Condensed Matter Physics - Appunti

F N

{R

annulli sulla superficie nodale S = : ψ(R) = 0} della funzione di prova. Lo stato φ coinciderà

F N

con φ solo nel caso in cui la superficie nodale dello stato esatto sia eguale a quella della funzione di

0

prova. Ovviamente la ricerca di una superficie nodale esatta non è più semplice della ricerca dallo

stato φ , per questo in generale la FNA comporta un errore sistematico. Si può però mostrare che

0

l’energia dello stato fondamentale Fixed Node è un limite superiore per l’energia esatta, migliore di

quello VMC. L’implementazione dell’approssimazione è molto semplice, basta impedire che nella

simulazione Monte Carlo i polimeri intersechino i nodi di ψ, rifiutando tutte le mosse in cui ψ

cambia segno. Siccome la simulazione è ristretta ad una cella nodale, un sottoinsieme dello spazio

delle configurazioni dove la ψ non cambia segno, rimane il dubbio che facendo partire la simulazione

in celle differenti si possano trovare soluzioni F N diverse. Fortunatamente ciò non succede grazie

al tiling theorem, il quale assicura che tutte le celle nodali (di una ragionevole trial function) sono

equivalenti, ovvero hanno la stessa forma e lo stesso tipo di configurazioni.

7.7 Diffusion Monte Carlo (DMC)

Tra l’insieme dei metodi Projection MC, il Diffusion MOnte Carlo è sicuramente il più utilizzato.

Il nome deriva dall’equazione di Schrodinger a tempi immaginari τ in rappresentazione delle coor-

dinate, che prende la forma di una classica equazione di diffusione

∂ 2

−λ∇ −

ψ(R, τ ) = ψ(R, τ ) + [V (R) E ] ψ(R, τ )

T

∂t

dove E è una costante ad hoc che risulterà comoda nella formulazione dell’algoritmo. Per V (R) =

T

0, descrive l’evoluzione temporale della distribuzione di probabilità ψ(R, τ ) delle posizioni di un

insieme di particelle classiche che si muovono di moto browniano; il termine di potenziale definisce

in aggiunta un processo di crescita/decadimento. Data la conoscenza dell’esistenza del limite

lim ψ(R, τ ) = φ (R)

0

→∞

τ

un’evoluzione deterministica della soluzione permetterebbe di ottenere dei risultati esatti. La dif-

ficoltà risiede in una tale computazione, dato che ciò che evolvono non sono più particelle, ma

funzioni. Un metodo atto all’esemplificazione del procedimento è quello stocastico, per cui a tempi

τ piccoli è possibile scrivere la soluzione dell’equazione

Z 0 0 0 0 0

hR | −

ψ(R, τ ) = dR G(R, R , τ )ψ(R , 0) G(R , R, t) = exp[−τ (H E )]|Ri

T

dove la funzione G, detta funzione di Green, soddisfa l’equazione di diffusione solo se vale al

0 0

−

condizione iniziale G(R , R, 0) = δ(R R ). Si hanno espressioni esplicite che per tempi brevi

approssimano G in modo controllabile, ad esempio l’approssimazione primitiva

0 2

0 −(R−R −[V

) /4λ (R)−E ]

G(R, R , ) = e e T

2

che l’approssima a meno di ordini . La tecnica del diffusion MC coincide nell’iterare una procedura

che passa da una rappresentazione discretizzata della ψ(τ ) ad una della ψ(τ + ) mediante un

7.7. DIFFUSION MONTE CARLO (DMC) 145

campionamento stocastico, generando perciò un cammino sui tempi complessi. Dopo un transiente

costituito da un numero sufficiente di passi, ulteriori iterazioni campionerebbero una distribuzione

stazionaria a tutti gli effetti proporzionale a φ , in modo computare esattamente i valori attesi a

0 −

temperatura nulla. Partendo dalla condizione iniziale ψ(R, 0) = δ(R R ), si avrà dalla relazione

0

auto-consistente a piccoli

Z 0 0

2 2

0 −(R −R) −(V −(R −R) −(V

/4λ (R )−E ) /4λ (R)−E )

−

ψ(R, ) = dR δ(Ri R )e e = e e

0

T T

0

che definisce una distribuzione che campiona la posizione possibile delle particelle. A tempi succes-

sivi l’integrale è risolto mediante metodi Monte Carlo, da cui sarà possibile estrapolare un’ulteriore

distribuzione come media delle configurazione di G, da cui si estrarrà successivamente un’unica

posizione e verrà usata per il calcolo di quella al tempo successivo, ovvero per il campionamento

delle configurazioni della G nell’integrale. Si osserva come la relazione integrale definisca soltanto

l’integrazione della parte gaussiana della funzione di Green, dato che il contributo esponenziale, sia

della ψ che della G, esce fuori dall’integrale. Una tale accumulazione di questi fattori moltiplicativi

andrà a definire un peso associato alla configurazione scelta ad ogni passo. Un tale procedimento

è analogo ai campionamenti stocastici dei metodi Monte Carlo basati sulle catene di Markov, ma

in realtà non si ha a che fare con alcuna matrice stocastica, dato che non ci si evolve lungo le

configurazioni, ma in modo deterministico risolvendo l’integrale (mediante metodi stocastici). Per

ogni configurazione associata ad un dato tempo si identificherà perciò la coppia (R , w ), dove il

i i

primo elemento è campionato dalla sola distribuzione derivante dai termini gaussiani.

