Dimostrazioni, Statistica I

Relazione fra numeri indici a base fissa e numeri indici a base mobile: I =X /X

j.0 j 0

-->I = X /X I =X /X ,...,I =X /X -->I =I *I *...*I -->X /X =X /X *X /X *...*XJ-1/Xj-

,

1.0 1 2.1 2 1 j.j-1 j j-1 j.0 1.0 2.1 J.J-1 J 1 2 1

0 0 0

2*X /X .

J J-1

Proprietà delle frequenze relative: 1) fr(aj)=n(aj)/n-->è sempre non negativa

n(aj)≥0,n>0. 2)La somma delle frequenze relative di una distribuzione è uguale a 1:

fr +...+fr +...+fr(as)=1,[n +...+n +...+n(as)]/n=1, Σn(aj)/n=1, Σn(aj)=n .

(a1) (aj) (a1) (aj)

Proprietà della media geometrica relativa ai logaritmi: La media geometrica dei

logaritmi di N valori positivi è pari al logaritmo della media geometrica degli N valori:

1/N

log(M (x))=log([x *...*x *...*x ] )=1/N(log x +...+log xi+...+log x )=1/NΣlog xi--

1 i N 1 N

0

>log(M (x))=M1(log x).

0

Media aritmetica

1)Somma degli N scarti (xi-M1)=0--> Σ(Xi-M1)=ΣXi-ΣMi-->ΣX1-N*M1. Dal momento che

M1=1/NΣxi-->Σ(Xi-M1)=ΣXi-ΣXi=0.-->M1 è l'unico valore che annulla la somma degli

scarti.

2)Somma del quadrato degli scarti delle xi da un valore A è minima per A=M1-->Σ(xi-

2 2 2 2 2

A) =Σ[xi-A-M1+M1] =Σ[(xi-M1)+(M1-A)] =Σ(Xi-M1) +N*(M1-A) +2(M1-A)Σ(xi-M1). Poiché

2 2 2

N(A-M1) è una quantità non negativa, risulta: Σ(xi-A) ≥Σ(xi-M1) .

3)La media aritmetica totale è uguale alla media aritmetica ponderata delle medie

aritmetiche parziali, con pesi pari alla proprietà dei gruppi (proprietà associativa)-->

1(J)*Nj+...+M1(k)*Nk)/(N1+...+Nj+...+Nk)=1/N ΣM1(j)*Nj.

M1=(M *N +…+M

1 1

4)Se fra i valori Y e quelli di X vi è una relazione lineare del tipo yi=a+b*xi,allora fra la media aritmetica di Y e quella di X vi è la stessa relazione lineare-->

M1(Y)=(1/N)Σa+b*xi--> M1(Y)=(1/N)Σa+(1/N)*bΣxi--> M1(Y)=(1/N)*N*a+b*(1/N)Σxi-->M1(y)=a+b*M1(x).

2=Σ(xi2+M12-2M1xi)=Σxi2+ΣM12-2M1Σxi. Poiché Σxi=N*M1,

Procedimento indiretto per il calcolo della devianza o della varianza: Dev(X)=Σ(Xi-M1)

risulta: Dev(X)=Σxi2+NM12-2M1*NM1-->Dev(x)=Σxi2-NM12 da cui Var(X)= σ2=1/NΣxi2-M12.

Proprietà Varianza

1) Se Y=a+bx, allora σ2(Y)=b2*σ2(X); se Y=a+bx, allora M1(Y)=a+b*M1(X), per definizione σ2(y)=1/NΣ(yi-M1(Y))2, per ipotesi yi=a+bxi e

M1(y)=a+b*M1(X)-->[yi-M1(y)]2=[a+bxi-a-bM1(X)]2=[b(xi-M1(x))]2=b2*[xi-M1(x)]2, --> σ2(Y)=1/NΣb2*[xi-M1(X)]2=b2*1/NΣ[xi-M1(X)]2 = b2*σ2(X).

2)Scomposizione della varianza totale: σ2 2 2*N

T=1/NΣσ j*Nj+1/NΣ xj- x) j, la varianza totale si ottiene aggiungendo alla media ponderata delle varianze

̄ ̄ 2 2 2 2 2*N

parziali la varianza fra le medie parziali. varianza totale=varianza nei gruppi + varianza fra i gruppi: σ T=σ N+σ F= 1/NΣσ j*Nj+1/NΣ xj-x) j.

̄ ̄

Proprietà dell'invarianza alle trasformazioni di scala del coefficiente di variazione: se la variabile non negativa X è trasformata nella variabile non

negativa Y con la trasformazione di scala y=bx (con b>0), allora CV(y)=CV(x)-->M1(y)=b*M1(x) e σ(y)=b*σ(x)--

>CV(y)=σ(y)/M1(y)=b*σ(x)/b*M1(x)=σ(x)/M1(x)=CV(X).

Espressione analitica di R:R è un rapporto fra aree: R= area di concentrazione/area di massima concentrazione: R=[2/(N-1)]*(ΣPj-Σqj)=[2/(N-

1)*[(N-1)/2 -Σqj]=1-[2/(N-1)Σqj].

I requisiti soddisfatti dal rapporto di concentrazione di Gini: