Analisi II - appunti del corso

Analisi 2

1. Funzioni in più variabili, operatori differenziali

x₁, x₂,..., xₙ coordinate cartesiane di un punto a, versore fissato e₁, e₂,..., eₙ versori corrispondenti.Al variare di t ∈ ℝ "_at" descrive la retta r passante per x nella direzione di e: t → (x₁ + te₁, x₂ + te₂,..., xₙ + teₙ).

g⃗ = g(t): ℝ → ℝⁿ e f: D dominio f ⊂ ℝⁿ:Tasso di variazione: (dg⃗(t)/dt) rappresenta il tasso di variazione istantaneo di g. Se g misura la variazione obliquarispetto alla retta: funzione g. Per eliminare la dipendenza dalle componenti:∇⃗g = Σ (∂g/∂x_k)e_k = (∂g/∂x₁)e₁ +...+ (∂gn/∂xₙ)e_n

∇⃗g = direzione di massimo accrescimento di f:

Concetto di albedo: ∇⃗g ⋅ a → |∇g| ⋅ a: massimo se a è parallelo a ∇⃗g;r est la direzione geometrica del gradiente; ∇⃗g è la direzione di massimacrescita g ed è la direzione in cui |dg/dt| è massimo.

Operatore nabla ∇ = Σ e_k(∂/∂t_k)

Se coincide con uno di versori e_i, la derivata direzionale coincide con la derivata parziale ∂x_i.

Teorema del valore medio: siano x, y ∈ D ⊂ ℝⁿ, f ∈ C¹(D). Allora ∃ un punto ξ appartenente al segmento x + t(y-x), con t ∈ [0,1], tale che:f(y) - f(x) = ∇f(ξ) ⋅ (y-x)

f(y₁,..., yₙ) - f(x₁,..., xₙ) = Σ ∂f/∂x_kξ_k(ξ₁,..., ξ_n)(y_k-x_k)

Dimostrazione: poniamo g(t) = f(x + t(y-x)), t ∈ [0,1]:Per il teorema di Lagrange:g'(t) = Σ gradiente f(ξ) ⋅ (y-x), ξ(t₀) e quindi: f(y) - f(x) = ∇f(ξ) ⋅ (y-x), dove ξ = x + t₀(y-x)c.v.d

Dato un campo vettoriale u⃗(x), si definiscono:

∇ ⋅ u⃗ = Σ ∂x_ku_kDivergenza indica quanto le linee di campo convergono odivergono dalla sorgente. Se ∇ ⋅ u⃗ = 0, u⃗ è solenoidale.

∇ ⋅ ∇g = Δg = ∇²g = Σ ∂x_k² u_ke_kLaplaciano

∇ x u = [e_iji ∇_ju_i]e_iRotore indica la tendenza di un campo vettoriale a ruotareattorno a certi punti del polo. Se ∇ x u = 0, ∇ è campo èdetto irrazionale e ammette un potenziale scalare.

Componenti covarianti e controvarianti

In ℝ³ ogni punto può essere descritto da diverse terne di coordinate; siano:

x¹ x² x³ coordinate cartesiane;

u¹,u²,u³ coordinate curvilinee generiche;

g_ij = Σ³ (i,j)

Mettiamo a cattura i versori di coordinate della base di tutto l'altro set di coordinate.Il sistema usasse tensori in R^m,n, lo scopo palese della nidificazione.

Detti u¹, i₄, al fine sulle coordinate cartesiane, ogni vettore posizione ξ esprimeattraverso coordinate curvilinee un vettore si può esprimere in funzione dallegeneriche coordinate critiche della serie:

X(x) = Z_k(x^α)e_i

Definiamo una base di vettori linearmente indipendenti:

g_σ^κ = σ_xF^κr_δ = ∂x_κu_σe_ik f₁¹,3

COORDINATE NOTEVOLI

• C. CILINDRICHE:

• x¹ = r
• x² = θ
• x³ = z

⇨ r ∈ ℝ⁺, θ ∈ [0, 2π), z ∈ ℝ

∇ = ∂_gα / ∂x^k [r cos θ e₁ + r sin θ e₂ + z e₃]

• g₁: ∂ / ∂r [r cos θ e₁ + r sin θ e₂ + z e₃] - cosθ e₁ + sinθ e₂
• g₂: ∂ / ∂θ [r cosθ e₁ + r sin θ e₂ + z e₃] - r sinθ e₁ + r cosθ e₂
• g₃: ∂ / ∂z [r cosθ e₁ + r sin θ e₂ + z e₃] - e₃

da cui h₁ = 1, h₂ = r, h₃ = 1

determinato la base ortonormale con {e_r, e_θ, e₃}, e le componenti fisiche con u_r, u_θ, u₃ si ottiene:

