Analisi II - appunti del corso

Analisi 2

1. Funzioni in più variabili, operatori differenziali

x₁, x₂, ..., xₘ coordinate cartesiane di un punto o verso fissato e₁, e₂, ..., eₘ versori corrispondenti.Al variare di t∈ℝ, x=tθ descrive la retta r passante per x nella direzione di θ. Si ha così una parametrizzazione:h(t)=ϑ(t, x+ta₁, x+ta₂, ..., x+taₖ) : I → D dominio incluso in ^m.Se la radice h'(t₀) ≠ 0, rappresenta il tasso di variazione delle f(t) al variare di t lungo la retta aₖ oggettodeviare direzionale derivata: Per eliminare la dipendenza dalle componenti: gradiente di g:∇g=∑(∂g/∂xₖ)eₖconciò è: allora: ∇g · α → |∇g| · αogni cfo.d che il soggetto geometrico del gradiente: ∇g è la direzione d'immissionela direzione in cui |df/dt| massima.

Operatore nabla ∇=∑(eₖ∂/∂xₖ)

Se α coincide con uno di versori eₖ; la derivata direzionale coincide con la derivata parziale ∂/∂xₖ.

Teorema del valor medio: siano x, y ∈ D⊂ℝⁿ, f ∈ C¹(D). Allora ∃ un punto ζ appartenenteal segmento x+t(y-x), con t ∈ [0,1] tale che:f(y)-f(x)=∇f(ξ) · (y-x)∂(g₁, ..., gₘ) - ∂(x₁, ..., xₘ) = ∑(∂xₖ/∂xₗ) · (ξ, ..., ξ)(yₖ-xₗ)

Discretizzazione: così sia g(t)=g1(x+t(y-x)) t ∈ [0,1].Per il teorema di Rolle vi sono (c.d) t₁ ∈ (0,1), t₂.c.) t₃; g₁-(c.d.)=g¹(t₀)e quindi: f(y)-f(x)=∇f(ξ) · (y-x), dove ξ=x+t₀(y-x) c.v.d.

Dato un campo vettoriale (w)(x), si definiscono:∇ · (w) = ∑(∂x_kwk) Divergenza indica quanto le linee di campo convergono odivergono dalla sorgente. Se ∇ · (w) = 0, w è solenoidale.∇ · ∇g = Δg = ∑(∂/∂xₖ)²f Laplaciano∇ x (w) = [εₖᵢⱼ(∂ᵢwⱼ)]eₖ Rotore indica la tendenza di un campo vettoriale a rotoriareattorno a certi punti, detti poli. Se ∇ x (w) = 0 e il campo è detto irotazionale & ammette un potenziale scalare.

Componenti covarianti e controvarianti

In ³, ogni punto può essere descritto da diverse terna di coordinate; sianox¹(n°, x²) : coord numulente, quincudeax´=(x¹(x), x²(x)) : un appartenentelz´=(z²¹, z²², z²³) mettaglio a caternaove ogni coordinata dipande da tutto e altro set di coordinate. È dunque una funzione di più variabili.Se coincidente la funzione orsitattuta.

s.t. : xⁿ, eₖ verso rispetto ad un sistema cartesiano, ogni vettore posavo x x esprimecosi xi, cosi detto visentane un vettore posavo in funzione dallegeniriche coordinate inverse.X(x) = z⁰(x)iₖ

Definiamo una serie di vettori linearmente uniti reduiti:gₖₘ = ∂ₓₖx² - ∂ₓₖx² = ∂₂ₖx₂, _Δg=ϑ²k=1,2,3che dunque ave una normble beve.

Analisi 2

1. Funzioni in più variabili, operatori differenziali

x₁, x₂,...,xₘ   coordinate cartesiane di un punto   a   verso fissato e₁, e₂,..., eₘ verso coordinati Al variare di t∈ℝ, x = x₀ + ta descrive la retta r passante per x contenuto in h(t) = g(x₀ + ta)   ∀ t ∈ I dominio I⊂ℝⁿ. Se l'insieme dei valori h(t)     rappresenta il tasso di variazione temporale della funzione g ∈ D   lungo la retta ad oggetto g derivata direzionale lungo a. Per eliminare la dipendenza dalle componenti di a   gradiente di g

∇g = Σ (∂g/∂xₗ) eₗ.   Il massimo se a è _ parallelo a ∇g

∇g • a = ||∇g|| se a // ∇g a coincide con 1 di eₖ.

Operatore nabla

∇ = Σ eₖ   ∂/∂xₖ Se a coincide con uno di versi eₖ la derivata direzionale coincide con la derivata parziale ∂/∂xₖ.

Teorema del valor medio

siano x₀,y∈Dᵐ, n a Cⁱ(D). Allora ∃ un punto ξ appartenente al segmento x + t(y-x), t∈[0,1] tale che: g(y) - g(x) = ∇g(ξ) • (y-x) g(...) - g(x₀,...) - Σ ∂xₖ, g(x,...ξ)...)(ψᵪ - xₖ).

Dimostrazione:

considero g(t) = g(x₀ + t(y-x)) t∈[0,1] Per il Teorema di Lagrange sul derivabile (t.c.), g(1) - g(0) = g'(t₀). ∴ g(y)-g(x) → ∇g(ξ) = ∇g(ξ) • (y - x),   dove   ξ = x + t₀(y-x). c.v.d.

Dato un campo vettoriale ⭄(x), si definiscono:

• ∇ • ⭄ = Σ ∂xₖ ωₖ   divergenza   indica quanto la ...... di campo converge o diverge dalla sorgente.   Se ∇ • ⭄ = 0 ... è solenoidale.

• ∇ • ∇ • ⭄ = Δ = ∇ ²= Σ ∂ ² x laplaciano.

• ∇ x ⭄ = [εᵢ,ⱼ,ₖ ∂xⱼ ωⱼ | e ] rotore; ... (indica la tendenza di un campo vettoriale a ...) ... attorno a certi punti detti poli. Se ∇ x ⭄ = 0 il campo è d