Costruzioni elettroniche

Appunti di Costruzioni Elettroniche - Prof. Di

Pascoli

Lorenzo Dati

1 agosto 2022

Capitolo 1

Componenti passivi R,L,C

1.1 Resistori

Un resistore è un bipolo simmetrico, in cui si ha proporzionalità tra e . In

I V

un resistore ideale questa relazione non varia nel tempo, con la temperatura o

con la frequenza.

I parametri che caratterizzano il resistore sono: valore nominale (a cui è asso-

ciata una certa tolleranza), parametri di vincolo e parametri di qualità.

I parametri di vincolo sono:

• Potenza dissipata;

• Resistenza termica;

• Tensione operativa, cioè la massima tenzione che si riesce a tollerare.

• Stabilità all’impulso, cioè la massima potenza istantanea.

I parametri di qualità sono invece:

• Stabilità, cioè la capacità di mantenere il valore nominale;

• Variazione della resistenza con la temperatura;

• Non linearità;

• Rumore termico, di contatto...

• Comportamento alle frequenze;

Variazione della resistenza con la temperatura (1.1)

−

R(T ) = R [1 + α(T T )]

REF REF

dove è la temperatura alla quale si vuole determinare la resistenza,

T T

REF

è la tempertura di riferimento, valore della resistenza a e che

R T α

REF REF

rappresenta il coefficiente di temperatura e che può essere > 0, < 0.

1

Potenza media dissipabile

I resistori di tipo through hole hanno una buona capacità di dissipazione, mentre

quelli SMD dato che sono più piccoli degli altri hanno capacità di dissipazione

inferiore e perciò occorre valutare bene le correnti in gioco.

Per valutare la capacità di dissipazione è importante valutare bene la superificie

attraverso la quale il resistore scambia calore con l’esterno, e la conducibilità

termica dei componenti che gli stanno attorno, dato che per la legge di Fourier,

se la temperatura dell’area circostante aumenta, la dissipazione diventa meno

efficace.

Derating

E’ la curva che fa vedere come la dissipazione massima di potenza diminuisce

all’aumentare della temperatura ambiente.

Stabilità

E’ un parametro importante per le applicazioni che devono avere un tempo di

vita prolungato. Per verificare questa caratteristica si controlla che la variazione

del valore nominale del resistore dopo il test sia rimasta in linea con i valori

riportati sul datasheet.

Può essere eseguito anche un test accelerato: agendo su fattori quali temperatura

o tensione si simula in tempi ragionevolmente brevi, il tempo di vita realistico

del resistore. Si ottengono perciò classi di stabilità.

Rumore

E’ un parametro importante per applicazioni che hanno un tempo di vita pro-

lungato. Il rumore si divide in :

• Rumore termico associato al movimento casuale degli elettroni;

• Rumore di corrente associato al passaggio di elettroni tra aree omogenee

di resistori di grande valore;

• Rumore di contatto associato ad aree di giunzione tra zone di un policri-

stallo. 2

Linearità

La dipendenza della corrente dalla tensione applicata dipende dall’autoriscalda-

mento del resistore.

Tipi di resistori

I resistori possono essere in vari modi:

• A strato (o film) che si ottiene depositando uno strato di materiale con-

duttore su un supporto isolante;

• A filo, che si ottiene avvolgendo un filo conduttore su un supporto isolante;

• A impasto, che si ottiene pressando ad alte temperature una miscela di

carbone, legante e sostanze isolanti.

Esempi di leghe sono Nichel-Rame, Nichel-Cromo, Nichel-Cromo-Alluminio o

Nichel-Cromo-Ferro.

1.1.1 Modelli di resistori reali

I modelli equivalenti di resistori reali, variano anche in frequenza, perciò possono

essere modellati con circuiti equivalenti.

RLC C

C

R L L R

Il circuito sulla destra schematizza un circuito equivalente di un resistore reale

a impasto, mentre quello sulla sinistra a filo.

3

Consideriamo il circuito a sinistra, e tracciamo il grafico della resistenza in fun-

zione della frequenza. Nel caso riportato in verde,fino a MHz, la resistenza

10

si comporta come tale, ma per frequenze maggiori l’impedenza comincia a scen-

dere facendo prevalere il comportamento capacitivo.

Nell’altro caso (quello blu) per alte frerquenze prevale invece il comportamento

induttivo.

