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Consolidamento delle strutture - Appunti Appunti scolastici Premium

Appunti dell'esame di Consolidamento delle strutture del professor Verderame, tutto il programma.
Contenuti:
Quadro normativo inerente l’analisi degli edifici esistenti e il progetto degli interventi di rinforzo.
Analisi e diagnosi dei dissesti di natura statica e sismica nelle costruzioni in c.a. e in muratura.
Indagini distruttive e non distruttive per caratterizzare la resistenza... Vedi di più

Esame di Consolidamento delle strutture docente Prof. G. Verderame

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ESTRATTO DOCUMENTO

D

1) Si determinano le sollecitazioni flessionali ( ) nelle sezioni di

i

estremità di tutti gli elementi della struttura inviluppando i risultati delle 8

combinazioni sismiche del tipo:

G1+G 2+0,3 Q k E 1+0,30 E 2

+ ;

2) Si valutano, note le dimensioni geometriche, le caratteristiche dei materiali e

i quantitativi di armatura presenti, le resistenze flessionali nelle sezioni di

C

estremità degli elementi primari ( ), valutate con lo sforzo normale

i

relativo alle condizioni di carico gravitazionali, considerando le capacità dei

materiali ridotte del fattore di confidenza

3) Si calcola il rapporto � tra la sollecitazione flessionale e la resistenza a

i

flessione nelle sezioni di estremità di ogni elemento della struttura →

D i

ρ =

i C i

4) Si definiscono il � e � per la Circolare 617/2009 (considerando tutti i

max min

� ≥2 e per l’EC8 considerando tutti i � >1)

i 3 i

ρ max

5) Si effettua il rapporto per entrambi i casi (Circ. ed EC8 ). Se tale

ρ 3

min

valore risulta minore o uguale a 2,5 , la prima condizione di applicabilità è

soddisfatta.

② Assenza di crisi fragili : La seconda condizione di applicabilità prevede

che la capacità C degli elementi/meccanismi fragili (meccanismi di taglio di

i

travi, pilastri, pareti e nodi) deve essere maggiore della corrispondente

domanda D , quest’ultima valutata sulla base della resistenza degli elementi

i ρ

duttili adiacenti (taglio plastico) se il degli elementi/meccanismi fragili è

i ρ

maggiore di 1, oppure sulla base dei risultati dell’analisi se il degli

i

elementi meccanismi/fragili è minore di 1.

D V

i sollec

ρ = = <1

i C V

i resist

ρ ρ>1

RIC: si calcola prima con la sollecitazione dell’analisi → se , allora si

ρ

ricalcola utilizzando il taglio plastico (taglio valutato a partire dalle resistenze

degli elementi duttili adiacenti), altrimenti si utilizza il taglio del software

* Questa condizione evidenzia la necessità che non vi siano crisi fragili.

Tale circostanza conduce ad una frequente inapplicabilità del metodo → risulta

infatti molto improbabile che in un edificio esistente in c.a. tutti gli elementi

trave, pilastro e nodo non evidenzino problemi taglianti (se per la trave è

possibile ipotizzare un’esplicita progettazione a taglio, lo stesso non può dirsi

dei pilastri, che spesso presentano solo i minimi di armatura trasversale, e

ancor meno per i nodi, in genere non dimensionati per un’azione tagliante e nei

quali spesso c’è la completa assenza di staffe) → non avrebbe senso

consolidare la struttura se gia ci fosse l’assenza totale di crisi fragili

* L’EC8 esclude tale condizione, poichè si prevede che le crisi taglianti in fase

di adeguamento verranno sicuramente eliminate, e quindi non possono essere

considerate come limitanti per l’applicabilità dell’analisi.

In pratica, seppur la prima condizione risulti molto più stringente

nell’Eurocodice, la possibilità di non considerare la seconda condizione rende la

metodologia più facilmente applicabile.

• Ricapitolando, nella valutazione della seconda condizione di applicabilità:

D

1) Si determinano le sollecitazioni taglianti ( ) in ogni sezione di estremità

i

degli elementi primari; Se � >1 si fa corrispondere la

i

sollecitazione tagliante al taglio plastico (valutato secondo gli schemi di trave

appoggiata – appoggiata), se � <1 si considera il taglio sollecitante relativo alle

i

analisi effettuate con il software;

C

2) Si valuta il taglio capace ( ) secondo i seguenti 3 modelli:

i

θ

- Ritter-Mörsch con cotg =1

- Traliccio ad Inclinazione Variabile

- EC8 –Part3

3) Nelle sezioni di estremità di ogni elemento si valuta che la capacità tagliante

D V

i sollec

ρ = = <1

sia maggiore della domanda tagliante → i C V

i resist

Si otterranno dunque tre diseguaglianze per ogni sezione di estremità delle

travi e sei per ogni sezione di estremità dei pilastri.

Verifica

∎ : dopo aver verificato l’applicabilità dell’analisi, c’è la fase di verifica

(Displacement-based):

Elementi duttili

1) : la verifica degli elementi duttili è eseguita confrontando

gli effetti indotti dalle azioni sismiche in termini di deformazione (rotazioni) con

i rispettivi limiti di normativa (rotazione ultima) in entrambe le direzioni x e y →

saranno quindi valutati i valori delle rotazioni nelle sezioni di estremità degli

elementi (estrapolate dal software), e infine questi valori saranno confrontati

con i valori di rotazione ultima, calcolati con una formula sperimentale.

• Capacità (Rotazione ultima): la sollecitazione (domanda) sarà confrontata

θ

con 3/4 con valori medi delle resistenze dei materiali divisi per il fattore di

um

confidenza FC:

in cui:

f resistenza cilindrica a compressione del

c

calcestruzzo;

f tensione di snervamento delle barre trasversali;

yw

L luce di taglio, ossia la distanza tra l’estremità

V della trave e il primo punto di nullo del

diagramma del momento ;

ω = A f /(bhf ) percentuale meccanica di armatura longitudinale

s y c in trazione (b, h = base ed altezza della sezione);

ω' = A’ f /(bhf ) percentuale meccanica di armatura longitudinale

s y c in compressione (b, h = base ed altezza della

sezione);

� è la percentuale di eventuali armature diagonali in

d ciascuna direzione;

N

ν = è lo sforzo assiale normalizzato agente su tutta la

A ∙ f

C c sezione A ;

c

2

( )

s s Σ b

( )( )

h h i

α 1− 1− 1−

= fattore di efficienza del confinamento;

2 b 2 h 6 h b

0 0 0 0

A sx

ρ = è la percentuale di eventuali armature diagonali

sx b s

v h in ciascuna direzione

• Domanda (rotazioni alle estremità): le rotazioni alle estremità vanno

estrapolate dall’analisi Si dovrà dunque verificare che:

θ θ

>3/4

SAP , x um

θ 3/4 θ

>

SAP , y um

Elementi fragili

2) : la verifica degli elementi fragili viene eseguita

confrontando gli effetti indotti dalle azioni sismiche in termini di forza con le

rispettive resistenze → in particolare, i tagli sollecitanti (domanda) coincidono

V M

col taglio plastico , valutato a partire dalle resistenze flessionali ( )

p Rd

degli elementi adiacenti, calcolate utilizzando i valori medi dei materiali

amplificati per il Fattore di Confidenza, mentre i tagli resistenti (capacità) sono

valutati secondo i 3 modelli di taglio (Ritter-Morsh, NTC, ETC), utilizzando i

valori medi dei materiali divisi per il Fattore di Confidenza e i coefficienti

γ

parziali D V

i pl

ρ= = <1

C V

i r V

• Domanda (taglio plastico): Il taglio plastico va calcolato attraverso

p

una schematizzazione di trave appoggiata-appoggiata, per le 5 diverse

combinazioni (considereremo come taglio quello massimo dovuto alle 5

combinazioni), amplificandolo per FC per tenere conto del fatto che c’è

un’incertezza sui materiali, dunque il taglio potrebbe essere maggiore (inoltre,

così facendo siamo a vantaggio di sicurezza).

M r−¿

r ∙ FC ql/2

+¿+ +

L M ¿

V =¿

pl

• Capacità (Taglio resistente): il taglio resistente va valutato secondo i 3

diversi modelli di taglio (Ritter-Morsh, NTC e ETC), utilizzando le proprietà

f ,f

medie dei materiali ( ) e dividendole sia per il FC, sia per i coefficienti

cm ym

γ

parziali di sicurezza f f

cm ym

;

FC γ FC γ

( )

c s

2- Analisi Lineare con Fattore di Struttura q

L’analisi dinamica con fattore q è un approccio Forced-based che utilizza lo

spettro di progetto, ottenuto dalla riduzione delle ordinate spettrali dello

spettro elastico attraverso un fattore di struttura q adatto agli edifici esistenti

(del tutto analogo per impiego a quello utilizzato per le strutture di nuova

progettazione).

Tale metodo può essere applicato solo allo SLV, mentre non può essere

applicato allo SLC

La caratteristica principale delle analisi lineari con fattore di struttura è che non

presentano alcuna condizione di applicabilità (perciò utilizzata anche se

presenta molte incongruenze)

• Scelta del fattore di struttura q: la scelta del valore di q da adottare per

edifici esistenti rappresenta un problema ancora aperto, e ci sono diverse

incongruenze nelle Normative:

① NTC: per gli elementi duttili il fattore di struttura q va scelto nell’intervallo

[1,5; 3] in base a:

- Regolarità in elevazione e pianta → se non regolare in elevaz. viene

K =0,8

moltiplicato per - Tassi di lavoro dei materiali sotto

r ν

le azioni sismiche (quindi nei pilastri)

E’ possibile adottare valori più elevati, però il progettista deve giustificare la

scelta fatta in base alla duttilità disponibile a livello locale e globale.

Invece per elementi fragili, il fattore di struttura q è unico e si pone pari a 1,5

* In fase di verifica la NTC riporta le seguenti procedure da applicare:

- Gli elementi duttili devono soddisfare la condizione che la sollecitazione

indotta dall’azione sismica ridotta (dal fattore di struttura q scelto) sia inferiore

o uguale alla corrispondente resistenza, in termini di Momento.

- Gli elementi fragili devono soddisfare la condizione che la sollecitazione

indotta dall’azione sismica ridotta (da un fattore di struttura q = 1,5) sia

inferiore o uguale alla corrispondente resistenza, in termini di Taglio

Dunque la NTC ci impone di considerare 2 valori distinti del fattore di struttura

q, uno relativo ai meccanismi fragili (1,5) e un altro relativo ai meccanismi

duttili (che al massimo, in caso di bassa duttilità globale e locale, possono

coincidere ed essere pari ad 1,5). Nel nostro caso abbiamo utilizzato 1,5 per

meccanismi fragili (come da norma), e q = 2,4 per i meccanismi duttili

(abbiamo scelto 3, poi decurtato da 0,8 a causa della non regolarità in

elevazione dell’edificio) → Una volta scelti i 2 fattori di struttura q si ricavano 2

spettri di risposta di progetto (dallo spettro elastico), e in base ad essi si

ricavano le sollecitazioni flessionali e taglianti; L’approccio è force-based,

infatti le verifiche vengono effettuate in termini di Forze. (VERIFICHE MOLTO

CAUTELATIVE)

② EC8: L’eurocodice suggerisce di utilizzare il valore q 1,5 sia per gli

elementi/meccanismi duttili che per quelli fragili, in assenza di controlli sulla

duttilità locale e globale che giustifichino valori maggiori (che in ogni caso

vanno valutati in maniera coerente alle indicazioni per le nuove costruzioni).

• Considerazioni: sono evidenti alcune perplessità sull’adozione delle analisi

lineari con fattore di struttura svolte secondo le indicazioni delle normative:

1) Se le sollecitazioni taglianti sono valutate dall’analisi con q = 1,5, nella

maggior parte dei casi queste ultime eccederanno in maniera significativa il

valore del taglio plastico, che rappresenta il massimo taglio che realisticamente

può verificarsi sugli elementi → ciò può condurre ad un sovradimensionamento

dell’adeguamento per problemi taglianti.

Sarebbe molto meglio adottare un fattore di struttura q = 1 (poichè gli elementi

fragili non hanno duttilità) e un approccio di verifica analogo a quello adottato

nell’analisi lineare con spettro elastico per i meccanismi fragili, valutando

dunque il taglio plastico dalla resistenza degli elementi duttili adiacenti,

ottenendo così delle sollecitazioni taglianti realistiche per il dimensionamento

dell’adeguamento.

2) Ci sono grossi dubbi sulla valutazione del giusto fattore di struttura q da

dover utilizzare, in base alla duttilità globale e locale → sarebbero necessarie

indicazioni che possano correlare l’approccio progettuale utilizzato all’epoca di

costruzione con la tipologia di meccanismo di crisi, e dunque con il fattore di

struttura più corretto da adottare (dovrebbe essere scelto in base al

meccanismo di crisi).

3) E’ un metodo molto cautelativo: L’analisi con fattore di struttura q è adatta

agli edifici di nuova progettazione, mentre per gli edifici esistenti noi cerchiamo

un metodo che non sia conservativo, ma che presenti il margine di errore più

ristretto possibile rispetto al reale comportamento dell’edificio → non è

applicabile.

Inoltre è stato osservato che anche per edifici di nuova progettazione l’analisi

con fattore di struttura risulta eccessivamente cautelativa (da un confronto con

l’analisi statica non lineare risulta che i valori di q dovrebbero essere molto più

alti)

Dunque nell’ipotesi di non poter utilizzare l’analisi lineare con spettro elastico

quale metodo di verifica (per la mancata verifica delle condizioni di

applicabilità), la soluzione più adeguata sarebbe eseguire un’analisi statica non

lineare, anche se ciò può condurre ad un incremento di costi dovuto all

approfondimento della campagna di indagini per raggiungere un livello di

conoscenza adeguata LC2 (necessario per applicare l’analisi statica non

lineare).

4) I metodi force-based presentano un grosso problema → considerano gli

elementi duttili allo stesso modo degli elementi fragili nelle verifiche, perchè su

essi si fanno lo stesso verifiche di resistenza (momento), perdendo di vista il

fatto che essi presentano una certa duttilità, quindi raggiunto il momento

plastico, essi continueranno a deformarsi senza però collassare.

Questa grave mancanza nelle analisi con fattore di struttura potrebbe portare

alla realizzazione di interventi di consolidamento finalizzati all’incremento di

resistenza, trascurando le strategie finalizzate all’incremento di duttilità, con

tutti i problemi che ne conseguono (interventi più invasivi, necessità di

intervenire anche sulle fondazioni...)

Considerazioni sulla rigidezza degli elementi nei modelli lineari

∎ :

Risulta necessario confrontare le indicazioni della Normativa italiana NTC e

dell’Eurocodice EC8 in termini di rigidezza da assumere, perchè tali indicazioni

possono avere un notevole impatto sulla risposta valutata con le analisi lineari.

Ricordiamo che nelle analisi non lineari si tiene conto degli effetti di non

linearità dei materiali nella modellazione (il percorso si valuta passo passo), e

non è necessario fare delle ipotesi su un’unica rigidezza (non essendo questa

necessariamente unica), mentre nelle analisi lineari è necessario effettuare

assunzioni consistenti sul valore di rigidezza più rappresentativo degli elementi,

che conducano ad una risposta sismica lineare più realistica possibile.

• NTC: Suggerisce la necessità di considerare gli elementi in c.a. come fessurati

nella modellazione, tenendo debitamente conto dell’influenza della

sollecitazione assiale (che riduce la rigidezza) In base a

questa considerazione dunque la rigidezza può essere ridotta fino al 50% della

rigidezza dei corrispondenti elementi non fessurati, in assenza di analisi più

specifiche → Quindi il progettista, a sua discrezione, può assumere una

riduzione della rigidezza che va dallo 0% al 50%

• EC8: Indica che la rigidezza da adottare nelle analisi deve essere pari a quella

in fase di snervamento (cioè a fessurazione avvenuta), quindi, in mancanza di

specifiche valutazioni, va assunto un valore pari al 50% della rigidezza

dell’elemento corrispondente non fessurato.

*Confronto NTC-EC8: Le indicazioni della NTC e dell’EC8 sembrano molto simili

ma in realtà differiscono sostanzialmente, poichè nell’NTC il 50% della rigidezza

non fessurata costituisce il limite superiore di degrado da poter considerare,

mentre nell’EC8 il 50% è il valore da assumere in ogni caso (in assenza di

maggiori approfondimenti) → I risultati sperimentali danno ragione all’EC8, e

mostrano infatti che la rigidezza allo snervamento presenta degradi anche

superiori ad una riduzione del 50% della rigidezza non fessurata

• Normativa Americana: recenti test sperimentali effettuati in America hanno

permesso di approfondire la problematica relativa alla rigidezza più corretta da

assumersi → La normativa americana infatti

sostiene che una riduzione del 50% della rigidezza sia addirittura troppo

ν

conservativa per elementi il cui sforzo normale adimensionalizzato ( ) sia

molto basso, cioè compreso tra 0 e 0,3 (può arrivare fino a 0,30EI non fess)

Alla luce di queste diversità di pensiero sull’argomento, sembra che l’approccio

più ragionevole nella modellazione di edifici esistenti sia assumere una

decurtazione del 50% della rigidezza nelle analisi lineari, e viene sconsigliato

l’impiego di rigidezze non fessurate che porta a risultati troppo conservativi.

RIC: nel nostro progetto costruiamo 2 modelli SAP, uno con rigidezza non

fessurata (EI), e uno con rigidezza fessurata ridotta del 50% rispetto a quella

non fessurata (0,5EI)

ANALISI STATICA NON LINEARE

L’analisi statica non lineare consiste nell’applicare alla struttura, oltre ai carichi

gravitazionali, un sistema di forze orizzontali (distribuite ad ogni livello della

V

costruzione) proporzionali alle forze d’inerzia ed aventi risultante (taglio

b

alla base).

Tali forze sono scalate in modo da far crescere monotonamente lo spostamento

d

orizzontale di un punto di controllo (solitamente coincidente con il centro

c

di massa dell’ultimo impalcato), fino al raggiungimento delle condizioni di

collasso locale o globale → queste forze hanno il compito di “spingere” in

campo non lineare la struttura fino a portarla al collasso. d

Diagrammando l’andamento dello spostamento del punto di controllo al

c

V

variare del taglio alla base (risultante della distribuzione di forze) si

b

ottiene la “curva di capacità” detta anche “curva push-over”

∎ Obiettivi dell’analisi statica non lineare:

α /α

- Valutare il rapporto di sovraresistenza u 1

- Verificare l’effettiva distribuzione della domanda inelastica negli edifici

progettati con il fattore di struttura q

- Può essere un metodo di progetto per gli edifici di nuova costruzione

sostitutivo dei metodi di analisi lineari

- E’ il metodo più indicato per la valutazione delle capacità degli edifici esistenti

• Condizioni di applicabilità (NTC): anche l’analisi statica non lineare è una

metodologia approssimata, quindi presenta alcune condizioni di applicabilità →

infatti essa può essere utilizzata solo se è possibile applicare una delle 3

distribuzioni di forze principali (che prevedono delle condizioni di applicabilità):

- Il modo di vibrare fondamentale nella direzione considerata ha una massa

M 1 ° modo ≥ 75

( )

partecipante non inferiore al 75% → p

Questa condizione è associata alle prime 2 distribuzioni di forze principali

T

- Il periodo fondamentale della struttura deve essere superiore a →

c

T >T Questa condizione è associata alla

c

3 distribuzione di forze principali

- In ogni caso, il livello di conoscenza minimo per applicare l’analisi statica non

lineare è LC2

• Condizioni di applicabilità (EC8): L’EC8 rende l’analisi statica non lineare

molto più fruibile, poichè pone un’unica limitazione, che inoltre non è

vincolante (cioè l’analisi può essere applicata lo stesso, a patto che si tenga

conto dell’effetto dei modi superiori e che in ogni caso si accompagni ad essa

anche un’analisi dinamica non lineare):

- Il periodo del modo fondamentale di vibrazione deve essere inferiore sia a 4

T

volte , sia a 2sec

c T ≤ 4 T ; T ≤2 sec

c

* Le approssimazioni principali sono:

- La struttura è definita solo dal modo di vibrare principale → quindi questo

metodo di analisi è utilizzabile solo per costruzioni il cui comportamento (sotto

il sisma) è governato da un modo di vibrare naturale principale, caratterizzato

da una significativa partecipazione di massa.

L’analisi richiede infatti che al sistema strutturale reale ad n gradi di libertà

(MDOF) venga associato un sistema equivalente ad 1 grado di libertà (SDOF)

- La deformata rimane proporzionale a se stessa anche quando la struttura

plasticizza

Modellazione non lineare della struttura

① : al fine di svolgere l’analisi

statica non lineare, è necessario definire il comportamento non lineare della

struttura, attraverso la determinazione di un legame momento-rotazione (M -

θ ) per ogni sezione di estremità degli elementi.

Si modellano gli elementi attraverso una “modellazione a plasticità

concentrata”

Ved. Modelli di capacità rotazionale per la caratterizzazione della cerniera

plastica nello specifico

② Scelta delle distribuzioni di forze : Nell’analisi statica non lineare

devono essere considerate 2 differenti distribuzioni di forze per ciascuna

direzione principale (x e y), ciascuna applicata ai baricentri delle masse di

ciascun piano → la prima proporzionale alle masse, e la seconda proporzionale

al prodotto fra le masse e gli spostamenti del primo modo di vibrare;

Questo criterio nasce dal fatto che la distribuzione delle forze laterali deve

approssimare la distribuzione delle forze di inerzia reali durante il sisma →

alcuni confronti con analisi dinamiche non lineari hanno evidenziato che le

distribuzioni di forza proporzionali al I° modo approssimano meglio la risposta

dinamica fin quando la struttura rimane in campo elastico, mentre le

distribuzioni di forze proporzionali alle masse approssimano meglio la risposta

dinamica quando si raggiungono grandi deformazioni (campo plastico)

Quindi si considerano 2 distribuzioni di forze, in modo da ottenere 2

meccanismi di crisi e quindi ampliare la possibilità che il meccanismo reale

ricada nell’approssimazione effettuata.

Le 2 distribuzioni di forze devono ricadere necessariamente una nel gruppo 1

(distribuzioni principali), e la seconda nel gruppo 2 (distribuzioni secondarie):

• Gruppo 1 - Distribuzioni principali:

1.a) Distribuzione proporzionale alle forze statiche, applicabile solo se il modo

di vibrare fondamentale nella direzione considerata ha una partecipazione di

massa non inferiore al 75% ed a condizione di utilizzare come seconda

distribuzione la 2.a

1.b) Distribuzione corrispondente ad una distribuzione di accelerazioni

proporzionale alla forma del 1° modo di vibrare, applicabile solo se il modo di

vibrare fondamentale nella direzione considerata ha una partecipazione di

massa non inferiore al 75%

1.c) distribuzione corrispondente alla distribuzione dei tagli di piano calcolati in

un’analisi dinamica lineare, applicabile solo se il periodo fondamentale della

struttura è superiore a TC

• Gruppo 2 - Distribuzioni secondarie:

2.a) Distribuzione uniforme di forze, da intendersi come derivata da una

distribuzione uniforme di accelerazioni lungo l’altezza della costruzione (cioè

una distribuzione proporzionale alle masse)

2.b) Distribuzione adattiva, che cambia al crescere dello spostamento del punto

di controllo in funzione della plasticizzazione della struttura

Nel progetto abbiamo utilizzato:

• Per il gruppo 1 → Distribuzione 1.b) → Distribuzione proporzionale alla forma

del 1° modo di vibrare (MODAL)

• Per il gruppo 2 → Distribuzione 2.a) → Distribuzione proporzionale alle masse

(MASS)

Adesso ciascuna delle 2 distribuzioni scelte va applicata nelle direzioni

principali x e y, in entrambi i versi, ottenendo in questo modo 8 casi di analisi →

la verifica va effettuata per ciascun caso di analisi singolarmente (non si

combinano gli effetti perchè siamo in ambito non lineare):

RIC: data la simmetria in pianta dell’edificio nelle 2 direzioni principali, le analisi

sono indipendenti dal verso delle forze applicate, e sarebbe stato sufficiente

considerare un solo verso (il simmetrico è uguale ma di segno opposto).

③ Costruzione delle curve di pushover (MDOF) : Dopo aver scelto la

distribuzione di forze da adottare, facciamo partire l’analisi a controllo di

λ

spostamento → incrementiamo di un fattore il vettore delle forze

orizzontali applicato, e fissiamo un valore del parametro di controllo

d

(spostamento del baricentro dell’ultimo impalcato ) pari al 3% dell’altezza

c

della struttura (3%H) in corrispondenza del quale interrompere l’analisi.

In realtà bisognerebbe considerare anche lo spostamento in corrispondenza del

quale si ha la prima crisi a taglio (poichè anche quella è una condizione di crisi

della struttura), ma nel caso in esame non si tiene conto di ciò poichè i

problemi a taglio verranno risolti in seguito (nella fase di adeguamento)

NB: fissare un valore dello spostamento elevato (ad es. 5%) ci garantisce il

raggiungimento del meccanismo di crisi)

Quindi dall’analisi si ottengono le curve di Push-over (curve di capacità), che

per ciascuna distribuzione di forze descrivono l’andamento dello spostamento

d V

al crescere del taglio alla base (risultante della distribuzione di forze

c b

in esame):

④ Curve di capacità del sistema SDOF equivalente : al fine di

d

determinare la richiesta di spostamento ( ) per lo stato limite considerate,

max

è necessario passare da un sistema ad n gradi di libertà (MDOF) ad un sistema

equivalente ad 1 grado di libertà (SDOF);

Ciò ci permette di utlizzare le informazioni derivanti dagli spettri elastici

(costruiti per un modello SDOF) e quindi di calcolare le sollecitazioni a cui la

struttura deve essere in grado di resistere per i diversi stati limite.

Il sistema SDOF è ottenuto dividendo ascisse e ordinate delle curve di pushover

del sistema reale per il fattore di partecipazione del primo modo, per ciascuna

direzione principale: ∑ Φ

m i i

Γ = ∑ Φ 2

m i i

m

- → massa dell’i-esimo impalcato

i

Φ

- → spostamento adimensionalizzato dell’i-esimo impalcato relativo al

i

modo principale - La sommatoria al numeratore

rappresenta la massa equivalente del sistema SDOF

Quindi possiamo adesso costruire le curve di pushover relative al sistema

equivalente ad 1 grado di libertà attraverso una riduzione omotetica delle

V

curve MDOF → si dividono il taglio alla base e lo spostamento dell’ultimo

b

d Γ

impalcato per il fattore :

c V d

b c

¿ ¿

F ;d

= =

Γ Γ d

⑤ Bilinearizzazione : per la valutazione dello spostamento richiesto si

max

μ

utilizzerà la relazione R- -T, che è tarate su un sistema elasto-plastico ad 1

grado di libertà → di conseguenza, alla curva di pushover occorre sostituire una

curva bilineare elasto-plastica.

A tal fine si utilizza un procedimento basato sull’uguaglianza delle aree, che

risulta diverso a seconda della normativa presa in considerazione:

• Bilinearizzazione NTC: Si impone il passaggio del tratto elastico (bilineare)

F

per il punto 0,6 della curva di pushover;

bu ¿ d

F

Infine si valuta la forza di plasticizzazione (e il corrispondente )

y

y

tramite l’uguaglianza delle aree (criterio energetico), considerando come limite

della curva di pushover lo spostamento massimo pari ad una riduzione della

resistenza del 15% (se dotata di softening) → cosi facendo, la capacità di

dissipazione energetica in campo plastico del modello SDOF rimane uguale nel

modello bilineare equivalente ¿

F

• Bilinearizzazione EC8: si impone che la forza di plasticizzazione y

¿

F

coincida con la forza , e il tratto elastico si trova tramite il criterio di

max

uguaglianza delle aree (area trapezio = area sottesa alla curva nel tratto 0 -

¿

d )

m ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

k k pendenza minore → T → d d

( )

< >T >

RIC: (EC8 più conservativo)

EC8 NTC EC8 NTC EC8 NTC ¿

d

* La bilinearizzazione NTC è funzione dello spostamento ultimo , mentre

u

nell’EC8 la bilineare non dipende dallo spostamento scelto

• Valutazione rigidezza k e periodo T: adesso possiamo ricavare la

rigidezza k* del sistema bilineare equivalente ad 1 g.d.l, e di conseguenza il

periodo elastico T*, attraverso le relazioni:

¿ √

F ¿

m

y

¿ ¿

k T π

= =2

¿ ¿

d k

y ∑

¿ ϕ m

m

- è la massa generalizzata del sistema → (dipende dalla

i i

direzione in esame)

Ovviamente per ogni curva bilinearizzata (8) otterremo un valore di k* e un

valore di T*

⑥ Valutazione della richiesta di spostamento : dato che si tratta di un

modello ad 1 grado d libertà, risulta lecito utilizzare gli spettri in accelerazione

d

e spostamento al fine di individuare la domanda in spostamento max

associata ad una data azione sismica.

Entrando nello spettro di spostamento con il valore T* possiamo calcolare lo

T∗¿

spostamento elastico richiesto relativo allo stato limite considerato

d ¿

e

Lo spettro in spostamento si riferisce ad un oscillatore elastico, ma il sistema

equivalente ha un comportamento bilineare e quindi elasto-plastico → Per tener

conto di ciò si procede come segue:

μ

• Relazioni R- -T:

*

T T

c

- Se la risposta in spostamento del sistema anelastico è assunta uguale

a quella del sistema elastico di pari periodo (uguaglianza negli spostamenti).

( )

= =

* *

d d S T

max e , max De

*

d e , max

Il pedice “e” significa “elastico”, si riferisce quindi al modello elastico ,

*

d max

mentre è la domanda in spostamento del sistema equivalente bilineare.

<

*

T T

c

- Se la risposta del sistema anelastico è maggiore di quella di un sistema

elastico di pari periodo: *

d ( )

 

T

e , max

= + − ≥

* * *

c

d 1 q 1 d

 

max e , max

* *

q T

 

( ) ⋅

* *

S T m

=

* Ae

q *

F y

dove rappresenta il rapporto tra la forza del sistema elastico e la

*

q 1

forza di snervamento del sistema equivalente. In caso risulti allora si

=

* *

d d

max e , max

considera . ¿

d

Tale domanda in spostamento relativa al sistema ad 1 g.d.l deve essere

max

poi convertita nel modello della struttura reale (MDOF) → tale operazione si

Γ

effettua utilizzando nuovamente il fattore di partecipazione modale :

¿

d MDOF d

( )=Γ (SDOF)

max max

Adesso, tramite le curve Pushover, possiamo utilizzare la domanda in

d

spostamento del sistema reale (1 valore per ciascuna curva Pushover) →

max

Possiamo valutare quindi il punto rappresentativo dello stato limite considerato,

V

la cui ordinata rappresenta il taglio alla base relativo allo stato limite

b

considerato

d d

Noto , si valuta lo step in cui si raggiunge ed in corrispondenza di

max max

quest’ultimo si valutano le sollecitazioni in termini di taglio per gli elementi

fragili, e in termini di rotazioni per gli elementi duttili

RIC: per ogni distribuzione di forze (modal, mass) si ottengono diversi step di

d

attingimento di e quindi diverse sollecitazioni

max

MODELLI DI CAPACITA’ A TAGLIO

Il modello di capacità a taglio da assumere per gli elementi in c.a. rappresenta

una delle problematiche aperte dell’attuale normativa italiana, e uno dei motivi

per cui è stato necessario prevederne una revisione migliorativa.

Come vediamo, per le strutture in cemento armato di nuova progettazione le

prescrizioni da applicare sono chiare e concordanti tra NTC e EC8, mentre per

la valutazione della resistenza a taglio nelle strutture esistenti abbiamo una

situazione poco chiara, e sicuramente molto dissimile dall’approccio adottato

dall’EC8.

In seguito è proposta una ricapitolazione dei modelli adottati (sia dalla NTC che

dall’EC8), per le strutture in c.a. di nuova progettazione ed esistenti:

① Formulazione additiva D.M. 96 : il modello di traliccio ad inclinazione

variabile in realtà è un’evoluzione della formulazione additiva suggerita dal

V

D.M. 96, per la quale il taglio sollecitante doveva risultare non maggiore

sdu

della resistenza a taglio, data dalla somma del contributo del calcestruzzo

V (che non poteva superare il 50% della sollecitazione totale), e del

cd V

contributo relativo all’armatura trasversale (valutato secondo un modello

wd

alla Ritter-Morsch): V ≤ V V

+

sdu cd wd

V f b d δ ≤ 0,5V

=0,6

- → contributo del cls (al massimo pari a quello relativo

cd ctd sdu

agli elementi non armati a taglio)

0,9 d

V A f

= (senα +cosα )

- → contributo relativo all’armatura trasversale

wd sw yw s δ

dove il fattore è funzione dello sforzo normale:

1+ M 0 M

δ=

- → in presenza di sforzo normale di compressione. è il

0

M sdu

momento di decompressione riferito alla fibra estrema della sezione su cui

M

agisce , che è pari al momento agente massimo di calcolo nella regione

sdu M

in cui si effettua la verifica a taglio (da prendere almeno pari a )

0

δ =1

- → in assenza di sforzo normale

δ =0

- → in presenza di un apprezzabile sforzo normale di trazione

V

* Si può notare come il contributo di coincida proprio con la resistenza a

w θ

taglio di Ritter-Morsch (traliccio con cot = 1) → quindi sicuramente il

modello R-M è conservativo rispetto al DM96 (poichè in questo caso abbiamo

V V =0

anche il contributo di ) → se ⇒ DM96 = Ritter-Morsch

cd cd

* L’attuale normativa invece elimina l’approccio additivo del DM96, e tiene

θ

conto dei meccanismi resistenti del cls attraverso un valore della cot

variabile

② Formulazione di Biskinis - Modello EC8 : il modello proposto dall’EC8

per elementi esistenti è di tipo additivo, e tiene conto del degrado della

resistenza a taglio in funzione dell’impiego plastico dell’elemento e in funzione

della natura ciclica dell’azione sismica.

La relazione di Biskinis è valida solo per gli elementi strutturali che

raggiungono la crisi a taglio per rottura diagonale dell’elemento (cioè gli

elementi per i quali il meccanismo di resistenza a taglio è assimilabile al

θ

traliccio di Ritter-Morsch con inclinazione delle bielle compresse pari a 45°)

→ questo tipo di meccanismo è applicabile agli elementi non sottoposti a sforzi

normali (travi) o ad elementi snelli (mentre per quelli tozzi, ad es. pareti, l’EC8

fornisce un’altra formulazione sperimentale per il calcolo della capacità a

taglio);

Per stabilire se si tratta di un elemento snello o tozzo (e quindi per stabilire

quale relazione utilizzare) dobbiamo analizzare il rapporto tra la luce di taglio

L e l’altezza della sezione H:

v L v ≤2

- Se → elemento tozzo ⇒ si utilizza una Formula sperimentale

H

per elementi tozzi: ( )

1 4 N

( ) ( ) √

( )

V 1−0,02 min 5 ; μ 1+ 1,35 1+0,45 100 ρ min f ; 40 b zsen2δ

( ) ( ) ( )

=

EC8 Δpl tot c w

γ 7 A f

el c c

L v >2

- Se → elemento snello ⇒ si utilizza la Formula di Biskinis: (noi

H

utilizzeremo sempre qst) 1 [ ]

V V V

( )

= +k +V

r N c w

γ el V

Dunque per valutare la capacità a taglio occorre valutare:

r

- Il valore dello sforzo normale N della combinazione di carico sismico

L

- La luce di taglio , ovvero il punto di nullo del diagramma del momento

v M

L =

flettente, dalla relazione (Rapporto tra le sollecitazioni flessionali e

v V

taglianti nella sezione)

La procedura però può risultare molto lunga e dispendiosa, e inoltre la luce di

taglio non risulta essere una proprietà intrinseca dell’elemento, ma dipende dai

risultati dell’analisi e quindi va ricalcolata ogni volta che si esegue una nuova

analisi (tra l’altro la formazione delle prime cerniere plastiche conduce ad una

ridistribuzione delle sollecitazioni flettenti con conseguente traslazione del

punto di flesso) → Per questi motivi si assumono le seguenti semplificazioni:

L

- La luce di taglio si assume costante sull’elemento, ipotizzando una

v L

L =

distribuzione dei momenti con punto di nullo in mezzeria ⇒ v 2

- Lo sforzo normale N si assume pari al carico gravitazionale derivante da

combinazione sismica

* Studi condotti su un ampio campione di edifici in c.a. esistenti hanno

dimostrato che le verifiche condotte con le semplificazioni suddette conducono

a risultati accettabili per qualsiasi analisi.

Analizziamo i termini che compongono l’equazione di Biskinis:

( )

f

( )

1 h−x cm

V min N ; 0,55 A

= [ ]

• → è il contributo dello sforzo normale,

N c

γ 2 L FC γ

el v c

ovvero l’aliquota del taglio resistente dovuta all’effetto puntone.

γ

- → è il fattore parziale di sicurezza del materiale, assunto pari a 1,15 per

el

elementi sismici primari e 1,0 per elementi sismici secondari

- h → altezza della sezione

- x → è la profondità dell’asse neutro (per carichi gravitazionali)

L

- → Luce di taglio, assunta pari a L/2

v

* In realtà nei pilastri al primo piano questa approssimazione è poco accurata,

poichè non abbiamo vincoli simmetrici; Inoltre nelle travi è ancora meno

accurata poichè ci sono i carichi gravitazionali, quindi potrebbero variare le

armature e il diagramma di M (ed è ancora peggio per travi con luci molto

grandi)

- N → sforzo normale derivante dai soli carichi gravitazionali della combinazione

sismica

f cm

- → resistenza media del cls [MPa] divisa per il fattore di confidenza,

FC γ c

che per gli elementi primari deve essere divisa anche per il fattore parziale del

γ

calcestruzzo c

Considerazione: lo sforzo normale fa si che si crei un flusso di tensioni diagonali

nell’elemento, e quindi viene a crearsi un macro-puntone che offre una

resistenza a taglio

h−x

* Il termine indica l’inclinazione del macropuntone

2 L v f

( )

cm

0,55 A ν =0,55

Considerazione: il termine sarebbe → quindi andrebbe

c FC γ c

ν =0,55

preso il minore tra N gravitazionale e (difficilmente sarà il secondo il

minore, quindi consideriamo sempre N grav)

L f

( )

v cm

0,16 max ⁡ 0,5 ; 100 ρ min 5 ; A

( )[1−0,16 ]

tot c

h FC γ c

• → è il contributo del

1

V = ¿

C y el

calcestruzzo, cioè l’aliquota di taglio resistente che tiene conto

dell’ingranamento degli inerti, dell’effetto spinotto e dell’effetto arco

γ

- → è il fattore parziale di sicurezza del materiale, assunto pari a 1,15 per

el

elementi sismici primari e 1,0 per elementi sismici secondari

- h → altezza della sezione

L

- → Luce di taglio, assunta pari a L/2

v

f cm

- → resistenza media del cls [MPa] divisa per il fattore di confidenza,

FC γ c

che per gli elementi primari deve essere divisa anche per il fattore parziale del

γ

calcestruzzo c

ρ

- → è la percentuale geometrica di armatura longitudinale totale →

tot A sl ,tot

ρ = Dato che sono

tot A c

carichi ciclici non ha senso parlare di armatura tesa (poichè varia in

continuazione), quindi si considera tutta l’armatura longitudinale della sezione

come contribuente (effetto spinotto)

L v

- → indice di snellezza, indica quanto è influente “l’effetto arco” → per

h L v <2

elementi tozzi ( ) c’è un maggior contributo del cls, e tende ad andare il

h L v

crisi proprio il cls; al contrario, per elementi snelli ( >2) in genere va in crisi

h

l’armatura, a causa del minore contributo del cls

A A =b (h−c)

- → area della sezione di calcestruzzo ( )

c

c f

1 ym

V ρ b z

= [ ]

• → è il contributo delle armature trasversali

w w

γ FC γ

el s

γ

- → è il fattore parziale di sicurezza del materiale, assunto pari a 1,15 per

el

elementi sismici primari e 1,0 per elementi sismici secondari A sw

ρ

- → è la percentuale geometrica di armatura trasversale →

w sb

- z → braccio della coppia interna, pari alla distanza tra i registri d’armatura (h -

2c per pilastri e travi, 0,8h per pareti)

f ym

- → resistenza media dell’armatura trasversale, divisa per il fattore di

FC γ s

confidenza (e per gli elementi primari anche per il fattore parziale di sicurezza

dell’acciaio)

Considerazioni:

* La formula del contributo delle armature trasversali coincide con la resistenza

a taglio del modello di Ritter-Morsch (solo che non c’è 0,9d ma h-2c, ma la

differenza è poca) pl

k min ⁡ 5 ; μ

=1−0,05 ( )

• [0,75 - 1] → è il coefficiente di degrado anelastico

Δ

Considerazioni sul degrado ciclico: un elemento in c.a. (ad es. pilastro)

soggetto ad un carico ciclico laterale riduce la sua resistenza tagliante in modo

progressivo →

I meccanismi che provocano questo degrado sono di diverso genere, e quelli

principali sono: - La graduale riduzione

dell’ingranamento degli inerti lungo le fessure diagonali, i quali sotto l’azione

ciclica tendono a “levigarsi” perdendo di efficacia

- Il degrado dell’effetto spinotto, a causa dell’azione ciclica tagliante e

all’accumulo di deformazioni inelastiche nelle armature longitudinali.

- La formazione di fessure dovute ad azioni flessionali che provocano la

riduzione del contributo fornito dalla zona di compressione del cls alla

resistenza tagliante - La

riduzione dell’ingranamento degli inerti (punto 1) provoca inoltre scorrimenti e

accumuli di deformazioni inelastiche nelle staffe, modificandone l’aderenza

(l’hp. di perfetta aderenza tra acciaio e cls infatti si può assumere solo per

bassi livelli tensionali, mentre per livelli di carico significativi si verificano

scorrimenti all’interfaccio acciaio-cls che richiedono una ridefinizione della

legge aderenza-scorrimento più complessa)

- Il softening del puntone compresso di cls dovuto all’accumulo di tensioni

trasversali di trazione

I primi 4 fenomeni si riflettono sui meccanismi di resistenza tagliante del cls (

V ), mentre gli ultimi 2 si riflettono indirettamente sui meccanismi resistenti

c V

delle armature trasversali ( )

s

Inoltre, l’effetto degradante della resistenza tagliante degli elementi in c.a.

sotto azione ciclica è maggiore con la formazione di cerniere plastiche agli

estremi dell’elemento; in particolare, il degrado si manifesta maggiormente

negli elementi che arrivano a formare cerniere plastiche prima del

raggiungimento della resistenza ultima a taglio, poichè:

- La fessurazione dovuta all’azione flessionale tende ad intersecarsi con le

fessure diagonali di taglio, aumentandone lo spessore

- Aumenta il danneggiamento della zona compressa del cls, diminuendone lo

spessore (e quindi il suo contributo alla resistenza tagliante)

- Si ha una riduzione dell’effetto spinotto delle barre longitudinali snervate

- Nelle sezioni d’estremità la zona di compressione deve anche resistere agli

effetti del puntone diagonale del meccanismo a traliccio di resistenza a taglio

(danneggiamento maggiore)

V

La capacità a taglio dell’EC8 prende in considerazione proprio gli effetti

R

dovuti sia alla natura ciclica dell’azione sismica, sia alla possibile formazione di

cerniere plastiche agli estremi dell’elemento → tali fattori producono dunque un

effetto degradante della capacità a taglio all’aumentare delle deformazioni

cicliche inelastiche.

