Derivate esponenziale, logaritmica, radice e quoziente

Derivate esponenziale, logaritmica, radice e quoziente

Derivata di una funzione esponenziale

Se \( f(x) = a^{g(x)} \), con \( a \) base della funzione esponenziale, allora la derivata è:

\( f'(x) = a^{g(x)} \ln a \cdot g'(x) \)

Derivata di una funzione logaritmica

Se \( f(x) = \log_a{g(x)} \), con \( a \) base del logaritmo, allora la derivata è:

\( f'(x) = \frac{g'(x)}{g(x) \ln a} \)

Derivata della funzione radice

Se \( f(x) = [g(x)]^{1/n} \), allora la derivata è:

\( f'(x) = \frac{1}{n} [g(x)]^{\frac{1}{n}-1} \cdot g'(x) \)

Derivata del quoziente di due funzioni

Se \( f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \), allora la derivata è:

\( f'(x) = \frac{h(x) g'(x) - g(x) h'(x)}{[h(x)]^2} \)

Esempio

Sia \( w(x) = x^2 - x \), allora la derivata è:

\( w'(x) = 2x - 1 \)

Derivata della funzione esponenziale

D(xⁿ) = nx^n-1

1. n=1, D(x¹) = 1 x⁰ = 1
2. Supposto che \( x^m = m x^{m-1} \) sia vera per n=m, dimostriamo che è vera per n=m+1:

\( D(x^{m+1}) - D(x^m) x + D(x)^m - m x^{m-1} x + x^m = m x^{m-1} x^m = (m+1) x^{(m-1)} - x \)

Derivata logaritmica

D(log_ax, x₀) = lim f(x) - f(x₀) = lim a^x - a^x₀

lim x^->x₀x^-x₀a^x₀(lim x_->0) a^h-1hln a a^xa = e

D(e^x, x₀) = e^x₀ ->

D(a^x, x₀) = a^x ln a

D(e^x, x₀) = e^x0

Derivata logaritmica dettagliata

D(log_ax, x₀) = (lim x_->x0f(x) - f(x₀) limx₀ - x₀h₀limlog_ax₀ lim (log^_ax^->x₀x_-x0a^hy⁰

(lim (a^h)h log a (lim(a^h) ) y⁰x^-x₀

lim x^klim log_a(1+k)h(kx₀) se a = e log_{logae = 1 (lim log a ex^k) p>1 x⁰

D(log_ax, x₀) = 1 x⁰ log e

D(ln x, x₀) = 1 x⁰

D(log_ax, x₀) = 1x⁰log e