Costruzione di Macchine 2

Ripasso per il corso di CM2:

• TEORIA della TRAVE
• FATICA dei MATERIALI: Kt, Kf

(concentrazione di tensione, effetto che la concentrazione delle tensioni ha sulla effettiva resistenza del componente)

METODI:

CM1 → si basa su metodi analitici

CM2 → si basa su metodi numerici al calcolatore [metodo ELEMENTI FINITI]

CONTENUTI:

CM1 → materiali metallici privi di difetti

CM2 → materiali metallici/compositi

• con difetti
• senza difetti

Per esempio considero un componente con un intaglio, sollecitato a fatica.

Mi aspetto un innesco di cricca nel punto di max sollecitazione (punto rosso)

Supponiamo che il difetto abbia una cricca preesistente immersa (mm).

In CM2 ci si domanda qual è la durata a fatica di questo componente contenente il difetto → ovvero mi chiedo quale il N° dei cicli per propagare questo difetto fino a causare la rottura di schianto del componente.

Componenti con difetti significa con CRICCHE:

• cricche REALI sul pezzo causate dall'utilizzo
• cricche REALI presenti nel pezzo dovute al processo produttivo (fusioni, getti, additive manufacturing)
• cricche IPOTIZZATE in fase di progettazione (ambito aeronautico)

L'ISPEZIONE NON HA RILEVATO CRICCHE PIÙ GRANDI DELLA RISOLUZIONE DELLO STRUMENTO

METODO AGLI ELEMENTI FINITI

Questo metodo consiste in una discretizzazione di una struttura complessa in elementi (porzioni della struttura) e nodi (punti attraverso i quali sono collegati gli elementi).

La funzione della discretizzazione è quella di conservare nei nodi, le incognite del prodotto.

NODI = punti nei quali vengono conservate le incognite del problema strutturale.

Le incognite fondamentali sono gli spostamenti e le forze. Caratterizziamo spostamenti e forze generalizzate perché a seconda della tipologia di discretizzazione che abbiamo, gli spostamenti che caratterizzano nei nodi della struttura, non è detto che siano traslazioni ma potrebbero essere anche rotazioni.

[mm] [rad]

Come opera il METODO AGLI ELEMENTI FINITI:

Esempio: Struttura formata da un assemblaggio di molle

Individuo porzioni elementari della struttura; i punti di comunicazione tra le varie porzioni degli elementi sono i: NODI.

1) TRAVE INFLESSA

FLESSIONE + TAGLIO

• (MF)
• (T)

1. TRASLAZIONE (F₁)
2. ROTAZIONE (F₂)

5) TELAIO PIANO

FLESSIONE + TAGLIO + SFORZO NORMALE

• (MF)
• (T)
• (N)

1. 2 TRASLAZIONI (F₁, F₂)
2. 1 ROTAZIONE (F₃)

6) TELAIO SPAZIALE

FLESSIONE

• MF_x₂, MF_xy

TAGLIO

• T_y, T_z

SFORZO NORMALE

• N

TORSIONE

• M_t

1. 3 TRASLAZIONI (F₁, F₂, F₃)
2. 3 ROTAZIONI (F₄, F₅, F₆)

3) PLANE STRESS

membromo

• N_y
• N_x
• T_xy

1. 2 TRASLAZIONI (F₁, F₂)

8) LASTRA INFLESSA

guardato dall'asse x (ridotto dell'asta TRAVE INFL.)

guardato dall'asse y

1. 1 TRASLAZIONE (F₁)
2. 2 ROTAZIONI (F₂, F₃)

a) riga o colonna è combinazione lineare di altre 2 —> det[A] = 0

b) det[A] = 0

SINGOLARE, NON È INVERTIBILE (Facilità nelle strutture)

• Inversa di una matrice:

—> [A]_quadrata m×m

[A] [A]^-1 = [I]

—> Metodo di Cramer

[A]^-1 = 1/det[A] • agg[A]

—> agg[A]: trasposta della matrice i cui elementi sono complementi algebrici C_ij degli elementi a_ij

[A] = |1+ 2 3+| |2- 3+ 2-| |3+ 3- 4+|

agg(A) => A₁₁ = + (3•4 - 2•3) = 6 A₁₂ = - (2•4 - 2•3) = -2

[A] = |a+ b- | |c- d+|

[A]^-1 = 1/(ad-bc) |d -b| |-c a|

ho invertito la diagonale principale e cambiato di segno la diagonale secondaria

• Sistemi lineari:

{ a₁₁ y₁ + ... + a_1m y_m = c₁ ... a_m1 y₁ + ... + a_mm y_m = c_m}

m = n^o equazioni m = n^o incognite

{V}¹ = [U] · {V}¹

= ^⎡ 4 2 3 ^| 9 ^⎤ _⎡76_⎤ ^⎢ 1 3 4 ^| 8 ^⎥ _⎢65_⎥ ^⎣ 5 2 1 ^| 8 ^⎦ _⎣69_⎦

Andando avanti trovo la convergenza.

All'esame si chiede di fermarsi a iterare quando la deviazione fra 1,3 è < 3%.

λ₁ ≈ 8,1; 8,6

λ₁ = λ_max = ^⎧ 76/9 = 8,4_⎫ ^⎨ 65/8 = 8,125_⎬ ^⎩ 69/8 = 8,625_⎭

Metodo della Traccia

tr[U] = ^m∑_i=1 λ_i λ₁ ≫ λ₂ ≫ λ₃ ... ≫ λ_m

tr[U] ≈ λ₁

tr[U] = 8 ⇒ λ_{1 max}

Nota: [A]{y} = λ[B]{y}

assumo [A] ≠ non singolare {y}_S = λ [A]^-1[B]{y}

[U]

¹/_λ [y]_S = [U]^-1[y]

Se applico il Metodo delle Potenze o il Metodo della Traccia a questa equazione, trovo (μ/_λ)_max → trovo λ_min girando la formula

* K₁₁ = F₁/F₁

impongo F₁=1

K₁₁ = F₁/F₁ - K·F₁ = K

K₂₁ = F₂/F₁ - K·F₁ = -K

* K₁₂ = F₁/F₂

impongo f₂=1

K₁₂ = F₁/f₂ - K·f₂ = -K

K₂₂ = F₂/f₂ - K·f₂ = K

[K] = [K -K_-K K] = K[1 -1_-1 1]

2)

ASTA

= molla con K = E·A/l

A = area sezione trasversale

[K] = (E·A/l) [1 -1_-1 1]

3)

BARRA TORSIONALE

= molla torsionale

[K] = (G·J_p/l) [1 -1_-1 1]

F̅₁ = F₁ · l + F₂ · m

F̅₂ = F₃ · l + F₄ · m

{ F₁ F₂ } ⁽ⁱ⁾ = [ m o o m ] { f₁ f₂ f₃ f₄ }

4x1

2x1

4x1

{ F_i } ⁽ⁱ⁾ = [ T⁽ⁱ⁾ ] { F_I } (l)

MATRICE DI TRASFORMAZIONE

delle coordinate

Ragioniamo ora sulle FORZE:

F̅₁ = F₁ · l

F̅₂ = F₁ · l

F̅₃ = F₂ · l

F̅₄ = F₂ · m

{ F₂ F₃ } ^(l) = [ l o o ] { f₂ F₄ }

4x1

4x2

2x1

{ { f }^o = [ T ]^ox^*{ f}^c }

NB: [ T ]^-1 = [ T ]^T

{ { f }⁽ⁱ⁾ = [ T ]⁽ⁱ⁾ ] { F }⁽ⁱ⁾ } (l) = [ K ]^(o) { { f }⁽ⁱ⁾ }

2x2

• raccoglie
• grandezze di elementi
• coordinate di elementi (X¹)

{ F̅ }ⁱ = [ K ]ⁱ { F̅ }^o }

• raccoglie
• grandezze di elementi
• coordinate di struttura (X, Y)