Si può dire dunque che le deformazioni plastiche sono un indice di degrado

(maggiori sono le deformazioni plastiche, maggiore sarà il degrado)

θ

La rotazione della corda è considerato il parametro più significativo per la

misura della deformazione dell’elemento strutturale → per questo motivo il pl

μ

coefficiente di degrado k viene assunto dipendente dalla “parte plastica” Δ

μ

della domanda di duttilità della rotazione di corda , fornita dalla seguente

Δ

relazione: θ θ −θ

pl r r y

μ =μ −1= −1=

Δ Δ θ θ

y y

θ r

μ =

in cui è la duttilità richiesta, data dal rapporto tra la rotazione

Δ θ y

θ θ

richiesta e la rotazione di snervamento

r y pl

μ

Quindi il massimo valore di parte plastica della domanda di duttilità si

Δ

θ

attinge in corrispondenza della rotazione ultima della corda (cioè quando

u

la rotazione richiesta è massima)

- Per pilastri fragili senza capacità deformativa in campo plastico (duttilità

pl

θ k

=θ =1

μ =0

nulla): ⇒ → (non

u y max

Δ

c’è degrado del taglio)

- Per pilastri con capacità deformativa in campo plastico (pilastri con una certa

pl

θ >θ μ ≥ 1

duttilità): ⇒ → k < 1 (ma la norma limita k al valore 0,75 che

u y Δ

pl

μ =5

corrisponde a , poichè è stato provato sperimentalmente che raggiunto

Δ k =0,75

questo limite la resistenza tagliante non degrada più) → min

V

Quindi la resistenza a taglio di un elemento soggetto ad un regime di

R

carichi ciclici in campo anelastico sarà sicuramente compresa tra un valore

massimo e un valore minimo (che sono entrambi funzione del parametro k):

V ≤ V ≤ V

R ,min R R ,max pl

V μ ≥ 5

=V +0,75(V +V )

- → si ottiene in corrispondenza di ⇒

R ,min N C S Δ

k =0,75 (infatti se il valore è maggiore di 5, la normativa

impone di utilizzare 5, poichè oltre questo valore la resistenza tagliante non

degrada più) pl

V k

=V +V +V μ =1

=0

- → si ottiene in corrispondenza di ⇒

R ,max N C S Δ

(Nessun degrado della resistenza a taglio)

pl ⇒k

μ =5 =0,75

RIC: Nel progetto assumiamo (valore minimo, a vantaggio di

Δ

sicurezza) θ

④ Modello di Ritter-Morsch (cot = 1)

: Schematizzazione strut and

tie (tiranti-puntoni)

Nel modello di Ritter-Morsch il traliccio è considerato l’unico meccanismo

resistente a taglio (si trascurano tutti i contributi del cls)

θ=1

Ponendo cotg , noto il passo e il quantitativo di armatura trasversale

presente negli elementi, si determinano, per ognuno di essi, la resistenza a

taglio-compressione V e la resistenza a taglio-trazione V , con le seguenti

Rcd Rsd

formule: ' 2

( )

V d b α f ctgα 1+ctgθ

( )

=0,9 +ctgθ /

Rcd W c cd

A sW

V d f ctgα sinα

( )

=0,9 +ctgθ

Rsd s yd

La resistenza a taglio si definisce come:

V ⁡ V ; V

=min ( )

Rd Rsd Rcd

* Nel nostro progetto ci troveremo quasi sempre nell’ipotesi di elementi

debolmente armati a taglio → il meccanismo di crisi dunque sarà sempre del

tirante d’acciaio: A sW

V d f ctgα sinα

( )

=V =0,9 +ctgθ

Rd Rsd s yd

* Utilizzando questo modello si sottostima enormemente il taglio resistente

(circa del 50% rispetto EC8 e anche di più rispetto al traliccio ad inclinazione

variabile)

Confronto tra i diversi modelli di capacità

∎ : Alla luce delle diverse

indicazioni normative si rende necessario effettuare una comparazione tra le

principali formulazioni di capacità utilizzate, sia per la progettazione di

elementi nuovi, sia per la valutazione di elementi esistenti, in quanto le

differenze possono avere un impatto rilevante sulla valutazione sismica (e sulla

classificazione degli elementi) → per questo motivo sono stati confrontate le 3

principali formulazioni, cioè modello additivo e degradante dell’eurocodice 8 (

V V

), modello a traliccio ad inclinazione variabile ( ) e modello a

EC8 NTC

V

traliccio di Ritter-Morsch ( )

45 °

La comparazione tra i diversi modelli viene effettuata tenendo conto delle

principali variabili che influenzano la capacità a taglio, facendo riferimento alle

formulazioni di capacità specifica (si ottengono dividendo le capacità a taglio

bH f

per ):

c { }

[ ]

V L f

( )

1 νH 16

EC8 v c

1−1,25 ν ρ 1−0,16 k

( )

= +(1−β ) +ω

:

• EC8 tot sv 1

bH f γ 2 L 0,9 H f

c el v y

V α

NTC c

k

=ω −1

• NTC: sw 2

bH f 2 ω

c sw

V 45 k

• Ritter-Morsch: sw 2

bH f c

0,9 H−c

( ) ≃

k , k 0,8

=

- → sono due coefficienti geometrici che si possono

1 2 H

assumere pari a 0,8

pl

β=0,05 min ⁡ 5 ; μ

( )

- → è la seconda parte del coefficiente di degrado, pari a 0

Δ

in assenza di degrado, e pari a 0,25 nell’ipotesi di massimo degrado V /V

Il confronto viene quindi eseguito attraverso le isocurve dei rapporti EC8 45

V /V

e , al variare della percentuale meccanica di armatura trasversale

EC8 NTC

ω ν

e dello sforzo normale adimensionalizzato , considerando inoltre 2

sw L H ρ

/ =0,01

valori del rapporto (5 e 3) e nell’ipotesi di (situazione tipica

v tot

del costruito esistente per carichi gravitazionali):

V /V

① Confronto :

EC 8 45

ω

- Per valori piccoli di la formulazione EC8 fornisce valori della capacità

sw

superiori a quelli forniti dal modello di Ritter-Morsch → per valori pari a [0-0,10]

(tipici degli elementi in c.a. esistenti) si può avere anche un incremento del

100% della resistenza tagliante (R-M troppo conservativo)

L H

/

- Al crescere del rapporto le due formulazioni risultano più paragonabili,

v

ma mediamente risulta sempre più elevata quella fornita dall’EC8

ν

- Al crescere dello sforzo normale adimensionalizzato , il rapporto

V /V cresce (i modelli diventano sempre meno paragonabili)

EC8 45 β=0,25

- Se adottiamo il modello EC8 con il massimo degrado ( ) allora i due

ω

ν

modelli risultano più confrontabili, soprattutto per bassi valori di e sw

ρ ρ

=0,01

- Le curve sono costruite per → all’aumentare di (dunque

tot tot

V /V

all’aumentare dell’effetto spinotto), il rapporto tende a crescere,

EC8 45 ω

diventando sempre maggiore dell’unità per valori medi di sw

In sintesi, l’adozione di un modello classico alla Ritter-Morsch risulta troppo

conservativa in un processo di valutazione dell’esistente, sia per elementi

β=0,25

caratterizzati da un elevato impegno plastico ( ), e ancora di più per

β=0

elementi senza alcun impegno plastico ( ); Invece

nell’ambito della progettazione, l’adozione di un approccio classico (come

previsto nelle zone critiche degli elementi in classe di duttilità alta) risulta

addirittura poco conservativa.

V /V

② Confronto :

EC 8 NTC

- La capacità fornita dall’EC8 risulta quasi sempre inferiore a quella calcolata

mediante il modello di traliccio ad inclinazione variabile, tranne che per ω

piccolissimi valori della percentuale meccanica di armatura trasversale ( sw

<0,05) ν

- Anche in questo caso, al crescere di , i due modelli diventano più

paragonabili, ma si ha sempre una prevalenza della capacità calcolata con il

traliccio ad inclinazione variabile

L H V

/ /V

- Al crescere del rapporto il divario si allarga ancora di più

v EC8 NTC

(capacità Traliccio molto maggiori di quelle dell’EC8, il rapporto può arrivare

ω

addirittura a 0,4 per >0,05)

sw β=0,25

- Ovviamente considerando il massimo degrado del modello EC8 ( ) il

V /V

rapporto diminuisce ancora di piu (la capacità dell’EC8 risulta

EC8 NTC

mediamente il 40-60% della capacità del traliccio ad inclinazione variabile)

* Considerazioni sui modelli da adottare per la valutazione:

In definitiva possiamo dire che:

- Il modello EC8 è il riferimento per la valutazione della capacità a taglio di

elementi in c.a. esistenti - Il modello di traliccio ad inclinazione variabile

rappresenta il riferimento per la progettazione, ed in ogni caso è da

considerarsi anche nella valutazione dell’esistente → però dobbiamo far

presente che la normativa italiana ritiene che non è possibile utilizzare tale

modello per la valutazione dell’esistente, poichè non si può valutare in maniera

θ

diretta il contributo del calcestruzzo che è incluso nella cot (la NTC

suggerisce di utilizzare formule additive che presentano la possibilità di

valutare in maniera diretta il contributo del cls ed eventualmente ridurlo).

Ciò è dovuto al fatto che la NTC si rifà al DM96 (che riportava la stessa

indicazione sulla formula additiva, poichè non esisteva il traliccio ad

inclinazione variabile), quindi si tratta di un refuso di normativa → il problema

sorge per il fatto che allo stato attuale la normativa italiana non adotta nessun

modello additivo

- Il modello di Ritter-Morsch è storicamente il primo modello tagliante, ed

inoltre è l’unico che consente di rispettare le indicazioni attualmente riportate

nella circolare (NTC), ma presenta una notevole conservatività (che non è

indicata per la verifica sismica dell’esistente)

* Considerazione sui modelli da utilizzare:

1) Per elementi di nuova progettazione, la NTC impone che in CD”A” in zona

cotθ=1

critica (ossia in zona dissipativa) si deve porre →questo accorgimento

riduce la resistenza a taglio, quindi tiene conto in maniera indiretta del degrado

della sezione.

