Costruzione di macchine 2

Costruzione di Macchine II

1. La Verifica Probabilistica

1.1 La Verifica Deterministica

Si procede con il dimensionamento di massima:

• Imposto η = 2
• Calcolo σ_max = M_f / W_f = (F_z l_z / W_f) = (8Fℓ / πd³)
• Trovo d imponendo η = 2, (8Fℓ / πd³) ≤ (R_s / η) → d
• verifico che σ_max ≤ (R_s / η) → ricavo η

che deve essere maggiore di 1,5.

Nella verifica deterministica di η, nella verifica, ignoriamo la variabilità.

1.2 Verifica Probabilistica

L'obiettivo della verifica probabilistica è quello di poter abbassare con sicurezza il coefficiente di sicurezza. In questo modo si possono ridurre i costi, il peso ecc... tutto in completa sicurezza.

Costruzione di Macchine II

1. La Verifica Probabilistica

1.1 La Verifica Deterministica

Si procede con il dimensionamento di massima:

• Impongo _η=2
• Calcolo _σmax = _Mf/_Wf=_Fzlz/_πd³/32 = 8_F/_πd³
• Trovo d imponendo _η=2 8_F/_πd³ ≤ _Rs/_η → d
• Verifico _σmax ≤ _Rs/_η → ricavo _η che deve essere maggiore di 1.5

Nella verifica deterministica _η = _Rs/_σmax. Nell'imposizione di _η, nella verifica, ignoriamo la variabilità.

1.2 Verifica Probabilistica

L'obiettivo della verifica probabilistica è quello di poter abbassare con sicurezza il coefficiente di sicurezza. In questo modo si possono ridurre i costi, il peso ecc... tutto in completa sicurezza.

In generale si può definire la variabilità del carico e della resistenza nel seguente modo:

R_S = R_S ± μ_RS   σ_max = σ_max ± μ_σmax

dove μ è la deviazione standard della gaussiana.

Considerando ad esempio σ_max esso può essere espresso in funzione di:

σ_max = f(d, l, P)

dove anche le variabili sono a loro volta grandezze statistiche:

d = d ± μ_d   l = l ± μ_e   P = P ± μ_P

Nella verifica deterministica η = ^R_S/_σmax = ^S/_L dove

chiameremo L il carico (load) e S è la resistenza (strength).

La variabilità del carico applicato (L) può essere descritto da una gaussiana:

C(L) = 1/√2πμ_L e ^{−(L−(L))²}/_2μL²

funzione di densità di probabilità

La curva rappresenta il campo di variabilità degli sforzi applicati.

Per definizione sappiamo che l’area sottesa alla

curva rappresenta la probabilità che il carico, o qualsiasi altra variabile, assuma un certo valore.

Quindi _{L = -∞}^+∞ C(L) dL = 1.

ρ [L₁ - _dl/² ≤ L ≤ L₁ + _dl/²] = C(L₁) dl

Definiamo ora R, la probabilità di non rottura. R + P = 1 dove P è la probabilità di rottura. Analizziamo ora il seguente grafico:

Nella zona di sovrapposizione delle curve v'è la probabilità che il carico sorpassi la resistenza del materiale.

CASO 1

C(l) C(s)

il carico è sempre inferiore alla resistenza

CASO 2

C(l) C(s)

L₁ può essere maggiore di S₁. (la zona di sovrapposizione si allarga)

Se le due curve si avvicinano, η diminuisce fino a tendere a 1 se i due valori medi si sovrappongono.

si può notare un allargamento delle sovrapposizioni.

Andiamo ora a definire l'AFFIDABILITÀ.

p[S > L] = ∫_L1^+∞ C(S)dS

È la probabilità che il materiale abbia una resistenza S > L1

Consideriamo una certa variabilità del carico (dL) e scriviamo

p[L_n - dl/2 < L < L_n + dl/2] = C(L_n) dl

dR = C(L₁) dL ∫_L1^+∞ C(S)dS

Abbi