Corpo rigido: appunti di fisica 1

Corpo rigido

Corpo rigido → sistema di punti materiali in cui le distanze tra tutte le possibili coppie di punti non possono variare / solido ideale inestensibile.

Un modello di corpo indeformabile è un modello ideale in quanto l'aspettativa dell'oggetto è quello di:

• Nel moto del corpo rigido è possibile individuare un moto d'insieme, cioè uno spostamento degli assi, riconducibile al moto del centro di massa.
• Un moto di rotazione intorno a se stesso immutabile rispetto a tutti quei punti che chiamiamo punti fissi (per questo i due tipi di moto si possono trattare separatamente, dopo aver saputo del moto di massa).

Es. ruota che ruota. Lo stesso elemento è un corpo rigido vero e proprio unicamente in un sistema di riferimento inerziale. Appaio nel sistema di riferimento del centro di massa. Se non c'è resistenza, basandosi sui punti osserviamo: Appaio abbiano un moto combinato, anche fisicamente Appaio con costante o stesso se fermo o in moto immobile o in quiete perfetta → Un punto nello spazio è individuabile attraverso tre parametri: le sue coordinate, quindi n punti dello spazio necessitano di 3i parametri. Nel caso del corpo rigido, facendo n compila, coordini conoscendo serie fra tutte le possibili coppie di i punti siano costanti, niente a che fare il problema ad un numero molto ridotto, dobbiamo per individuare la posizione del centro di massa, tramite le 3 rette coordinate, e quindi in totale occorrono 6 parametri per descrivere la posizione di un corpo rigido.

Se conosciamo che si trova un corpo astratto e punto di un corpo rigido, l'equazione nel tempo sulla base del punto del sistema di riferimento inerziale e il moto sia considerevole alla base del centro di massa, il risultato da 6 parametri. Il moto del corpo rigido è poi complesso rispetto a quello di un punto materiale (6 parametri invece da 3) rispetto anche al numero di quei punti costituenti reali coincidenti alla base del centroil numero e di parametri è necessario per descrivere il moto di un sistema si chiama numero di gradi di libertà del sistema. Un corpo rigido ha n p.r=6, un punto materiale n=3, un punto vincolato se muoversi nello spazio una urla n=1. Un corpo rigido è formato da n punti, ma i punti possono essere un sistema discreto oppure essere distribuiti con continuità, ad esempio è un corpo reale e un corpo esteso.

Moto del corpo rigido

Corpo rigido = sistema di punti materiali in cui la distanza tra tutte le possibili coppie di punti non possono variare / solido ideale intrasformabile. Il modello del corpo intrasformabile è un modello ideale in quanto l'aspettativa è che non può essere deformato. Nel moto del corpo rigido è possibile individuare un moto d'insieme, cioè uno spostamento rigido, ricollegabile al moto del centro di massa. (Il centro di massa è un punto immaginario rispetto a tutto il corpo. Nel corpo rigido, rispetto al corpo deformabile, il centro di massa è invariante rispetto tra l'altro rispetto al moto d'assieme). Lo stesso belmoto di un corpo rigido viene fatto normalmente in un sistema di riferimento inerziale, oppure nel sistema di riferimento del centro di massa. Anche se sono solo 3 i parametri minimi, ci sono 6 parametri, 3 di traslazione per il centro di massa e 3 di rotazione intorno ad un asse a tre dimensioni.

Un punto nello spazio è individuato da solo tre parametri: le sue coordinate. Quindi, un punto dello spazio = 3 parametri. Nel caso del corpo rigido, essendo a n punti, la correlazione esiste tra tutte le possibili coppie di punti. Sono costanti n(n-1) / 2, risiede la geometria ad un numero minimo di n(n-1)/2. Dobbiamo però individuare la posizione del centro di massa, tramite le sue tre coordinate, e quindi in totale occorrono 6 parametri per descrivere la posizione di un corpo rigido.

