Derivate parziali prime

DERIVATE PARZIALI PRIME

Come per le funzioni in una variabile, si può parlare di derivabilità anche per

quello che riguarda le funzioni a due variabili. Data una funzione

2 ( )

⊆ ∈ , definiamo il “limite del rapporto incrementale

f : A → B , A R aperto, x , y A

0 0

parziale rispetto a ” della funzione:

x

( ) ( )

+h −f

f x , y x , y

0 0 0 0

lim h

h→ 0

Se questo limite esiste, ed è finito, si dice che la funzione è derivabile

f

(x )

, y

parzialmente rispetto a nel punto , e il risultato è detta “derivata

x 0 0

parziale rispetto a ”, e si indica con:

x

∂f ( ) ( )

x , y oppure f x , y

0 0 x 0 0

∂x

Consideriamo invece il rapporto incrementale parziale della funzione rispetto a

come:

y ( ) ( )

+ −f

f x , y h x , y

0 0 0 0

lim h

h→ 0

Se esiste questo limite finito, allora la funzione è derivabile parzialmente

f

rispetto a .

y

Se si verificano entrambe le condizioni di derivabilità, allora si dice che la

(x )

, y

funzione è derivabile nel punto . Possiamo considerare le derivate

f 0 0

della funzione come le componenti di un vettore, che sarà detto vettore

gradiente, e si indica come:

( )

( ) ( ) =∇ ( )

f x , y , f x , y f x , y

x 0 0 y o 0 0 0

Se è derivabile in tutti i punti di A, allora esiste il campo vettoriale del

f

gradiente. Geometricamente, la derivata viene rappresentata in questo modo:

se rispetto ad , si considera, all’interno di un insieme, un intorno del punto

x y

(x )

, y , in modo che se derivo parzialmente rispetto a , la quota

x

0 0 0

+

x=x h

( )

f x , y

rimane fissata, mentre considero la funzione in modo che ,

0 0

x

restringendo l’intorno fino al punto orizzontale .

0

Funzioni composte da funzioni derivabili sono anche esse derivabili. Quando si

deriva rispetto ad una variabile si considera l’altra variabile come costante.

¿ xy∨¿ 2

Prendiamo la funzione , definita in tutto , la funzione è

R

( ) = ¿

√

f x , y ( )

derivabile per il teorema delle funzioni composte se . Tuttavia, sia

x , y : xy ≠ 0

se che sono 0, la funzione è derivabile perché entrambe le derivate

x y 0

parziali valgono 0 (il limite verrebbe , che non è una forma indeterminata

h

∃∇

ma vale 0), quindi .

(

f 0,0)

Tuttavia, se prendiamo la funzione in modo che una variabile sia uguale a 0 e

(x , 0)

l’altra sia non nulla (ad esempio nel punto , avremo che la derivata

0

rispetto a sarà uguale a 0, perché la annulla tutto, ma se si deriva

x y

rispetto a (e quindi si andrebbe a derivare nel punto 0 di ), ricordiamo

y y

che la funzione valore assoluto non è derivabile nell’origine, quindi non esisterà

la derivata parziale rispetto a y, mentre esiste quella rispetto a , nulla:

x

√

| | ( )

∄ ∇

¿ ∨¿ (x

x ∙ y → f x , 0 →∄ f , 0)

0 y 0 0

¿ ∨¿= ¿

√

x y

0

( ) ( )

∈ = ¿

f x , y x , 0 √

0 0

Qualora si scambiassero le condizioni delle variabili, il risultato sarebbe il

medesimo. 2

Si consideri un altro modo per intendere l’operatore limite in , ossia in

R

( ) ( )

x , y

questo modo: se un punto tende ad un punto , allora

x , y 0 0

all’avvicinarsi al punto, esso giacerà su una retta con un coefficiente angolare

arbitrario.

Traduciamolo praticamente, supponiamo che esista:

(x )=l∈

lim f , y R

( ) )

x, y →(x , y

0 0 +m(x−x )

y= y

E da qui tutta la definizione di limite, facciamo la sostituzione ,

0 0

x y

in modo che al tendere di ad , rimanga solo il termine .

x 0 0

Chiamiamo il luogo dei punti della retta e A un intorno, che è anche

r x , y

insieme di definizione di partenza, di ( ), il quale appartiene

0 0

all’intersezione fra ed A. Sappiamo quindi dalla definizione di limite (e di

r

distanza fra due punti su una superficie) che:

√

| | √

2 2

( ) 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

+ − = +m −x =¿ ∨

x , y m x−x x , y x−x x x−x 1+ m

0 0 0 0 0 0 0

| |

( )

( )

δ +m −x −l <

f x , y x ε

Se tutto ciò è minore di , allora , quindi, dato un

ε 0 0

delta arbitrario dipendente da epsilon, se vale questa relazione:

δ

| | ε

<

0< x− x , allora vale la relazione di limite sopra, e in tutto questo

√

0 2

1+m

ricordiamo che si tratta di funzioni in una variabile grazie alla trasformazione di

prima. (x )

( ) , y

Se faccio tendere il punto verso lungo una retta dal

x , y 0 0

coefficiente arbitrario, il limite è uguale ad ed esiste, questa condizione è

l

utilizzata per provare l’esistenza del limite.

{ xy ( ) (0,

x , y ≠ 0)

2 2

Prendiamo la funzione , notiamo che essa è derivabile in

+

x y

( ) =(0,

0 x , y 0) 3 2

−x

y y

ogni punto perché la derivata, per punto non nullo, è uguale a , che è

2

( )

2 2

+

x y

definita in tutti i punti dell’insieme di definizione, mentre nel punto dell’origine

la derivata è nulla. Ma se noi applichiamo la sostituzione (ossia nel

y=mx

punto (0, 0) utilizzando le proprietà di prima per provare l’esistenza del limite

(per vedere se la funzione è continua), la funzione è uguale a

(

f x , mx)

2

m x m

= .

2 2 2

(1+m )

x 1+m

Notiamo che il coefficiente della retta dovrebbe essere arbitrario, poiché la

retta su cui facciamo tendere il punto non dovrebbe importare, di conseguenza

il limite nel punto (0, 0) non esiste e la funzione non è continua. In conclusione,

quindi, la derivabilità di una funzione in più variabili non ne implica la

continuità.

Il fatto che esista il limite applicando questa sostituzione con una retta

generica non implica che esista il limite senza la sostituzione infatti, è una

condizione necessaria ma non sufficiente il fatto che se esiste il limite, allora

esiste il limite con la sostituzione.

A tal proposito, prendiamo la funzione:

{ π =0

se xy

2 ( )

2

y

arctan se xy ≠ 0

4

x 2

m

( )

arctan

Se applichiamo la sostituzione , il risultato sarebbe per

y=mx 2

x

π

, che per tendente a 0 darebbe come risultato , la restrizione

xy ≠ 0 x 2

della funzione è regolare, quindi la funzione risulterebbe regolare (continua)

poiché il limite è uguale alla funzione in quel punto.

Tuttavia, facciamo un’osservazione e applichiamo la definizione di limite:

| |

π π

( )= ( ) ( )

∀ ∃ ∈

>0, − <ε

lim f x , y ↔ ε I : x , y I risulta f x , y

( ) ( )

0,0 0,0

2 2

( )

x, y →(0,0)

Notiamo che un intorno del punto (0, 0) è un cerchio di raggio arbitrario, allora

considerando la figura: