Continuità e Derivabilità Analisi 1

ESEMPI DI FUNZIONI CONTINUE IN UN GENERICO PUNTO ASSEGNATO

Si dica se la funzione funzione è continua nel punto

 2

y=x

x=5 ( )=f ( )

lim f x x

Poiché si può dire che la

0

x → x

2 =25

lim x 0

funzione

x→ 5

( ) =25

f 5 sarà continua nel punto x=5

2

y=x

Si dica se la funzione funzione è continua nel

 (3

y=log x−2)

punto x=3 ( )=f ( )

lim f x x

Poiché si può dire che la

(

lim log ⁡ 3 x−2)=log 7 0

x → x 0

x→ 3 funzione

( ) =log

f 3 7 sarà continua nel punto x=3

(

y=log ⁡ 3 x−2)

QUANDO UNA FUNZIONE NON È CONTINUA IN UN PUNTO

(discontinuità)

Una funzione NON continua, graficamente, è una funzione che quando

viene disegnata necessita che si “stacchi la mano dal foglio”.

In modo formale, per logica e in base a quanto detto nel paragrafo di

sopra si dice che: ( ) ( )

quando lim f x ≠ f x

Una funzione non è continua in un punto 0

x →x 0

In questo caso, in quel punto in cui la funzione non è continua, si avrà un

PUNTO DI DISCONTINUITA, che può essere di tre tipi:

PUNTO DI DISCONTINUITA’ ELIMINABILE

è un punto di discontinuità eliminabile

x se

0 ( )=l ( )

lim f x ≠ f x

esiste finito 0

x → x 0

PUNTO DI DISCONTINUITA’ DI PRIMA SPECIE

è un punto di discontinuità di prima specie

x 0 ( ) ( )

f x ≠ lim f x −¿

x → x 0

se esistono finiti +¿ ¿

x→ x 0

¿

lim

¿

PUNTO DI DISCONTINUITA’ DI SECONDA SPECIE

è un punto di discontinuità di seconda

x 0 ( ) ( )

f x oppure lim f x −¿

x→ x 0

specie se è infinito o

+¿ ¿

x→ x 0

¿

lim

¿

ESEMPI DI FUNZIONI NON CONTINUE IN UN PUNTO CON IDENTIFICAZIONE

DEL TIPO DI DISCONTINUITA’

Si dica se la funzione indicata sia continua nel punto x

 0

indicato. Qualora non fosse continua in quel punto

identificare di che tipo di discontinuità si tratta

sinx

x ¿ =0

x

( )=¿

f x 0

se x ≠ 0

0 se x=0=0

Valuto se f è continua:

sinx f non è continua in x=0



( ) ( )=0

=lim =1

lim f x ⁡ ≠ f 0

x

x→ 0 x→ 0 ( )=l ( )

lim f x ≠ f x

Allora poiché esiste finito , avrò un punto di

0

x →x 0

discontinuità eliminabile

Si dica se la funzione indicata sia continua nel punto x

 0

indicato. Qualora non fosse continua in quel punto

identificare di che tipo di discontinuità si tratta

¿ x∨¿

x ¿ =0

x

( )=¿

f x 0

¿

0 se x=0=0

Valuto se f è continua:

x

−¿ =−1

x → 0 ¿ ∨¿

x

¿ ¿

1≠ lim

¿ f non è continua in x=0



¿ ¿

x∨¿ x

+¿

x → 0 ¿

¿

lim

¿ ( ) (x )

f x ≠ lim f −¿

x → x 0

Poiché +¿

esistono finiti , avrò un punto di discontinuità di

¿

x→ x 0

¿

lim

¿

prima specie

Si dica se la funzione indicata sia continua nel punto x

 0

indicato. Qualora non fosse continua in quel punto

identificare di che tipo di discontinuità si tratta

1

x

e se x ≠ 0 ¿ =0

x

( )=¿

f x 0

0 se x=0=0

Valuto se f è continua:

¿+∞ ¿

≠ lim 0

1

−¿ x

x →0 e f non è continua in x=0



1

+¿ x ¿

x→ 0 e

¿

lim

¿ +¿ ( ) =+∞

x → x f x

0

è un punto di discontinuità di seconda specie perchè

x=0 ¿

lim

¿

Quello appena analizzato è un caso di discontinuità unilaterale: f è

continua solo da sinistra

1

−¿ x ( )=0

=0=f

x → 0 e 0

perché ¿

lim

¿

QUANDO UNA FUNZIONE È DERIVABILE IN UN PUNTO

(derivabilità)

Una funzione derivabile in un punto, graficamente, è una funzione per cui

nel punto di derivabilità se si disegna la tangente questa è unica, non ci

sono due tangenti diverse da destra e sinistra.

Per esempio, analizzando la derivabilità graficamente nella funzione

nel punto x=0 notiamo che la tangente è unica:

2

y=x

Per esprimersi formalmente sulla derivabilità di una funzione si utilizza un

teorema, detto LIMITE DELLA DERIVATA E DERIVABILITA’ che

dividiamo in due parti:

LIMITE DELLA DERIVATA

[

Sia e sia f continua e derivabile in tutto l’intervallo

)

f : a , b → R

( )

a , b +¿ (x)

x → a f '

Allora, verificate queste ipotesi e verificando se esiste ¿

lim

¿

+¿ (x)

x → a f '

+¿=lim ¿

allora si può affermare che ¿

f ' ¿

−¿ (x)

x → a f '

e viceversa se esiste allora si può affermare che

¿

lim

¿

−¿ (x)

x → a f '

−¿=lim ¿

¿

f ' ¿

DERIVABILITA’ QUANDO UNA FUNZIONE È DERIVABILE



Se prendo una funzione definita in un intervallo meno un punto,

se esistono finiti il limite destro e sinistro della derivata in quel

punto, allora la funzione è derivabile (sempre in quel punto)

QUANDO UNA FUNZIONE NON È DERIVABILE IN UN PUNTO

(derivabilità)

NON DERIVABILITA’ QUANDO UNA FUNZIONE NON È DERIVABILE



Una funzione non è derivabile in un punto quando la derivata

destra e sinistra o non sono uguali o una delle due o entrambe

sono infinito

Si studiano quindi i PUNTI DI NON DERIVABILITA’ , che possono essere di

tre tipi: PUNTO ANGOLOSO

è un punto angoloso

x se esistono finite

0 −¿ (x )

0 '

+¿(x )≠

Se la derivata

f destra e sinistra

¿

0

'

f

sono diverse ed esistono ¿

finite, vanno come a formare “un

angolo” e per tale motivo il punto di discontinuità

ha quel nome.

PUNTO DI FLESSO A TANGENTE VERTICALE

è un punto di flesso a tg verticale

x se esistono e

0 ( ) ( )

−¿ =+∞ −¿ =−∞

x x

0 0

' '

( ) ( )

sono infinite oppure

+¿ =f +¿ =f

x x

¿ ¿

0 0

' '

f f

Possiamo intuire che si ha un

¿ ¿

punto di flesso a tangente verticale con questo

ragionamento: la derivata prima mi indica il coefficiente angolare; noi

abbiamo fatto la derivata destra e sinistra in un

punto e cioè abbiamo trovato i due coefficienti delle

tangenti in quel punto, che sono o + o - . E quindi

∞ ∞

la retta tangente è verticale perché generalmente le rette con

coefficiente angolare infinito sono verticali.

PUNTO DI CUSPIDE

è un punto di cuspide

x se esistono e sono infinite

0 ( ) ( )

+¿ =+∞ −¿ =−∞

x x

0 0

e

' '

f f

¿ ¿

oppure

( ) ( )

+¿ =−∞ −¿ =+∞

x x

0 0

e

' '

f f

¿ ¿

ESEMPI DI FUNZIONI IN CUI STUDIARE IL PUNTO DI NON DERIVABILITA’

INDICATO

| |

 ∈x =0

y= x 0 quindi la derivata destra e sinistra della funzione, ma

Calcolo

prima devo calcolarmi la derivata.

Per calcolare la derivata bisogna prima sapere che scrivere |x| è

√

equivalente a scrivere e quindi vado a derivare quest’ultima

2

x

forma

¿ x∨¿

1 x

' =

y ∙2 x= ¿

√ 2

2 x

posso svolgere la derivata destra e sinistra

Ora

x

(¿ )=1

| |

x x=0 punto angoloso

+¿ ¿

x → 0

( )=lim

+¿ ¿

0 ¿

'

f ¿

x

(¿ )=−1

| |

x −¿ ¿

x → 0

( )=lim

−¿ ¿

0 ¿

'

f ¿

 √

3 ∈x =0

y= x 0 quindi la derivata destra e sinistra della funzione, ma

Calcolo

prima devo calcolarmi la derivata.

1

' =

y √

3 2

3 x posso svolgere la derivata destra e sinistra

Ora x=0 puntodi flesso a tg verticale