Se conosciamo dove si trova un corpo all'istante t, inteso il corpo rigido, l'evoluzione nel tempo si trova con i parametri L, P nel sistema di riferimento inerziale se note sia la sua velocità del centro di massa, in questo caso 6 parametri. Il moto del corpo rigido è più complesso di quello di un punto materiale (6 parametri invece di 3), indipendente dal numero n dei punti costituenti. Altraal rispetto al centro di massa, lo stato configurare il moto rispetto al centro di massa.

Il numero L dei parametri necessari per descrivere il moto è, in sistema si chiama, numero di gradi di libertà del sistema; un corpo rigido ha L=6, un punto materiale L=3, un punto vincolato e muoversi lungo una linea L=1. Un corpo rigido è formato da n punti reali. I suoi punti possono essere un sistema discreto oppure essere distribuiti con continuità, ad esempio con il corporeale e un corpo esteso. Il moto è determinato dalle forze esterne che i materiali scambiano tra di loro e/o applicano ai punti interni del corpo. Si tratta quindi del bilanciamento di forze esterne che risulta essere R(e) e dal momento risultante H(e) (relazione non dipendente dal luogo). Il lavoro delle forze interne e di un sistema nello stesso di materiali nei punti materiali che compongono tale struttura. Perciò il vantaggio della formula ancora qui in originale è relativo al calcolo delle forze esterne.

Moto di traslazione

Tutti i punti descrivono traiettorie parallele, in generale circolari, percorse con la stessa velocità V che può variare nel tempo in modulo direzione e verso. V=V_c. Se si nota il moto del centro di massa si nota quella sulla superficie piano. La differenza tra quella di un punto materiale e non c’è momento rispetto al centro di massa. L=0 E_K'=0. Le grandezze significative sono trasmesse attraverso i quantita al moto P=mV_c Energia cinetica E_K=E_Kar + ½ mV_c². L’equazione del moto del centro di massa e punti L=L_c+axmVax=tax+P Teorema del moto del centro di massa.

Moto di rotazione

Tutti i punti osservano un moto circolare, le traiettorie sono definite come circonferenze oblique, che stanno in piani tra loro paralleli e non disposti lungo su un stesso asse – o l’asse di rotazione. Rispetto ad ogni altro corpo prodotti da pixel insieme alla massa, ma hanno stessa velocità angolare ω che parallela attraverso equilibrio elevato a V dei singoli punti sono proiezione retta con le versioni ri causate da rotazioni (V=ωR). L’equazione dinamica di base del moto di rotazione e: H=^dL/_df teorema del momento angolare. Il moto relativo più generale è una roto-traslazione e accostamenti infinitesimi possono sempre esprimere come una somma di uno traslazione e una rotazione infinitesima, l'individuato da V e W variabili nel tempo.

Densità/Peso specifico

Un singolo punto materiale di un corpo viene pensato come un piccolo volume dV contenente una massa dm. Densità: rapporto tra la massa infinitesima e il volume da essa occupato. ρ = dm/dV (…) come la massa è distribuita all'interno del corpo. Supponendo che l'aumento di con» infinito, diminuisca il volume e che resti costante lo stesso rapporto, e che, per qualunque volume si lavori, quindi, la densità è costante e si detto omogeneo. (...) = m/V (...) indurire una massa e se denso non omogeneo, in esso è calcolata una densità media: ρ = m/V. In alcuni casi, la massa può essere distribuita lungo una linea, una superficie e a queste curve e ad una prima (ossia per volume): (...) peso specifico. ρS = dm/dσ de = dm/de. Le densità _f = (…) prende il nome di peso specifico: volume occupato dall'unità di massa.

Posizione del centro di massa

La posizione del centro di massa è data dalla somma degli infiniti vettori r_dm divisa per la massa totale: r_CM = ∫r_dm / ∫dm = ∫rρdV / mρ = dm/dV → dm = ρdV. Se il corpo è omogeneo e ρ è costante: r_CM = ρ/m_tot ∫r dV = ρ/ρ ∫r dV = 1/V ∫r dV. Se un corpo omogeneo e simmetrico rispetto a un piano, un asse o un punto, il centro di massa rispetterà simmetria rispetto a un piano, un asse o un punto dell’oggetto ed è nello stesso piano. Se esistono più assi o più piani di simmetria, il centro di massa è nell’intersezione.

