Dimostrazioni Statistica 1

ELENCO DELLE DIMOSTRAZIONI (tale elenco serve solo per facilitare la preparazione, non è da

considerarsi l’unico elemento di valutazione dell’esame)

La relazione fra numeri indici a base fissa e numeri indici a base mobile

• Le proprietà delle frequenze relative

• Le proprietà della media aritmetica

• La proprietà della media geometrica relativa ai logaritmi

• Procedimento indiretto per il calcolo della devianza o della varianza

• Le proprietà della varianza

• La proprietà di invarianza alle trasformazioni di scala del coefficiente di variazione

• I requisiti soddisfatti dal rapporto di concentrazione R di Gini

• Uguaglianza tra frequenze marginali teoriche nel caso di indipendenza distributiva e

• corrispondenti frequenze marginali effettive (osservate)

La somma delle contingenze assolute per riga o per colonna è nulla

• L’indipendenza distributiva implica l’indipendenza in media

• Il procedimento indiretto per il calcolo della covarianza nel caso di N valori (xi, yi),

• i=1,...,N

Le proprietà della covarianza

• Le proprietà del coefficiente di correlazione lineare di Bravais-Pearson

• Le proprietà della retta a minimi quadrati e dei residui di interpolazione.

• La scomposizione della devianza totale in devianza spiegata e devianza residua, nel

• caso della retta interpolante a minimi quadrati

La devianza spiegata in funzione del coefficiente angolare della retta a minimi

• quadrati

La relazione fra il coefficiente di correlazione lineare e l’indice di determinazione

•

RELAZIONE FRA NUMERI INDICI A BASE FISSA E NUMERI INDICI A BASE MOBILE

Supponiamo che per il fenomeno quantitativo X si abbia l’indice a base fissa

=

.

Nonché gli indici a base mobile:

%

! $

= ; = ; … ; =

!.# $.! %.%&!

# ! %&!

È immediato verificare che: = × × … ×

%.# !.# $.! %.%&!

Tenuto conto di ciò diventa:

% %&! %

! $

= × × …× ×

# # ! %&$ %&!

PROPRIETA’ FREQUENZE RELATIVE

1. La frequenza relativa è sempre non negativa: * , ≥ 0 = 1,2, … , .

%

Dimostrazione: '()%)

essendo , deriva che

() ≥ 0 > 0 ≥0

+ ,%-!

∑

2. La somma delle frequenze relative di una distribuzione è uguale a 1: () = 1

Dimostrazione: ,%-!

∑

la somma delle frequenze assolute pertanto

() =

,%-! ()

∑ =1 ;

1 + 2+. . ++. . + = 1;

1 2

+ +. . + +. . + = 1;

(1) + (2) + ⋯ + () + () = 1

PROPRIETA’ MEDIA ARITMETICA

Prima proprietà: la somma degli N scarti ( è uguale a zero:

− 1)

+

F( − ) = 0

. !

.-!

Dimostrazione: + + + +

F( − ) = F − F = F − ×

. ! ! !

.-! .-! .-! .-!

! + +

∑ ∑

Ricordando che deriva che .

= × =

! !

.-! .-!

+

Pertanto: + +

F − F = 0

.-! .-!

Questa proprietà è esclusiva della media aritmetica, nel senso che M1 è l’unico valore che annulla la

somma degli scarti. In effetti se +

F( − ) = 0 ℎ =

. !

.-!

Dimostrazione: +

F( − ) = 0

.

.-!

+ +

F − F = 0

.-! .-!

+ +

F = F

.-! .-!

di cui: +

F =

.-!

Ricaviamo dunque: +

1

= F =

!

.-!

+

= F( − ) = 0

! !

.-!

Nel caso di distribuzioni di frequenza la prima proprietà si esprime:

+

F( − ) × = 0

. ! %

.-!

Seconda proprietà: la somma del quadrato degli scarti delle valori da un valore A, è minima per

.

=

! + +

$ $

)

F( − ) ≥ F( −

. . !

.-! .-!

con =

!

Dimostrazione: + +

$ $

∑ ( ∑ ( =

− ) = − + − )

. . ! !

.-! .-!

+ $ $

∑ ) (

[( − + − ) + 2( − )( − )]=

. ! ! ! . !

.-!

+ + +

$ $

∑ ( ) ∑ ( ∑ )

− + − ) + 2( − ) ( −

. ! ! ! . !

.-! .-! .-!

+

∑

di cui per la prima proprietà della media

2( − ) ( − ) = 0

! . !

.-!

Quindi: + +

$ $ $

)

F( − ) = F( − + ( − )

. . ! !

.-! .-!

dove entrambi gli addendi sono , quindi si avrà che

≥ 0

+ +

$ $ $

)

F( − ) ≥ F( − ( − ) = 0

. . ! !

.-! .-!

Terza proprietà: Sia N la numerosità della popolazione. La popolazione sia divisa in K gruppi

incompatibili, di numerosità rispettivamente . Ovviamente

; ; … ; ; … ; ( + + ⋯ +

$ % & ' $ %

(&)

($) (%) (*)

Siano inoltre le medie aritmetiche del carattere X

+ ⋯ + ) = . , , … , , … ,

& ' $

$ $ $

in ciascuno dei K gruppi, e sia M1 la media aritmetica calcolata su tutte le unità statistiche.

$ (&)

*

∑

Tra le medie parziali e la media totale vale la relazione: con Nj la somma

= ×

$ &

&,$ $

+

delle numerosità dei K gruppi e quindi corrisponde ai pesi di ponderazione

Ovvero la media aritmetica totale M1 è uguale alla media aritmetica ponderata delle medie

aritmetiche dei gruppi, con pesi di ponderazione pari alle numerosità dei gruppi.

Dimostrazione:

Siano rispettivamente le somme dei valori del primo gruppo,…, j-esimo

; ; … ; ; … ;

$ % & '

gruppo,… La somma degli N valori di tutta la popolazione è + + ⋯ + + ⋯ + = .

$ % & '

Pertanto la media parziale di X riferita ad uno specifico gruppo è :

.-

(-) con j= 1,…,k.

=

$ +- (-)

Da questa media posso ricavare = ×

$

La media aritmetica di X riferita all’intera popolazione è :

1 + 2+. . ++. . +

= =

$

$ (&)

*

∑

La media totale dunque diventa: = ×

$ &

-,$ $

+

Quarta proprietà: Due caratteri quantitativi X e Y sono rilevati contemporaneamente sulle unità

statistiche di una popolazione. Si supponga che fra i valori di Y e quelli di X vi sia una relazione

lineare; ovvero: con a e b costanti. Allora tra la media aritmetica

= + = 1,2, … ,

/ /

dei valori yi e la media aritmetica dei valori xi esiste la stessa relazione lineare che si ha fra yi e xi,

ovvero: .

= +

$(0) $(1)

Dimostra