Dielettrici

Dielettrici

E ≈ kT → regole il disordine

E_i=0

1. ∑_i=1,N P_i =0
2. ∑_i=1,N P_i ≠0

Polarizzazione dielettrica per orientamento (polarizzando la materia)

Polarizzazione elettronica per deformazione

Monorisente kT

La somma dei momenti dipende dal campo elettrico

La carica positiva tende ad allontanarsi (verso destra) e di conseguenza anche gli elettroni tendono a stare più lontani dal nucleo.

Si crea dunque un dipolo indotto

DIELETTRICI

E^- → Atomi i poli

E ≈ KT → regole il disordine

E^- = 0

1. Σ_i=1,NP_i^- = 0
2. Σ_i=1,NP_i^- ≠ 0

2. Polarizzazione dielettrica per orientamento (polarizzando la materia)

Polarizzazione elettronica per deformazione

- + DIPOLO INDITTO

Monitorante KT

Σ_i=1,NP_i^- ∥ E^-

La somma dei momenti dipende dal campo elettrico E^-

La carica positiva tende ad allontanarsi (verso destra) e di conseguenza anche gli elettroni tendono a stare più lontani dal nucleo. Si crea dunque un DIPOLO INDITTO

ESEMPIO 1

Sotto l'azione della forza coulombiana le molecole si muovono: DIELETTROFORESI.

ESEMPIO 2

F = grad(_P·_E) poiché _E non è uniforme

⇒ _P1 ≠ _P2

A LIVELLO MACROSCOPICO ∑_{i=1,N Pi} · _E

Il cubetto è polarizzato, dunque ha un momento di dipolo:

_P = ∑_{i=1,N Pi} / ^τ = N_Pmed / 2

INTENSITÀ DI POLARIZZAZIONE (VETTORE DI POLARITÀ ELETTRICO)

_Pmed = ∑_{i Pi} / N

⇒ Somma dei momenti su numero di dipoli

P_x(_τ) = a₁₁(_τ)E_x(_τ) + a₁₂(_τ)E_y(_τ) + a₁₃(_τ)E_z(_τ)

P_y(_τ) = a₂₁(_τ)E_x(_τ) + a₂₂(_τ)E_y(_τ) + a₂₃(_τ)E_z(_τ)

P_z(_τ) = a₃₁(_τ)E_x(_τ) + a₃₂(_τ)E_y(_τ) + a₃₃(_τ)E_z(_τ)

⇒a_ij TENSORE

Mi permette di vedere la direzione della polarizzazione

in funzione di t².

Se a_T(t²) = a_iT ∀t² => omogeneo

Se a_iT ≠ 0, i ≠ T => p = E (matrice diagonale)

Stiamo trattando dei materiali che sono LOI ovvero LINEARI, OMOGENEI e ISOTROPI Sono

LOI^perchè p∥E,

perchè non dipendono da p2, a_iT(t)² = a_iT ^perchè non ho orientamento

ESEMPIO 1

E

F = 9E

F = 1/4πε₀ q²/d²

9E - 1/4πε₀ q²/d² = = m a_x = 0

E = 1/4πε₀ - q/d² - δ - 1/4πε₀ P/d₃

P = mE = ε₀ χE

χ H₂O ≈ 80

Gas N10^-3, 10^-1

In genere 1 ÷ 2

χ è adimensionale

e indica la

risposta (dielettrica)

Ovvero quanto θ ruota

o polarizzare la materia

ESEMPIO 2

Il cubo è soggetto al campo E_INT ed E_EX.

P^→ = ε₀ × E_INT

P(^→) = ε₀ × E_INT(^→)

Le cariche di polarizzazione sono quelle interne e vengono a chiamate anche come cariche d'inter. Le vett._→. polarizzazioni a interno solo del campo E_INT, quindi delle cariche libere.

ESEMPIO 3

E^→ UNIF.

σ_P ≠ 0

σ_P = 0

σ_P = Q_INT = 0

Tutte Q⁺ e tutte Q^-

Il campo all'interno si è ridotto, le cariche di polarizzazione hanno creato un "controcampo".

