uguale a 1: fr(a₁) + ... + fr(a_j) + ... + fr(a_s) = 1, [n(a₁) + ... + n(a_j) + ... + n(a_s)]/n = 1, Σn(a_j)/n = 1, Σn(a_j) = n.

Proprietà della media geometrica relativa ai logaritmi

La media geometrica dei logaritmi di N valori positivi è pari al logaritmo della media geometrica degli N valori:

1/N log(M(x)) = log([x₁ * ... * x_i * ... * x_N]^1/N) = 1/N (log x₁ + ... + log x_i + ... + log x_N) = 1/N Σ log x_i

Media aritmetica

Proprietà della media aritmetica

1) La somma degli N scarti (x_i - M₁) = 0 → Σ(X_i - M₁) = ΣX_i - ΣM_i → ΣX₁ - N*M₁. Dal momento che M₁ = 1/N Σx_i → Σ(X_i - M₁) = ΣX_i - ΣX_i = 0 → M₁ è l'unico valore che annulla la somma degli scarti.

2) La somma del quadrato degli scarti delle x_i da un valore A è minima per A = M₁ → Σ(x_i - A)² = Σ[(x_i - M₁) + (M₁ - A)]² = Σ(X_i - M₁)² + N*(M₁ - A)² + 2(M₁ - A)Σ(x_i - M₁).

Poiché N(A - M₁)² è una quantità non negativa, risulta: Σ(x_i - A)² ≥ Σ(x_i - M₁)².

3) La media aritmetica totale è uguale alla media aritmetica ponderata delle medie aritmetiche parziali, con pesi pari alla proprietà dei gruppi (proprietà associativa) → 1(J)*N_j + ... + M₁(k)*N_k) / (N₁ + ... + N_j + ... + N_k) = 1/N ΣM₁(j)*N_j.

M₁ = (M * N + … + M₁

Relazione lineare fra Y e X

4) Se fra i valori Y e quelli di X vi è una relazione lineare del tipo y_i = a + b * x_i, allora fra la media aritmetica di Y e quella di X vi è la stessa relazione lineare → M₁(Y) = (1/N) Σa + b * x_i → M₁(Y) = (1/N) Σa + (1/N) * b Σx_i → M₁(Y) = (1/N) * N * a + b * (1/N) Σx_i → M₁(Y) = a + b * M₁(X).

2 = Σ(x_i² + M₁² - 2M₁x_i) = Σx_i² + ΣM₁² - 2M₁Σx_i. Poiché Σx_i = N * M₁,

Procedimento indiretto per il calcolo della devianza o della varianza

Dev(X) = Σ(X_i - M₁)² risulta: Dev(X) = Σx_i² + NM₁² - 2M₁ * NM₁ → Dev(x) = Σx_i² - NM₁² da cui Var(X) = σ² = 1/N Σx_i² - M₁².

Proprietà della varianza

1) Se Y = a + bx, allora σ²(Y) = b² * σ²(X); se Y = a + bx, allora M₁(Y) = a + b * M₁(X), per definizione σ²(y) = 1/N Σ(y_i - M₁(Y))², per ipotesi y_i = a + b x_i e M₁(y) = a + b * M₁(X) → [y_i - M₁(y)]² = [a + b x_i - a - b M₁(X)]² = [b(x_i - M₁(x))]² = b² * [x_i - M₁(x)]², → σ²(Y) = 1/N Σb² * [x_i - M₁(X)]² = b² * 1/N Σ[x_i - M₁(X)]² = b² * σ²(X).