Si può dire inoltre che variando il valore della resistenza , varia il modulo e la

fase dell’impedenza equivalente, ed in particolare:

• Resistenze piccole: prevale il comportamento induttivo all’aumentare della

frequenza;

• Resistenze grandi: prevale il comportamento capacitivo all’aumentare del-

la frequenza.

E’ interessante valutare anche il fatto che la frequenza di transizione diminuisce

all’aumentare il valore della resistenza.

1.1.2 Analisi in frequenza

L’impedenza equivalente dell’equivalente a impasto sarà:

R + jωL

1

∥ = =

Z = (R + jωl)

eq 2

−

jωC 1 ω LC + jωRC (1.2)

2 2 2

− − − −

(R + jωL)(1 ω LC jωRC) R + jω[L(1 ω LC) R C]

= =

2 2 2 2 2 2

− − − −

(1 ω LC) (ωRC) (1 ω LC) (ωRC)

In questo modo il numeratore può essere rappresentato con una quantità del

tipo A + jB.

Tipicamente vorremo utilizzare il nostro resistore in un range di frequenze per

4

cui l’impedenza associata all’induttanza sia molto minore del nostro resistore,

mentre l’impedenza associata alla capacità sia molto maggiore.

 ≪

ωL R

 1 ≫ R

 ωC

da cui si ottiene che e che mettendo insieme otteniamo

≪ ≪

ωL/R 1 ωRC 1,

da cui:

2 ≪

ω LC 1, (1.3)

2

≃ −

Z R + jω(L R C) = R + jωX

eq eq

Da questo si deduce che se allora prevale il compor-

2

−→

X > 0 L > R C

eq

tamento induttivo, se invece prevale il comportamento

2

−→

X < 0 L < R C

eq

capacitivo. Possiamo perciò semplificare il circuito nei due casi, ottenendo:

R R C

eq eq eq

2

≃ −

L L R C

eq

Per il calcolo della capacità equivalente conviene scrivere l’impedenza equiva-

lente del circuito di destra che abbiamo appena semplificato:

−

R R(1 jωRC )

eq (1.4)

Z = =

eq 2 2 2

1 + jωRC 1 + ω R C

eq eq

Questa espressione avrà al denominatore una quantità analogamente trascura-

bile rispetto ad 1, ottenendo perciò un’ impedenza pari a : (1.5)

−

Z = R(1 jωRC )

eq eq

Per cui, uguagliando con la 1.3 otteniamo da cui:

2 2

≃ −

R C R C L,

eq

2 −

R C L L (1.6)

≃ −

C = C

eq 2 2

R R

I fattori di qualità del resitore possono essere definiti mediante due parametri:

la costante di tempo del resistore e l’angolo di fase

τ ϕ.

R 2

|L −

L R C|

eq ≃

= R C

τ = eq eq

R R R

eq

(I due fattori e forniscono la stessa espressione)

·

L /R R C

eq eq eq eq 2

−

X X ω(L R C)

eq eq

≃ ≃

ϕ = arcth R R R

eq eq

In condizioni ideali l’impedenza coincide con la resistenza, e perciò l’angolo di

fase sarà nullo, mentre in generale l’angolo di fase sarà diverso da 0. In par-

ticolare se è positivo prevale il comportamento induttivo, mentre se è negativo

prevale il comportamento capacitivo. 5

Effetto Pelle

In un conduttore metallico percorso da una corrente variabile, la distribuzione

della corrente non è uniforme nella sua sezione ma si addensa verso la periferia.

Nel caso di corrente alternata la resistenza del conduttore aumenta al crescere

della frequenza. r µω

l (1.7)

R(ω) = πd 2γ

Effetto Boella

Nei resistori a impasto, oltre alle capacità parassite fra i terminali , interven-

gono anche le capacità distribuite fra le particelle conduttrici, le quali vanno a

diminuire il valore della resistenza all’aumentare della frequenza . Questo effetto

può essere non trascurabile anche a frequenze molto basse per valori elevati di

resistenze.

1.2 Condensatori

I condensatori si dividono in

• Elettrolitici;

• Ceramici;

• A film plastico;

Elettrolitici

Questi condensatori sono in grado di accumulare grandi quantità di energia,

sono però limitati per applicazioni frequenziali fino alle decine di kHz. Sono

costituiti da un elettrodo (anodo) sul quale si forma uno strato di ossido con

elevata costante dielettrica , mentre l’altro elettrdo (catodo) è costituito da

ε R

un elettrolita(soluzione salina) e da un secondo elettrodo metallico che spesso è

il contenitore stesso.