E_X = σ/_ε0 - σ_P/_ε0

E_X = σ/ε₀ = σ/ε

E = ε₀ E_r

E_r = 1 + χ

COST. DIEL. RELATIVA

Esempio 4

C_T = C₁ + C₂ = (E₁ S/2) / d + (E₂ S/2) / d = E₀ S/d [(E_r1 + E_r2) / 2] = (E₀ S/d)

Esempio 5

ΔV = ΔV₁ + ΔV₂

ΔV = ΔV₁ + ΔV_I + ΔV₂

1/C_S = 1/C₁ + 1/C₂ = 1/(E₁ S/(d/2)) + 1/(E₂ S/(d/2)) = d/(2 S) (1/E₁ + 1/E₂)

⇒ C_S = S/(d/2) = E₀ E₁ E₂ / (E₀ (E_r1 + E_r2))

ESEMPIO 6

Quanta carica si affaccia su una lastra inclinata?

Q_P = σ_PS

= ^N/_τ S δε cosθ δ

_P = Σ p'/_τ = ^N/_τ P_red

P_red = q δ

Q_P = ^N/_τ ρ_maclSεcosθ = P_s cosθ = σ_PS

=σ=Pε cosθ =P_m

Sul bordo non si affaccia nessuna carica perché è annullato.

Sulle lastre orizzontale ho tutte la densità di carica

PIEZOELETTRICITÀ

La piezoelettricità è la proprietà di alcuni materiali cristallini di polarizzarsi, generando una differenza di potenziale quando sono soggetti ad una deformazione meccanica (EFFETTO PIEZOELETTRICO DIRETTO) e al tempo stesso di deformarsi in maniera elastica quando sono attraversati da corrente (EFFETTO PIEZOELETTRICO INVERSO o EFFETTO LIPPMANN)

SITUAZIONE INIZIALE

MENTRE È SOTTOPOSTO A UNA FORZA

Infine si crea la seguente situazione:

MATERIALE DIELETTRICO IMMERSO IN E NON UNIFORME

Δρ_P > 0

¾&roo_P≥0

¾ρ_P≡-ΔP/Δx

Considero una superficie chiusa sia dentro che nel vuoto

Q_TOT = ∫_S σ_PdS + ∫_V ρ_P dV = 0

mezzo

∫_τ ρ_p dτ = -∫_S ̅ dS = -∫_S ̅ m̅ dS = -ϕ_S (̅)

Mi ricordo che vi è una relazione tra il flusso di un vettore e le divergenze di un vettore:

∫_S ̅ m̅ dS = ∫_τ div ̅ dτ

Quindi:

∫_τ ρ_p dτ = -∫_τ div ̅ dτ => ∫_τ (ρ_p + div ̅) dτ = 0

_V

_τ

ρ_p = - div ̅

VETTORE SPOSTAMENTO ELETTRICO (IND (DI) ELETTRICA)

div ̅ = ρ / ε₀

ρ equivale alla densità di cariche libere sommate alle cariche di polarizzazione

div ̅ = (ρ_LIB + ρ_POL) / ε₀ = (ρ_LIB - div ̅) / ε₀

ε₀ div ̅ = ρ_LIB - div ̅

div (ε₀ ̅) + div (̅) = ρ_LIB

Poiché l'operatore div è un operatore lineare:

div (ε₀ ̅ + ̅) = ρ_LIB

̅ = ε₀ ̅ + ̅

̅

div (̅) = ρ

rot (̅) = 0

I E III MAXWELL NELLA MATERIA

Esempio 1

∮ D ⋅ ds = Q

per simmetria D(r̂) = D(r)r̂

⇒ 4πr²D = Q ⇒ D = Q/(4πr²) r̂

Lᵖ non risente del materiale, risente solo delle cariche libere

Direzione e verso di D?

D = ε₀E + P = ε₀E + ε₀χ E = ε₀(1+χ)E = εE

ε = ε₀ε_r

D/E

D = ε E

Esempio 2

- Conduttore R₁, Dielettrico ε₁, R₁ > R₂

- Superficie Conduttore

φ_S(D) = Q

0 ≤ r < R₁   Q = 0

Φ_S(∂^∅) = Q = 2π r l D = 0

R₁ ≤ r ≤ R₂

2π r l D = Q   ⇒   D = Q /l

2π r

R₂ ≤ r

P^→ = D^→ - ε₀E^→ = D^→ - P^→

ε_r = D^→(1 - 1/ε_r)

P^→ = Q/l   â (1 - 1/ε₀)