Rotazione del corpo rigido intorno a un asse fisso

I punti fermi o asse di rotazione sono punti fissi e quindi possono essere utilizzati come poli per il calcolo dei momenti. L’asse di rotazione può essere esterno al corpo e il centro di massa non è detto sia un punto dell’asse stesso. In una direzione fissa, quella dell’asse di rotazione, il momento è invariante nel tempo, e si usa come versore della rotazione. Se ω è valido, l’accelerazione angolare α = dω/dt ≠ 0 parallelo all’asse di rotazione. Quando non completamente coincidente, un corpo ha un asse immaginario e l’asse di rotazione all’ultimo istante.

La velocità v' = ωr = u_ωr, l’accelerazione α misurabile è composta. momento d'inerzia asse di rotazione. L'asse z è l'asse di rotazione, sarà quindi parallelo a z. Il raggio vettore r_i del punto i formal'angolo θ con l'asse z e un angolo Π/2 con v_iR_i = Risenθ. Il momento angolare di P_i rispetto al polo O è: L_i = r_i x m_iv_i ortogonale al piano individuato da r_i. L_i forma un angolo Π/2-θ con z. Il suo modulo è L_i = m_i v_i r_i = m_i r'_i R_i. Calcoliamo la proiezione di L_i su z ovvero il momento angolare assiale: L_iz = L_i cos(Π/2-θ) = L_isenθ = m_iv_ir_i senθR_iω = m_ir'_i ²ω. Il momento angolare del corpo L = ∑L_i la proiezione di L su z su: L_z = ∑L_iz = (∑m_iR_i ²)ω = I_zω momento inerzia. I_zz = ∑m_iR_i ² - ∑m_i(x_i²+u_i²).

I_zz ≠ ∫_Hdm R_i ² = ∫ R_i ²dV. La componente del momento angolare rispetto all'asse di rotazione è proporzionale alla velocità angolare e dipende, tramite il coefficiente I_zz, sia dalla forma del corpo è dalla posizione dell'asse rispetto al corpo. Quando l'asse inezia, e l'asse di simmetria del corpo, il momento angolare risulta perfettamente parallelo all'asse (perché il L_x e L_y si annettanorispetto all'asse cercato il loro sistema risultante è parallelo.

Teorema di Huygens-Steiner

Il momento d'inerzia di un corpo di massa m rispetto ad un asse che stia a una distanza d dal centro di massa del corpo è dato da: I = I_c.m + m d². Il momento d'inerzia del corpo rispetto a un asse parallelo al primo e passante per il centro di massa.

Dimostrazione

Consideriamo due assi z e z' paralleli e distanti d. L'asse z' passa per il centro di massa. Le relazioni tra le coordinate: x = x' y = y₁ + d z = z'. Il momento d’inerzia di un generico punto P rispetto all’asse z' è dato da: I_z' = ∑m_i(x'_i² + y'_i²). Sostituendo e sommando tutti i punti: I_z = ∑m_i(x_i² + y_i²) = ∑m_i[x'_i² + (y'_i + d)²] = ∑m_i(x'_i² + y'_i² + d² + 2d y'_i) = ∑m_i(x'_i² + y'_i²) + ∑m d² + 2d ∑m_i y'_i. Momento di inerzia del corpo rispetto a z' md² ∑m_i y'_i = 0 (perché il centro di massa del sistema nel centro di massa quindi è nullo) → I_z = I_z' + md².

Teorema di H.S e Teorema di König

Energia cinetica di rotazione: E_K = ∑_i m_iv_i² = ∑_im_iR_i²ω² = 1/2 I_zω². Applichiamo il teorema di Huygens-Steiner E_K = 1/2(I_c.M + md²) ω² = 1/2 I_c.Mω² + 1/2 md² ω². E_K = 1/2 I_c.Mω² + 1/2 m (v_ari)². v_ari è la velocità del centro di massa che percorre una traiettoria circolare durante la rotazione rispetto all’asse z.