I condensatori elettrolitici possono essere a base di alluminio o di tantalio; que-

st’ultimi sono superiori per stabilità di temperatura e a frequenze maggiori, ma

con capacità massime minori. 6

Ceramici

Nei condensatori ceramici il dielettrico è costituito da una massa ceramica con

variabile. I ceramici con minore hanno una maggiore stabiltà del valore

ε ε

r r

capacitivo con minori perdite e sono perciò usati per circuiti oscillanti. Quelli

che invece hanno una elevata presentano una capacità elevata con scarso in-

ε r

gombro.

La forma più diffusa è quella a disco, e dato che i ceramici sono utilizzati normal-

mente ad alte frequenze, vengono usati in parallelo agli elettrolitici per fugare

a massa le alte frequenze.

Esistono anche condensatori a strato, il cui dielettrico è costituito da strati

ceramici.

A film plastico

In questi condensatori il dielettrico è un poliestere e lo strato elettroconduttore

è una lamina metallica. Lavorano con tensioni fino a V e sono preferiti alle

1000

basse frequenze.

Nei condensatori con dielettrico in policarbonato la capacità è costante e di

conseguenza sono utilizzati in circuiti oscillanti.

1.2.1 Analisi in frequenza

Il circuito equivalente di una capacità reale è il seguente:

R C

p p

L s

R s

dove e sono rispettivamente l’induttanza dei reofori e la resistenza dei

L R

s s

reofori, mentre è la resistenza del dielettrico tra le due armature.

R p

Osservando l’andamento di Figura 1.1 si osserva che la curva rossa dell’impe-

denza è data dai due contributi capacitivo e induttivo, e che esiste una certa

frequenza che discrimina due regioni di funzionamento: per frequenze infe-

ω

0

riori ad , l’andamento è capacitivo, mentre per frequenze superiori prevarrà

ω

0

l’andamento induttivo. Nel caso ideale, l’impedenza associata al nostro con-

densatore dovrebbe essere puramente reattiva, cioè , nella realtà (come

≡

Z X

C

mostrato in Figura 1.2 ) abbiamo visto che sono presenti anche fenomeni dissipa-

tivi, che vengono presi in considerazione definendo la resistenza serie equivalente,

7

Figura 1.1: Grafico dell’andamento dell’impedenza di un condensatore reale

Figura 1.2: Caso reale di impedenza

che fa si che l’impedenza non coincida con la sua reattanza, ma rispetto a

Z

questa presenti un certo angolo la cui tangente prende il nome di fattore di

δ,

dissipazione (DF): ESR 1

≃

DF = tgδ = ωCR =

s

X ωCR

C p

Viene poi definito il fattore di qualità come:

1

Q = DF

e sarà un valore molto alto, su qualche decina.

Si può poi definire una frequenza propria di risonanza (SRF):

1

√

SRF = ·

2π ESL C

Sia la capacità che il fattore di dissipazione dipendono dalle condizioni opera-

tive, ovvero frequenza, temperatura, tensione..., come mostrato in Figura 1.3.

Condensatori che dal punto di vista della tecnologia realizzativa sono analo-

ghi, presentano frequenze di risonanza diverse a seconda del proprio valore, in

particolare condensatori più piccoli si comportano meglio di quelli a capacità

maggiori poichè la frequenza di risonanza aumenta al diminuire della capacità.

1.2.2 Circuito equivalente

Partiamo dal calcolo dell’impedenza equivalente:

8

Figura 1.3: Variazione dei parametri di un condensatore

R C

p p

L s

R s 2

− C

R jωR

1 p p

= R + jωL + =

Z = R + jωL + s

eq s 1 2 2 2

1 + ω R C

+ jωC p

R p 2 2 2 2

−

R C L(1 + ω R C )

R

p p p

−

= R + jω

s 2 2 2 2 2 2

1 + ω R C 1 + ω R C

p p

Adesso per calcolare la frequenza di risonanza imponiamo che la parte imma-

ginaria sia nulla dato che alla risonanza il componente ha un comportamento

resistivo: 2 2 2 2

ℑ{Z } −→ −

= 0 R C L(1 + ω R C ) = 0

eq p p

2 −

R C L 1 1

p

2 −

ω = =

2 2 2 2

R C L LC R C

p p

Oltre al termine che ci aspettavamo è presente anche un secondo termi-

1/LC

ne che tiene conto del componente dissipativo che però sarà molto grande.