D ⬆

ε₀E

ε_p(R₁) = P^→(R₁) ∇ ^ (R₁) = - Q/l

2π R₁ (1 + 1/ε_r)

ε_p(R₂) = P^→(R₂) ∇ ^ (R₂) = Q/l

2π R₂ (1 - 1/ε_r)

2D:

∇x / x² + ∇y / y² + ∇z / z

∂x² ∂x   ∂y² ∂y

= 1/x² - x z + x + x³/z² + 1/x

x³ - 4/2 / z⁴

= 2z² - 2(x² + y²)

z²

= 0

20/10/2016

Le cariche dei dipoli a smullano in questa configurazione radiale

E⃗ ∼ ĥ n² lungo su qualunque linea il campo elettrico a riduce

Flusso sulla superficie

ϕ₁ ϕ₂

ϕ ∼ E S ∼ 1/n² n² [ϕ₁ = ϕ₂]

3) div (k x⃗²) = ∂Kx/∂x + ∂Ky/∂y + ∂Kz/∂z - 3K

In questo campo lungo le linee E⃗ cresce perché è pro-ad q²

ϕ ∼ r n² - π n² ∼ r ϕ₂ -> ϕ₁

Se il campo E ∼ 1/n² ϕ ∼ 1/n² ∼ r ϕ₂->ϕ₁ ⇒

vuol dire che cʼè evoluzione anche fuori

da linea del campo non ci fanno vedere lʼintero

del campo, ma ci fanno vedere solo se innegge

o meno.

Energia Potenziale

L_q1(r₁) = ∫₀^r₁ -E ds]

Lavoro contro il campo per portare la carica q₂

L_q2(r₂) = ∫_∞^ V(r₂-r₁) ds

V_q1(r₂)

= q₂ 1/4πε₀

L_q3(r₃) = q₃

L_sistema = L_q1(r₁) + L_q2(r₂) + L_q3(r₃)

+ q₂q₃/r₂ + r₃

In generale :

L_sistema = 1/2 ∑_i=1,j=i+1^N 1/4πε₀ q_iq_j/r_i-r_j

I_contro = U_g - U_i

U_g = U_i + ∫_i^f - q E̅ d s̅ = U_i + L_contro

U = ¹/₂ ∑_{i = 1, N} q_i V(r̅_i)

ESEMPIO

I MODO

U = ¹/₂ [ Q V₊ + ( - Q V_- ) ] = ¹/₂ Q ( V₊ - V_- ) = ¹/₂ Q ΔV

Modo generale per calcolare l'energia elettrostatica di un sistema

III MODO

da prime carico da spento mi costa zero

forze parelleli non sia E̅

successivamente devo compiere un lavoro contro E̅,

0 ≤ q ≤ Q (GUARDA II MODO DISEGNO)

0 ≤ V ≤ ΔV

L_contro = U = ∫₀^Q q dq = ∫_b^q q_i dq = ¹/₂ Q² / C = ¹/₂ Q ΔV

U = ¹/₂ Q ΔV - ¹/₂ Q² / C = ¹/₂ C ΔV²

Densita di Energia Elettrostatica

_{(text skipped)}

U = ∫_spazio μ_e(_r)d_τ

U = 1/2 ∑_i=1,N q_iV(r_i) ⇒ U = 1/2 ∫_spazio V(r_i)dq = 1/2 ∫_spazio V(r)_ρ(r)d_τ

= 1/2 ∫ V(r)_ε0div_⟶Ed_τ

⇒_{(text skipped)} prende in considerazione tutte le cariche

⇒ μ_e = 1/2 ε₀E²

U = 1/2 Q²/_C

C = ε₀S/_d

Sd

μ_e = 1/2 Q²/_C = 1/2 Q²/_sdε₀S/d)² = 1/2 1/ε₀ (Q/S)² - 1/2 1/ε₀ σ² =

= 1/2 1/ε₀ (ε₀E)² = 1/2 ε₀E²

In ogni punto dello spazio c'è una certa densità di energia elettrostatica. Nelle materiale

μ_e = 1/2 ε₀εE² = 1/2 DE

_{(text skipped)} Esempio

μ_e = 1/2 σ²/ε

U = 1/2 σ²/ε S x

μ_e = 1/2 D_⟶E

U = μ_eS x

D = σ

E = D/ε σ/ε