In termini grafici ciò implica che da un dato punto di partenza R sarà possibile fare un

0

unico passo nel tempo, ottenendo trivialmente una gaussiana come distribuzione. Campionando

un’unico punto nello spazio delle posizioni, verrà associato un peso dato dal termine esponenziale

moltiplicativo. La configurazione a tempo zero avrà un peso unitario. Effettuando un cammino

sulle configurazioni distribuite gaussianamente, si svilupperà un MCMC per la stima dell’integrale.

La nuova distribuzione sarà ovviamente moltiplicata per il peso precedente, a cui si aggiungerà

quello nuovo derivante dalla funzione di Green. I punti successivi nello spazio delle posizioni for-

meranno un camminatore (walker), per cui sarebbe possibile averne contemporaneamente più di

uno partendo da posizioni iniziali diverse. Considerando un unico camminatore, raggiunta la sta-

),

bilità (τ si potranno computare le stime miste mediante medie pesate

R

hψ| i dRψ(R)O(R)φ (R)

Ô|ψ 0

0 = R

hψ|φ i dRψ(R)φ (R)

0 0

R R

dRψ(R)O(R)φ (R)/ dRφ (R)

0 0 X X

'

= ψ(R )O(R )w / ψ(R )w

i i i i i

R R

dRψ(R)φ (R)/ dRφ (R)

0 0 i i

dove le coppie (R , w ) sono campionate con la distribuzione limite. L’algoritmo è concettualmente

i i

corretto, ma totalmente inefficiente: i pesi

i

Y −[V −[V

(R )−E ] (R )−E ]

w = e = w e

j i

T T

i i−1

j=1

essendo costituiti dai prodotti di molti fattori fluttuanti, hanno valori medi molto diversi tra loro,

e il numero effettivo di punti nelle medie pesate è una frazione insignificante del numero di passi.

In questo caso torna utile la configurazione esposta precedentemente del generare più cammini

deterministici, in modo da avere non un vettore di coppie, ma una matrice (R , w ), dove

i,m i,m

146 CHAPTER 7. COMPUTATIONAL METHODS [7]

il secondo indice identifica cammini diversi allo stesso tempo. Si può in questo modo effettuare

un importance sampling semplicemente replicando i cammini con peso elevato e troncando quelli

prossimi allo zero. Un procedimento atto allo sviluppo della tecnica potrebbe essere quello di creare

un numero di repliche per ogni camminatore pari al numero intero più vicino alla quantità

w + ξ

i,m

dove ξ è un numero casuale distribuito uniformemente tra 0 e 1. Dopo la produzione tutti i pesi

dei camminatori vengono posti eguali a uno e, scorrelandosi dopo un certo numero di passi, sarà

possibile campionare i valori attesi con i loro pesi. Effettuando questa riconfigurazione abbastanza

spesso, si è sicuri che tutti i camminatori presenteranno un peso non troppo diverso dal valore

unitario per ogni passo temporale, ottenendo cosı̀ una stima finale dalla media pesata si tutti gli

step validi per ogni walker.

In questo algoritmo il numero M di camminatori fluttua, potendo anche divergere o andare a

zero. Per mantenere M prossimo ad un valore prefissato M , si modifica la costante E nel modo

0 T

seguente ← −

E E γ ln M/M 0

T T

Se M > M , i fattori esponenziali che definiscono i pesi decrescono e il numero di repliche (cam-

0

minatori) diminuisce. Se M < M si ha l’effetto opposto. Poiché la variazione di E modifica

0 T

l’evoluzione temporale, il controllo della popolazione introduce un errore sistematico. Tuttavia si

tratta di un errore controllabile poiché sparisce nel limite di numero infinito di camminatori medi

M . Il parametro γ controlla la forza del controllo di popolazione, e andrebbe preso il più piccolo

0

possibile per minimizzare l’errore sistematico appena descritto, compatibilmente con la necessità

di stabilizzare la popolazione.

7.7.1 Importance Sampling

Il procedimento introdotto al fine di ridurre le fluttuazioni dei pesi è stato definito con abuso di no-

tazione un importance sampling. In realtà si definisce con tale nome un qualsiasi procedimento che

ha il fine di ridurre la varianza delle quantità che si vogliono calcolare. Nel caso DMC, moltiplicando

per la trial function ψ(R) i due membri, si trova arrangiando i termini

∂ 2

− −λ∇ · −

f (R, τ ) = f (R, τ ) + λn∇ [f (R, τ )F (R)] + [E (R) E ] f (R, τ )

L T

∂t f (R, τ ) = ψ(R)ψ(R, τ ) F (R) = 2∇ ln ψ(R)

dove F (R) è una velocità di drift, e l’energia locale sostituisce il termine di potenziale altamente

fluttuante. Poiché si ha solo moltiplicato a destra e sinistra per la funzione di prova, l’evoluzione

temporale di ψ(R, τ ) sarà la stessa di prima, ovvero in termini della convoluzione con la funzione

0

di Green G(R , R, τ ), da cui segue che l’evoluzione della f (R, τ ) dovrà essere

Z 1

0 0

0 0 0

f (R, τ + ) = dR G̃(R, R , )f (R , τ ) G̃(R, R , ) = G(R, R , )ψ(R)

0

ψ(R )

dove ora richiedo le assunzioni su ψ e, in particolare, la condizione di convergenza implica f =

→∞

τ

ψφ . La peculiarità della nuova funzione risiede nella sua positività sia per bosoni che fermioni

0

(non è richiesta la FNA) e nei seguenti vantaggi:

7.7. DIFFUSION MONTE CARLO (DMC) 147

ˆ ·

Il nuovo termine λn∇ [f (R, τ )F (R)], se fosse l’unico al secondo membro, descriverebbe il

moto di una distribuzione di densità in un campo di velocità F (R). Questo contributo perciò

tende ad accumulare densità nelle regioni ove la ψ è grande, il