R p

Spesso infatti, dato che lo scostamento sarà molto piccolo, può essere rappre-

sentato il circuito equivalente senza il componente dissipativo.

Trattando ci potremo aspettare una diminuzione della frequenza di risonanza

C

all’aumentare del valore della capacità.

Se ci mettiamo in corrispondenza della frequenza di risonanza, l’impedenza

9 ∗

R p

∗

C ∗

R ∗

C

p

Figura 1.4: Circuito equivalente serie e parallelo

equivalente vale: R 1

R p

p = R + = R +

Z = R + s s

eq s 2 2

R C−L R C R C

2 2

p p −

1+ R C 1+ 1 p

p

2 2

LR C L

p

1.2.3 Circuito equivalente semplificato a bassa frequenza

< ω)

(f

Partiamo con il calcolarci l’impedenza e l’induttanza equivalente dei circuiti in

Figura 1.4 1 (1.8)

∗

Z = R +

eq s ∗

jωC s

1 (1.9)

∗

Y = + jωC

eq p

∗

R

p

I circuiti equivalenti devono rappresentare la stessa cosa, perciò possiamo ugua-

gliare il complesso coniugato dell’inverso della 1.8 con la 1.9:

∗2

∗ ∗

∗ 2

ω C

+ R

jωC 1

jωC ∗

s

s s

s

= = + jωC p

∗ ∗ ∗2 ∗2 ∗

2

1 + jωR C 1 + R ω C R

s s s s p

Uguagliando le parti reali e immaginarie, otteniamo:

∗2 ∗2

∗ ∗2 2

2

1 1 + R ω C 1

ω R C

 s s

s s ∗ ∗ ∗

−→ −→

R = R = R 1 +

=

 p p s

 ∗ ∗2 ∗2 ∗ ∗2 ∗2 ∗2

2 2 2

R 1 + R ω C ω R C ω R C

 p s s s s s s

∗

1

ωC

s ∗ ∗

∗

 −→ C = C

= ωC

 p s

p

 ∗2 ∗2 ∗2 ∗2

2 2

1 + R ω C ω R C

s s s s (1.10)

1 , otteniamo:

Ponendo adesso Q = ∗2 ∗2

2

ω R C

s s

 ∗ ∗ 2

R = R (1 + Q )

p s

 (1.11)

2

Q

∗ ∗

C = C

p s

 2

1+ Q

Dato che stiamo a bassa frequenza , e perciò possiamo

∗ ∗ ≪ −→ ≫

ωR C 1 Q 1

s s

dedurre che: ∗ ∗ ∗ ∗

≫ ≃

R R C C

p s p s

10

Figura 1.5: Flusso

1.3 Induttore

L’induttore è un avvolgimento di un conduttore attorno ad un materiale elet-

tromagnetico o nel vuoto. Quando il filo è attraversato da corrente variabile

sappiamo che si genera un flusso variabile che genera una f.e.m indotta che ten-

de ad opporsi alla variazione del flusso magnetico.

Viene definito anche per l’induttore un fattore di merito :

|X| |B|

ωL R p

Q = = = =

R R G ωL

s s p

Questo fattore è importante dal punto di vista fisico perchè viene visto come

rapporto di energie, ed in particolare come l’energia massima immagazzinata in

un elemento reattivo e quella dissipata nei parassiti dissipativi presenti quando

siamo in regime sinusoidale ad una certa frequenza.

Gli induttori presentano valori diversi a seconda che siano avvolti su un materiale

ferromagnetico o nel vuoto: nel primo caso infatti il valore dell’induttanza sarà

più elevato e tutte le linee di flusso saranno contenute all’interno del materiale

ferromagnetico, come mostrato in Figura 1.5.

A seconda che l’induttore sia smagnetizzato o meno, saranno presenti domini

magnetici orientati in maniera casuale, domini che si allinenao tutti nello stesso

verso facendo in modo di massimizzare il campo magnetico, come mostrato in

Figura 1.6. 11

Figura 1.6: Domini magnetici

Ciclo di isteresi

1.3.1 Circuito equivalente induttore

Come per il circuito equivalente del condensatore calcoliamo l’impedenza equi-

valente del circuito in Figura 1.7:

1 jωLR p

Z = R + = R +

eq s s

1

1 2

−

R ω R LC + jωL

+ jωC + p p

R jωL

p

Moltiplicando e dividendo p