Inoltre negli elementi di nuova progettazione le zone dissipative (cerniere

plastiche) sono definite a priori attraverso la gerarchia delle resistenze (ad es.

pilastro forte, trave debole):

2) Per elementi esistenti invece è impossibile definire a priori le zone

dissipative, quindi non è possibile definire a priori le richieste di duttilità → per

questo motivo risulta necessario adottare un modello che preveda il degrado

cotθ=1

(Formula di Biskinis) (è troppo conservativo )

MODELLI DI CAPACITA’ ROTAZIONALI -

ELEMENTI DUTTILI

La capacità degli elementi duttili va valutata in termini di deformazioni

(rotazioni), poichè in questi elementi è presente un ramo duttile, dunque la crisi

non avviene in corrispondenza della resistenza ultima, ma al raggiungimento

della rotazione ultima (massima deformazione che l’elemento può sopportare

prima del collasso) θ

Capacità elemento duttile ⇒ rotazione ultima u

RIC: La rotazione a cui facciamo riferimento è la rotazione di corda

dell’elemento

- Rotazione di corda → rotazione tra la tengente alla deformata (cioè l’asse

dell’elemento indeformato) e la corda dell’elemento deformato; è una rotazione

Δ

θ=

di elemento, differente dalla rotazione puntuale ⇒ L

- Corda dell’elemento deformato → retta congiungente l’estremità

dell’elemento deformato con la sezione di incastro

L

- Luce di taglio → distanza tra l’estremo dell’elemento e il punto di

v L =M /V

momento nullo, pari a v u

Comportamento flessionale

• : Consideriamo la risposta strutturale di una

mensola caricata da una forza F crescente, considerando solo i contributi

deformativi flessionali (trascuriamo la deformabilità tagliante e la deformabilità

dovuta allo scorrimento dell’armatura) Δ−F

Possiamo dunque costruire il diagramma della prova di carico a

spostamento controllato:

Adesso possiamo costruire in maniera analitica la distribuzione dei momenti

F L

M v

M L

=F χ= =

flettenti ( ) e delle curvature ( ) all’aumentare della forza

v EI EI

F: χ

Vediamo quali sono gli step caratteristici di evoluzione di M e della prova:

M χ

① → il momento alla base (momento massimo) raggiunge il valore di

cr cr

craking, al quale corrisponde il valore della curvatura di cracking;

La sezione comincia a fessurarsi, e il cls teso diventa inerte (se il legame cost.

del cls teso è fragile)

I diagrammi sono lineari (siamo ancora ovviamente in campo elastico) → la

E I

rigidezza è (cost)

1

M

χ= EI

Quindi → Diagramma delle curvature LINEARE con pendenza 1

EI 1 Δ

Possiamo calcolare adesso lo spostamento che si ha in corrispondenza di

cr

M (attraverso il PLV o ricordando gli schemi notevoli isostatici) →

cr 3

F l

cr

Δ =

cr 3 EI 1 2

F l χ l

cr cr

θ= Δ/ L θ = =

Quindi sapendo che →

v cr 3 EI 3

1

M

* Superato si ha una variazione di rigidezza, quindi cambia leggermente

cr

la pendenza del diagramma delle curvature, che presenta una cuspide (EI

minore, pendenza maggiore) → in realtà non è corretto valutare la rigidezza

EI M

della sezione come dopo il raggiungimento di poichè le sezioni

fess cr

non sono completamente fessurate, ma tra una fessura e l’altra c’è del

calcestruzzo reagente che fornisce ancora un’aliquota di rigidezza (tension

EI

stiffening), quindi la rigidezza non è (rigidezza secante allo yelding), ma

2

EI e EI

un valore intermedio tra 1 2

M M

>

* Il diagramma di non dovrebbe essere lineare, ma costituito da tante

cr

paraboline tangenti corrispondenti ai conci tra le 2 fessure (più rigidi delle

fessure ma meno rigidi del cls non fessurato) → considerando il diagramma

EI

delle curvature lineare con pendenza stiamo considerando il limite

2

superiore della distribuzione delle curvature

* L’incidenza di questo fenomeno dipende molto dalla tensione di aderenza del

cls (maggiore aderenza → fessurazione più diffusa)

M χ

② → facciamo crescere ancora F fino a raggiungere il valore di

y y M

snervamento , cioè il momento in cui la deformazione delle barre tese

y ε

raggiunge il valore di dell’acciaio, al quale corrisponde la curvatura di

y

χ

snervamento y Δ

A questo punto posso valutare lo spostamento con il PLV linearizzando il

y

diagramma (cioè trascurando la variazione di rigidezza che si ha con il

M

raggiungimento di ) → assumiamo dunque una rigidezza secante allo

cr

EI EI χ

=M /

yelding per tutto l’elemento ( )

y y y y

3 2

F L χ L

v y v

Δ = =

Si ottiene dunque → in questo modo però sovrastimiamo

y 3 EI 3

y

Δ poichè stiamo considerando l’elemento completamente fessurato

y Δ

Calcolato possiamo calcolare la deformazione allo snervamento come

y

Δ χ L

y y v

θ = =

y L 3

v

M χ

③ : facciamo crescere ulteriormente la forza F fino a raggiungere il

max max M χ

valore massimo del momento , al quale corrisponde la curvatura

max max

→ a questo punto si entra in campo plastico, dunque il diagramma delle

curvature presenterà 2 cuspidi (di cui l’ultima molto accentuata, poichè nel

passaggio da regione elastica a regione plastica si ha una notevole riduzione

M ed M

della rigidezza EI) → tra il gradiente è molto elevato!

y max

M χ M

④ : una volta raggiunto inizia la fase di softening della

u u max

sezione di estremità M< M

Il valore del momento diminuisce ( ) mentre la curvatura cresce

max

χ χ

ancora oltre il valore di arrivando al valore ultimo , che risulta

max u

essere condizione di crisi per la sezione

* Essendo M lineare, dato che M diminuisce una volta superata la curvatura

χ , devono necessariamente diminuire tutte le ordinate del diagramma M

max

(deve rimanere lineare) → ma dato che nella parte superiore

χ

dell’elemento il legame tra M e è lineare, diminuendo M dovranno

χ

diminuire anche le curvature M

In pratica, dopo il raggiungimento di inizia il comportamento non lineare

y

dell’elemento θ>θ

Valutazione della rotazione : consideriamo la situazione in cui

y

M M θ>θ

> → Si avrà che anche ⇒ vediamo

y y

θ

come si può valutare

θ

Hp: Nel tratto 0 - trascuriamo la variazione di rigidezza che si verifica

y

dopo il cracking, assumendo un’unica rigidezza secante allo snervamento

EI

costante ( )

2 χ

Scompongo il diagramma della curvatura in 2 diagrammi:

χ

- Una parte elastica lungo tutto l’elemento

y

χ− χ

- Una parte plastica , estesa solo per la regione plastica (zona il cui

y

M M M M

> <

), e nulla per tutta la zona elastica ( ) (modello a plasticità

y y

concentrata) θ>θ

In questo modo posso esprimere la rotazione come somma di 2

y

contributi: θ=θ θ

+

y plast

θ :

• Calcolo per calcolare la rotazione plastica consideriamo una

plast l

curvatura costante nella lunghezza plastica di cerniera , pari al valore

p

χ− χ ¿ /2

medio della curvatura, cioè ( y

Per ottenere la rotazione dobbiamo integrare la curvatura per tutta la

l

lunghezza della regione plastica quindi si ottiene:

p

l χ− χ χ χ

p

inc y y

θ dx=( l

= )

pl p

2 2

0

Tuttavia la rotazione non avviene intorno alla base (cioè nella sezione di

χ

incastro), ma intorno al baricentro della distribuzione delle , che si trova ad

l /2

altezza p θ Δ

Per ottenere la corretta formulazione di valutiamo lo spostamento ,

pl pl

considerando una distribuzione media delle curvature nella regione plastica (

χ− χ y l

( ) ):

p

2 l χ− χ l

( ) ( )

inc p y p

Δ l l

=θ − =( )l −

pl pl v p v

2 2 2

Quindi possiamo ottenere la rotazione effettiva (intorno al baricentro della

l

regione plastica) dividendo lo spostamento plastico per la luce di taglio :

v

χ χ l

( ) ( )

− y p

l l −

p v

Δ χ χ l

2 2 ( )

pl y p

θ l

= = = (1−0,5 )

pl p

l l 2 l

v v v

l

• La lunghezza della regione plastica si può esprimere come

p

l

un’aliquota della luce di taglio :

v l l

p v M

α −M

Il parametro di proporzionalità dipende dalla sovraresistenza ( ),

max y

che ci permette di raggiungere valori maggiori dello snervamento → maggiore

l

è la sovraresistenza, maggiore sarà la lunghezza della regione plastica p l

Considerando la distribuzione triangolare del momento, possiamo valutare p

come:

M α l M

−M −M

y v y

α

= =

M l M

v

Mediante questa formulazione è possibile ricavare qualsiasi valore della

θ>θ

rotazione quando si verifica la condizione :

y

θ θ =θ +θ

1) → si avrà che

max max y pl , max

χ χ l

( )

max y p

θ l

= (1−0,5 )

pl ,max p

2 l v M −M

max y

l l α

=α =

dove → ⇒ è la massima lunghezza di cerniera

p ,max max v max M max

plastica

θ

2) : per definire la rotazione dell’elemento (capacità deformativa)

u

possiamo utilizzare un’ analogia con il calcestruzzo:

ε per mille

=3,5

La capacità ultima del cls ( ) è definita come la deformazione

c

che si raggiunge in corrispondenza di una perdita del 15% della tensione

massima del materiale, nel ramo di softening θ

Allo stesso modo la capacità ultima di elementi duttili non corrisponde a

u

M M

, ma ad una riduzione di del 15% nel ramo di softening → quindi

max max

possiamo intersecare la curva di softening con una retta orizzontale passante

M

per 0,85 max θ

Però il valore preciso di dipende dalla pendenza che il diagramma assume

u

nel ramo di softening, cioè dal comportamento dell’elemento in campo non

lineare θ θ

=θ +

Otteniamo quindi: u y pl ,u

χ χ l

( )

u y p

θ l

= (1−0,5 )

dove: pl ,u p

2 l v

Oss. 1: in corrispondenza della rotazione ultima c’è una zona di softening, ,a la

lunghezza della cerniera plastica resta invariata, poichè si tratta di una

α =α

deformazione plastica (cioè residua permanente) → di conseguenza max

M −M

max y l l

α =α

=

rimane invariato → → p ,u max v

max M max

χ θ

Oss. 2: La in corrispondenza della quale valutiamo la non è quella

u pl ,u

ε =0,35

valutata in corrispondenza di ma quella che corrisponde ad una

cu

M M χ

riduzione del 15-20% di nel diagramma

max

L’analisi sul comportamento dell’elemento è stata fatta per introdurre le

θ

formule proposte dalla normativa per il calcolo della rotazione ultima :

u

θ

① Formula ibrida : la formulazione meccanica (proposta da

u θ

Panagiotakos) per il calcolo della discende dalla sovrapposizione dei

u

contributi deformativi esclusivamente flessionali, mentre i contributi dovuti al

l

taglio e allo scorrimento sono contenuti nella formulazione di (totalmente

p

empirica) → quindi nel complesso la formula è ibrida (origine meccanica con

elementi empirici): [ ]

l

( )

1 p

θ θ χ χ l 1−0,5

( )

= + −

u y u y p

γ l

el v

χ

- → è la curvatura ultima, valutata considerando la deformazione ultima

u

del cls

χ x χ

=ε / =ε /x

se cls non confinato; se cls confinato

u cu u ccu

χ

- → è la curvatura allo snervamento, valutata considerando la

y

deformazione di snervamento dell’armatura tesa

- Lunghezza della cerniera plastica: f y

L l 0,17 h+0,24 d

=0,1 +

pl v b √ f c

l ≠ α l α l

Come vediamo, in questa formulazione ibrida → infatti esprime

pl v v

l

solo il contributo flessionale, mentre è espressa come somma di 3

pl

contributi: - flessionale →

0,1 l α l α =0,1

( con )

v v f y

0,24 d

- scorrimento → b √ f c

0,17 h

- tagliante → ⇒ in realtà questo è il termine correttivo della formula,

ricavato con un fitting dei dati sperimentali

Oss. 1: Questa formula nasce da una base meccanica, poichè è posta nella

θ θ

=θ +

forma (classica forma che si ricaverebbe da un’applicazione del

u y pl ,u

PLV) solo che per avere un buon riscontro con i risultati sperimentali (e per

tenere conto in qualche modo dei contributi taglianti e di scorrimento) c’era

bisogno di inserire un parametro che contenesse la regressione dei dati

l

sperimentali, cioè pl f y

l l l βh+ γ d

=α +

è stato dunque posto nella forma → quindi attraverso

pl pl v b √ f c α, β ,γ

una regressione sperimentale sono stati ricercati i valori di che

assicurassero il minimo scarto rispetto ai risultati sperimentali → per questo la

formulazione ha forma meccanica, ma è sostanzialmente semi-empirica

γ =2

Oss. 2: il parametro si utilizza poichè, trattandosi di una regressione

el θ

otteniamo un valore medio di → dato che però stiamo valutando la

u

capacità deformativa dell’elemento, dobbiamo essere prudenzialmente

μ

conservativi, quindi non utilizzeremo il valore medio ma un percentile (

σ −μ ) ⇒ in questo modo siamo cautelativi, considerando una capacità

certamente più piccola. θ

Al contrario, per la valutazione di consideriamo il valore medio

y

(necessitiamo di essere il più precisi possibile) θ

② Formula puramente empirica (Fardis) : l’EC8 propone una

u

formula additiva, puramente empirica poichè ricavata da un database

sperimentale : 0,225 f

[ ]

'

( ) yw

max 0,01; ω ρ

1 (α )

sx

0,35

ν f 100 ρ

θ 0,016(0,30 f l h 25

( )

= ) / (1,25 )

c d

u c v

γ max 0,01 ; ω

( )

el

N

ν = ν

- → è lo sforzo normale adimensionalizzato ⇒ all’aumentare di ,

f A

c c

θ χ

decresce (aumenta x quindi decresce )

u u

ω,ω'

- → sono le percentuali meccaniche di armatura tesa e compressa

ω' ω'

( ) '−ω

=log =ω

Se facciamo il logaritmo del rapporto si ottiene: ω ω

'

ω−ω ν

+ ω '

Ricordando che ) → all’aumentare di , l’asse neutro si abbassa,

x =h ¿

u

χ x

ω

quindi aumenta (effetto benefico), mentre all’aumentare di ,

u u

χ θ

aumenta e quindi diminuisce (e diminuisce anche la capacità

u u

dell’elemento)

l /h

- → indice di snellezza ⇒ aumentando la snellezza, la capacità ultima

v

θ aumenta

u

f

- → se la resistenza del cls aumenta, l’asse neutro si abbassa (x

c χ θ

diminuisce), quindi aumenta e di conseguenza anche

u u

2

( )

b

s s

( )( ) i

α 1− 1− 1− α

= =α

- → coefficiente che esprime l’efficienza del

v h

2 b 2 h 6 h b

o o o o ε

confinamento → all’aumentare del confinamento aumenta , quindi

ccu

θ

aumenta u α =0

RIC: se le staffe sono piegate a 90° il confinamento non è efficace →

A st

ρ =

- → percentuale geometrica di armatura trasversale ⇒ maggiore è la

st sb ρ

presenza di staffe, migliore sarà il confinamento, quindi all’aumentare di st

θ

aumenta u

ρ

- → percentuale geometrica di armatura diagonale nell’estremità

d

dell’elemento ⇒ In Italia viene utilizzata solo nelle travi

delle pareti accoppiate (quindi si pone pari a 1), mentre in America sono molto

utilizzate

γ

- → dato che la formulazione è tarata in modo tale che i risultati

el

rispecchino i valori medi delle prove sperimentali, si può dire che la formula

θ

fornisce un valore medio della rotazione ultima (frattile del 50%) → per

u

andare a vantaggio di sicurezza, noi consideriamo un frattile più piccolo del

μ σ

50% (cioè la media meno lo scarto quadratico medio )

γ γ

=1,5 =1,0

Si ha dunque per elementi primari, per elementi secondari

el el

γ γ =2

* è un po più piccolo rispetto alla formula ibrida ( ) poichè in questo

el el

caso c’è una minore variabilità rispetto al valore medio


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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti dell'esame di Consolidamento delle strutture del professor Verderame, tutto il programma.
Contenuti:
Quadro normativo inerente l’analisi degli edifici esistenti e il progetto degli interventi di rinforzo.
Analisi e diagnosi dei dissesti di natura statica e sismica nelle costruzioni in c.a. e in muratura.
Indagini distruttive e non distruttive per caratterizzare la resistenza e il degrado dei materiali
strutturali. Cenni all’analisi sismica delle strutture. Metodologie di analisi per la valutazione del
comportamento strutturale degli edifici progettati in assenza di normative o con normative superate.
Principali tipologie, criteri di scelta e progettazione degli interventi di consolidamento statico e di
adeguamento sismico di edifici in c.a. e in muratura. Impiego di tecniche tradizionali e innovative.
Redazione di un elaborato progettuale inerente il consolidamento di una semplice struttura in c.a. o
in muratura.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in ingegneria strutturale e geotecnica
SSD:
A.A.: 2014-2015

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher antogu88-votailprof di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Consolidamento delle strutture e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Verderame Gerardo Mario.

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