Corso di Controllo digitale

LAPLACE

• Motivazioni: TRASFORMATA UNILATERA

Cioè viene considerata l'ipotesi di causalità dei sistemi altrimenti non ci si troverebbe in condizioni reali.

Nessun sistema reagisce prima che venga sottoposto ad una socitazione/perturbazione.

F(s) = L{f(t)} = ∫₀^∞ e^-st f(t) dt , S = σ+jω

• Ipotesi tecnica: f(t) sommabile
• Trasformazione necessariamente bnvoca

PROPRIETA'

• Linearità
• Traslabilità nel dominio
• Convoluzione in t -> prodotto in S.

È UN OPERATORE LINEARE CHE PORTA F: ℝ → ℝ   → F : ℂ → ℂ

CONVERGENZA

FORMULE DI EULERO

sin ψ = ^{eiψ - e-iψ}/_2i

cos ψ = ^{e-iψ + eiψ}/_2i

ESEMPIO: Riscrivere \(u_k = a_1u_{k-1} - a_2u_{k-2} + b_0e^k \) in termini di una equazione alle differenze

SOLUZIONE: Devo riscrivere \(u_k\), \(u_{k-1}\) e \(u_{k-2}\) in termini di operatore alle differenze:

• \(u_k = u_k\) [definito come essa stessa]
• \(u_{k-1}\) ricorrando l'equazione data \(\nabla u_k = u_k - u_{k-1} \) ottengo \(u_{k-1} = u_k - \nabla u_k \)
• \(u_{k-2}\) ricorrando l'equazione nota \(\nabla^2 u_k = \nabla u_k - \nabla u_{k-1} \), ottengo \(u_{k-2} = u_{k-1} - 2\nabla u_k + \nabla^2 u_k \)

Poi sostituendo i valori ottenuti, ottengo un'equazione:

\(a_2 \nabla^2 u_k - (a_1 + 2a_2) \nabla u_k + (a_2 + c_1 + 1) u_k = b_0 e^x \)

Che rimane irriducibile come una semplice equazione differenziale. Non ci servirá ma i risultati ma saranno utili per gli algoritmi ma ai controllo.

Soluzione di equazioni alle differenze:

• Considero \(u_k = u_{k-1} + u_{k+1} - un\), con \(k = 2\), e \(u_0 = u_1 = 1\)
• Ipotizzo soluzione tipo \(u_k = c^k = c^2/c^{k-2} + c^{k-2}\)
• divido per \(c^2\) ottengo \(1 - \frac{z^2}{z^3} = 0\) da cui ottengo ancora
• Il polinomio caratteristico \(\frac{z^2 - z - 1}{z} = 0\)
• Ora le radici \((z_1, z_2) \) del polinomio formano la soluzione dell’equazione alle differenze
• \((c_1, c_2) \) li trovo imponendo le condizioni iniziali \( u_k = c_1z_1^k + c_2z_2^k \)

• FUNZIONE ESPONENZIALE: la sequenza dipende da T.

x(t) = {1/2 e^at per t ≥ 00 altrove}

x(kT) = {1/2 e^akT}

dim: Z{x(kT)} = _∑ e^akTz^-k

k=0

= 1/1 - e^-aTz-1

= z/z - e^-aT

notare che la serie converge per |z| > e^Re(a)T con a costante reale o complessa

• FUNZIONE SINUSOIDALE: la sequenza dipende da T.

x(t) = {sin(ωt) per t ≥ 00 altrove}

x(kT) = {sin(ωkT)}

dim: Z{x(kT)} = [formule di Eulero]

1/2j [1/1 - e^jωTz-1] - 1/1 - e^-jωTz-1]

= 1/1 - e^jωT - e^-jωTz^-2

= z^-1sin(ωT)

= z sin(ωT)/z² - 2z cos(ωT) + 1

notare che la serie converge per |z| > 1

8 Marzo - Teoria del Campionamento dei Segnali

Si lavora centrando sulla formalizzazione matematica dell'amp;ds

Campionamento impulso

ZOH: Zero order hold mantiene il valore del campione e lo mantiene per tutta la durata del tempo di campionamento

ZOH

• Alla fine il segnale ricostruito avrà la forma

x_ZOH(t) = ∑_k=0^N x(kT)[σ₁(t-kT) - σ₁(t-(k+1)T)]

ad ogni istante di campionamento.

Segnale ricostruito

ammetterà una trasformata

L{x_ZOH(t)} = X_r(s) = [∑_k=0^N x(kT)][e^-kTS e^-(k+1)TS]T

Laplace del segnale campionato impulsivamente.

Devo considerare che avrò discontinuità di 1^a specie.