GRADIENTE ∇φ = ∂φ / ∂r e_r + 1/r ∂φ / ∂θ e_θ + ∂φ / ∂z e_z

DIVERGENZA ∇·v = 1/r ∂(ru_r) / ∂r + 1/r ∂u_θ / ∂θ + ∂u_z / ∂z

ROTORE ∇ × v = (1/r ∂u_z / ∂θ - ∂u_θ / ∂z) e_r + (∂u_r / ∂z - ∂u_z / ∂r) e_θ + (1/r ∂(ru_θ) / ∂r + 1/r ∂u_r / ∂θ) e_z

LAPLACIANO ∆φ = ∂²φ / ∂r² + 1/r ∂φ / ∂r + 1/r² ∂²φ / ∂θ² + ∂²φ / ∂z²

• C. SFERICHE:

• x¹ = r
• x² = θ
• x³ = φ

⇨ r ∈ ℝ⁺, θ ∈ [0, 2π), φ ∈ [0, π]

• e_r = [sinφ cosθ e₁ + sinφ sinθ e₂ + cosφ e₃]
• e_θ = [cosφ cosθ e₁ + cosφ sinθ e₂ - sinφ e₃]
• e_φ = [-sinθ e₁ + cosθ e₂]

da cui si ottengono: h₁ = 1, h₂ = r, h₃ = r sin φ

determinando la base ortonormale con {e_r, e_θ, e_φ} e le componenti fisiche con u_r, u_θ, u_φ si ottiene:

GRADIENTE ∇φ = ∂φ / ∂r e_r + 1/r ∂φ / ∂θ e_θ + 1/(r sinφ) ∂φ / ∂φ e_φ

DIVERGENZA ∇·u = 1/r² ∂(r²u_r) / ∂r + 1/(r sinφ) ∂(u_φ sinφ) / ∂φ + 1/(r sinφ) ∂u_φ / ∂φ

ROTORE ∇ × u = 1/(r sinφ) [∂(u_φ sinφ) / ∂φ - ∂u_θ / ∂φ] e_r + 1/r [1/sinφ ∂u_r / ∂φ - ∂(ru_φ) / ∂r] e_θ + 1/r [∂ / ∂r (ru_θ) - ∂u_r / ∂θ] e_φ

LAPLACIANO ∆φ = 1/r² ∂ / ∂r (r² ∂φ / ∂r) + 1/r² sinφ ∂ / ∂φ (sinφ ∂φ / ∂φ) + 1/(r sinφ)² ∂²φ / ∂φ²

Serie di Fourier

Sotto opportune ipotesi, è possibile riscrivere le funzioni come serie di funzioni armoniche che, la cui facilità di manipolazione è notevolmente più alta.

Ipotesi

1. g è periodica di periodo T. ∀t∈R∃k∈Z f(x+T) = (x). Ne segue: ∫_y^x+Tg(y)dy=∫_y^xg(y)dy
2. condizioni di Dirichlet: linee congiunte di g possono non avere discontinuità a salto, ed esempio, il 3% bada a le condizioni di Dirichlet e se δθ < 36° c. e.:

∫_x^{(3ξ+4γ-8χ)⎬dy} |(g(x+γ)-g(x)|dy < ε

Lemma di Riemann

Data una funzione g(x), ad estremo limitata e con |g′| integrabile a tratti, se essa viene moltiplicata con un seno o coseno di frequenza sempre più grande, · tale prodotto viene integrato, esso è tendenzialmente a zero

• lim_λ→∞∫_-∞^∞g(x)sinλxdx=0
• lim_λ→∞∫_-∞^ag(x)cosλxdx=0
• lim_λ→∞∫_a^∞g(x)e^iλxdx=0

Identità trigonometrica di Lagrange

Uso continuo di acc. ai termini e con o al.cont, equivale ad un rapporto tra due serie particolari

...₁∑_m1ⁿcosmx=dπ(m+1/2)(x)/ 2 sinξ

Dimostrazione: osserva che: ...₁∑_m1⁴⁶²cosmαe ...₁∑₃₃₃^-isinxo es, il, o, i, pienso calcius

... e il suo integrale è limitato per chi, coseno_ί rispettoso con l'integrale del modulo della derivata limitato ha il => di:

|∫_ξ^(γ)⎬dx1/...⎧⎥ g′(x)dx ∞