Derivazione

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DERIVATE

DEFINIZIONI

� ̂ �

Dato con , sia con

, , ⊆ ℝ : → ∈ () ∩ :

�ℝ � 0 ()−( )

è d

e

r i v a

b

i

l e in )

≝ ∃ = ′(

−

→

()−( )

Dove è detto rapporto incrementale e è la derivata prima di in .

0 ′( ) ()

0 0

− 0

esempio: data la velocità e il tempo se con se è il tempo iniziale:

, = > 0 () = () = (),

 0 ()−( ) ()−( )

la velocità media del moto di un corpo si calcola infatti con il rapporto incrementale 0 0

lim



− −

→

0 0

0

rapporto incrementale = coefficiente angolare della retta secante e passante per e :

• ()

1 2 2

data una funzione e individuati due punti e

() = ( ; ( )) = ( ; ( )),

1 1 2 2

( )−( ) ∆

il coefficiente angolare della retta passante per essi è 2 1

= = 1

−

∆

2 1

dimostrazione:

la retta passante per i punti e è

− = ( − ) − ( ) = ( − )

 

1 2 0 0 1 1

−( ) ( )−( ) ∆

0 se e allora (C.V.D.)

1 2 1

= = = ( ), = =

 2 2 −

− ∆

1 2 1

Quando tende a , la retta secante diventa tangente e passa solo per il punto geometricamente, la



2 1 1

coefficiente angolare della retta tangente

derivata è rappresentata dal il grafico di nel punto

()

1

differenziale = data una funzione derivabile in

• ∈ ∩ ():

()

0

differenziale della variabile indipendente = ∆ = − ()

0

∆ ′

differenziale della variabile dipendente ( )

= ∆ = ∙ ∆ = ∙ ( )

0 0

∆

incremento della variabile dipendente ∆ = () − ( )

0 0

Geometricamente, il differenziale corrisponde alla variazione che subisce l’ordinata della tangente di ()

quando si passa dal punto di ascissa a quello di ascissa

0

� ̂ �

Dato con , sia con ∈ () ∩ ,

, , ⊆ ℝ : →

�ℝ � 0

la continuità è condizione necessaria ma non sufficiente per la derivabilità:

è continua in

Se è derivabile in ⟹ ⟹ () = ( )

→

dimostrazione: )

() = () () − ( )

= () − (

  0 0

) )

()−( ()−(

0 0 (

) ) )

() − ( ∙ ( − ) () = ∙ −

= + (

 

0 0 0 0

− −

0 0

)

()−( (C.V.D.)

è continua in

0 ( ) ) )

lim () = lim ∙ lim ( () = (

− + lim lim

  

0 0 0 0

−

→ → → → →

0

0 0 0 0 0

la derivabilità NON è condizione necessaria per la continuità: è derivabile in

Se è continua in ⇏

dimostrazione: se ≥ 0 è continua

||

() = = �

 − se < 0 )

()−( −−0

0

lim = = −1

− −0

−

→0

studiando la derivabilità 0

�

 )

()−( −0

0 = =1

lim − −0

+

→0 0

i