Derivazione

Definizioni delle derivate

Introduzione alla derivata

Dato un insieme D con a appartenente a D, sia f: D → ℝ, f ∈ C(D) e x ∈ (D ∩ ℝ).

La funzione f è derivabile in a se e solo se esiste il limite:

f'(a) = lim_{h → 0} ( f(a + h) − f(a) ) / h

Questo limite è detto rapporto incrementale e rappresenta la derivata prima di f in a.

Esempio pratico

Consideriamo la velocità rispetto al tempo. Se t₀ è il tempo iniziale, la velocità media del moto di un corpo si calcola con il rapporto incrementale:

v_medio = (s(t) − s(t₀)) / (t − t₀)

Rapporto incrementale e retta secante

Il rapporto incrementale è anche il coefficiente angolare della retta secante che passa per due punti P₁ e P₂ sulla funzione f:

P₁ = (x₁; f(x₁)), P₂ = (x₂; f(x₂))

Il coefficiente angolare è dato da:

m = (f(x₂) − f(x₁)) / (x₂ − x₁)

Dimostrazione del coefficiente angolare

La retta passante per i punti P₁ e P₂ è data da:

y − f(x₁) = (m × (x − x₁))

Quando x₂ tende a x₁, la retta secante diventa una tangente, e il coefficiente angolare della retta tangente rappresenta la derivata di f nel punto.

Differenziale della funzione

Dato f derivabile in x ∈ (D ∩ ℝ), il differenziale della variabile indipendente è:

dx = ∆x = x − x₀

Il differenziale della variabile dipendente è:

dy = ∆f(x) = f'(x₀) × ∆x

Geometricamente, il differenziale corrisponde alla variazione dell'ordinata della tangente f(x) quando si passa dal punto di ascissa x₀ a x.

Continuità e derivabilità

La continuità è condizione necessaria ma non sufficiente per la derivabilità. Se f è derivabile in a, allora è anche continua in a:

f continua in a → f(a) = lim_{x → a} f(x)

La derivabilità non è condizione necessaria per la continuità. Ad esempio, una funzione può essere continua e non derivabile in un punto.

Conclusioni

La derivata rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto considerato, mentre il differenziale fornisce una misura della variazione della funzione rispetto alla variabile indipendente.