Derivate parziali prime

Derivate parziali prime

Come per le funzioni in una variabile, si può parlare di derivabilità anche per quello che riguarda le funzioni a due variabili. Data una funzione f: A → B, con A aperto in R, definiamo il “limite del rapporto incrementale parziale rispetto a x” della funzione:

\((f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)) / h\)

lim \(h \to 0\)

Se questo limite esiste, ed è finito, si dice che la funzione è derivabile parzialmente rispetto a x nel punto \((x_0, y_0)\), e il risultato è detto “derivata parziale rispetto a x”, e si indica con:

\(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)\) oppure \(f_x(x_0, y_0)\)

Derivata parziale rispetto a y

Consideriamo invece il rapporto incrementale parziale della funzione rispetto a y:

\((f(x_0, y_0 + h) - f(x_0, y_0)) / h\)

lim \(h \to 0\)

Se esiste questo limite finito, allora la funzione è derivabile parzialmente rispetto a y.

Se si verificano entrambe le condizioni di derivabilità, allora si dice che la funzione è derivabile nel punto \((x_0, y_0)\). Possiamo considerare le derivate della funzione come le componenti di un vettore, che sarà detto vettore gradiente, e si indica come:

\(\nabla f(x_0, y_0) = (f_x(x_0, y_0), f_y(x_0, y_0))\)

Se è derivabile in tutti i punti di A, allora esiste il campo vettoriale del gradiente. Geometricamente, la derivata viene rappresentata in questo modo: se rispetto a x, si considera, all’interno di un insieme, un intorno del punto \((x_0, y_0)\), in modo che se derivo parzialmente rispetto a x, la quota f(x_0, y_0) rimane fissata, mentre considero la funzione in modo che, restringendo l’intorno fino al punto orizzontale x₀ + h = x.

Funzioni composte

Funzioni composte da funzioni derivabili sono anche esse derivabili. Quando si deriva rispetto ad una variabile si considera l’altra variabile come costante.

Prendiamo la funzione \((f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}\)), definita in tutto R², la funzione è derivabile per il teorema delle funzioni composte se \(x, y : xy \neq 0\). Tuttavia, sia se x che y sono 0, la funzione è derivabile perché entrambe le derivate parziali valgono 0 (il limite verrebbe \(h\), che non è una forma indeterminata ma vale 0), quindi \(\nabla f(0,0)\).

Tuttavia, se prendiamo la funzione in modo che una variabile sia uguale a 0 e l’altra sia...