Segnale campionato

x^*(t) = 1/T x^*(s)

= ∑_k=0^N x(kT) δ(t-kT)

Trovo che la funzione campionata venga vista nel tempo con impulsi di durata

σ₁(t) = ∑_k=0 δ(t-kT) treno da impulsi

questo perché se integro, la σ vale 1 e ritrovo il valore del campione. Quindi i campioni forzano energia.

x^*(t) = x(t) σ(t)

Nota che x^*(t) = x(kT)

ZOH = RICOSTRUTTORE, CAMPIONATORE IMPULSIVO

19 Marzo ESERCITAZIONE MATLAB ZOH

• risposta impulsiva e armonica
• grado di espansione
• modulati di ricostruzione del segnale

→ ZOH: non posso usare la funzione Fdel di Matlab perché non ha una fdt razionale finita ma ha una funzione trascendente al numeratore.

Ricorda

_{1 - e^-s}

I diagrammi di risposta armonica vanno calcolati scrivendo a mano le varie funzioni di modulo e fase.

H_a(jω₀) = ∣T ∣ sin (ωT/2)/ωT/2 ∠ Arg ∣sin∣ ωT/2 π

Con Matlab comprenderemo l'approssimazione H_a(jω)≈T e^-jωT/2

usando tf [transfer function] istanziavo un sistema automaticam. ma non posso usarla per lo ZOH a causa del numeratore trascendente.

• Lavoro sul modulo

Nota: Devo lavorare con Sin quindi vedo la funzione Sinc predefinita ma devo renderla da Sinc (fix) devo depurarla dei π perché ho come argomento ωT/2.

- T è costante

- ω deve variare

posso dividere per π = ωT/2π = inverso ω_s [w] = [rad/sec]

devo convertire in frequenze [₁/^sec] quindi uso il fattore di conversione 2π.

Posso usare un vettore che congedera modo frequenze 1/sec [Hz]

ωT/2π = ωT sin (2πf, T/2) → sin (πf, T)

definisco ora un f vettore (il più fitto possibile) riferendo ad Hertz

Lavorando con sin lo faccio di un elemento senza π, se definisco Hz in vettore f e suppongo T unitario

sin(ωT/2) come lo scrivo ? → » Sin (pi* f);

» plot (f, sin (pi* f))

SINC: nota che azzera per multipli intrni di pi tranne in 0 perché ha una discontinuità singolarità .

1 ^{_{x = 1}}

^{_{Y: 1.225E-16}}

≈ 0

PER LA SINC k = 2,3,... PER SIN k=1,2,3

k = 0 per kπ che nel nostro caso avviene quando siamo sull'asse x

devo intersecare con il sin.

Ricostruttore ad uscita continua

x_L(t) = x(kT) + x(kT) * (x(k - 1)T)

ki ≤ t < (k + 1)T

• Risposta impulsiva

• g_c(t) = δ₁(t) - 2 δ₁(t - T) + δ₁(t - 2T)

annullio e inverto

annullio di nuovo a zero

• La trasformata

• H_C(s) = -2e^-sT + e^-2sT

TS² = 1/T(1-e^-sT)² / S

(ZOH)

• Analisi frequenziale

28 Marzo 2018

A questo punto devo comprendere come può essere ottenuto. Uso regolatori industriali P.D. per tuning di parametri fu (C(z)) non un controllore. Si vedrà: come risolvere in regolazione il differente per C(z).

Differenza tra regolatore e controllore lineare

• un regolatore è controllato per segnali costanti o costanti a tratti (input sempre fisso o che varia molto lentamente)
• un controllore è adatto a input per segnali che variano velocemente o dal forma qualsiasi: classe più ampia

Anello analogico

L'obiettivo primario era la riproduzione del riferimento in input r(t) Effettuato attraverso un controllore

Controllore ≠ C_n(s) a regime - indica che r(t) vada a riproduzione e con quale errore (ε(t)) - C_r(s) = k^-c ( ^{h internori poli non origine} ) - come seleziono kc ed ? - in base a che errore posso tollerare ( ˃ ) - segnale in input (a) step (b) rampa (c) impulso

C_t(s) a transitorio - tempo da attendere finché l'inseguimento di tutti diventi ottimo [∴ t = n·1/k]

Esempio: Si fa un errore finito a gradino con un austorico con aggiusta tra controllore e piccare sempre a gradino. POSSO ELIMINARLO AGGIUNGENDO UN POLO A MONTE quindi nel controllore. In questo caso particolare l'h da sciogliere non è polo in base ai poli nell'origine ma anche in base al autturico dello stile an NOTA: Un disturbo aleatorio d'uscita può andare ad influire nel cui trasferirlo si prevede con modalità opportuno (ma qui regolazione tra segnale e controllore)