Complementi di costruzione di strade ferrovie ed aeroporti - Teoria

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S S2λDa un punto di vista operativo k non sarà quasi mai un valore intero (un numero naturale) e a tal proposito si approssima al numero intero più vicino.Se volessimo lavorare rimuovendo il vincolo di numero intero per k, ossia assumendo un valore di k non necessariamente naturale, la funzione di densità di probabilità si riscrive in questo modo:Questo integrale non è risolvibile in forma chiusa ma può essere calcolato in maniera ricorsiva.Qualunque sia il valore di k, la funzione gamma in un assegnato valore di k può essere visto come la funzione gamma calcolata nel punto k-1 per k-1. È possibile calcolare qualsiasi valore dell'operatore gamma su k a patto di conoscere come varia gammaΓ nell'intervallo 1-2.In questo caso si parla di variabile aleatoria gamma.Anche questa variabile aleatoria è disponibile nella libreria delle variabili aleatorie di Excel.In fine un'altra variabile aleatoria che

viene utilizzata per rappresentare i distanziamenti temporali è la Lognormal. Essa ha una funzione di densità di probabilità del tipo:

Questa funzione ricorda per certi versi la funzione normale. Si può dimostrare che effettuando il logaritmo di una variabile aleatoria log normale si riottiene una variabile aleatoria normale.

3.11.4 MODELLI UTILIZZATI PER DESCRIVERE IL DISTANZIAMENTO TEMPORALE

Uso pratico dei seguenti modelli.

3.11.4.1 ESEMPIO DI UTILIZZO DEL MODELLO: ESPONENZIALE NEGATIVO

Abbiamo che: →E[τ] = τ = 1/λ λ = 1/τ 1/τ

Ci ricordiamo che è l'inverso del distanziamento temporale medio.

L'inverso di un distanziamento temporale medio è la PORTATA veicolare, perché:

nQ = se numero di veicoli che passa in una sezione stradale diviso il tempo di osservazione (T).

T ni=1∑T = t

Il tempo T di osservazione posso vederlo come sommatoria dei distanziamenti temporali.

Per cui: n n 1 1Q = = = = = qnn

^∑ t_∑T t τ_ii i=1i=1 n→Esempio: se avessimo 10 veicoli/s mediamente si avrà un distanziamento temporale di 0.1 secondi.λ = qQuindi se il modello esponenziale negativo si riscrive in questo modo:−q∙ τf(τ) = q ∙ ePer l’esponenziale negativo traslato valuto λ: 1571 1τ= =c+q λ1 1 1= − c λ =Ne deriva che: da cui: 1λ q −cqLa funzione densità di probabilità è: τ−c− 11 −cf(τ) q= ∙ e1 −cqPer l’Erlang valuto λ: 1 kτ= =q λλ = k ∙ qNe deriva che:Per cui la funzione densità di probabilità diventa: −k∙q∙t k−1(kk ∙ q ∙ e ∙ ∙ q ∙ t)f(τ) = (k − 1)!Oppure se stessimo parlando di un modello Gamma, diventerebbe:−k∙q∙t k−1(kk ∙ q ∙ e ∙ ∙ q ∙ t)f(τ) = Ґ(k)3.11.4.2 FUNZIONE DI PROBABILITÀ CUMULATA F(τ)In fine quello che èprobabilità è diversa rispetto ai casi in cui k=1 o k=3. Inoltre, aumentando il valore di lambda, cioè la velocità dei veicoli, la funzione di densità di probabilità si "allarga" e si sposta verso destra. Questo significa che aumentando la velocità dei veicoli, aumenta la probabilità di avere un distanziamento temporale minore o uguale a un certo valore fissato.

probabilità presenta unmassimo che non è in 0 e si affievolisce molto la probabilità che ci possano essere valori caratterizzati dadistanziamenti temporali molto bassi.

All’aumentare di k e a parità di λ la curva si appiattisce sempre di più.

Nel grafico sottostante possiamo notare il modello di Erlang al variare dei parametri k e λ ma con il lororapporto costante.

4. Il tipico andamento di una Log-normale è il seguente:

3.11.6 CRITERI SU CUI BASARSI PER LA SCELTA DEL MODELLO 160

Per la stima del k è possibile adottare la seguente relazione funzione della Q.Essa è stata ricavata sperimentalmente da una serie di osservazioni acquisite su diverse strade.

Ci torna utile perché ci permette di calibrare una variabile aleatoria di tipo Erlang o di tipo Gamma anchesolo sapendo la portata Q.

Ovviamente il k ottenuto per la Erlang deve essere un numero naturale per cui il valore ottenuto vaapprossimato al numero intero

più vicino. Se volessimo utilizzare una variabile aleatoria di tipo Gamma allora va bene qualsiasi k ottenuto.

LEZIONE 9_ 09-4-2019_ PARTE I 1614 MODELLI DICOTOMICI

Sono il risultato di una composizione di variabili aleatorie per descrivere il distanziamento temporale.

Il principio su cui si fondano è che una CORRENTE veicolare può essere rappresentata come un insieme di 2 sottofamiglie di modelli (o di correnti): veicoli condizionati e veicoli liberi.

I veicoli condizionati sono i veicoli che percorrono la strada in plotone (hanno dei distanziamenti moltopiccoli, e mantengono una distanza dal veicolo precedente molto ridotta).

I veicoli liberi (non condizionati) sono caratterizzati da distanziamenti temporali e spaziali molto più ampi.

Con questa premessa, la CORRENTE può essere vista come una combinazione di variabili aleatorie, o meglio una combinazione lineare di 2 variabili aleatorie (una per rappresentare i condizionati ed una per i liberi).

La funzione

di densità di probabilità di tipo dicotomico si può ottenere come combinazione lineare di 2 funzioni di densità di probabilità, che corrispondono a due v.a. continue (una definita per la frazione dei veicoli condizionati ed un'altra che moltiplica la frazione di non condizionati). Un modello dicotomico funziona in questo modo: f(τ) = b∙ f(τ) + (1- b)∙ f(τ)Sono stati proposti diversi modelli: uno dei più semplici è quello Iper-Esponenziale. 4.1 MODELLO IPER-ESPONENZIALE Questo modello ha questa funzione di densità di probabilità: una combinazione lineare di 2 esponenziali negative ed ha una funzione lineare di questo tipo. 1. b frazione di veicoli condizionati 2. (1-b) frazione di veicoli liberi τ̅ τ̅ 3. e sono i distanziamenti temporali medi riferiti alle due frazioni di veicoli della corrente 21 τ̅ τ̅ Per la calibrazione di questo modello si richiede la specificazione di tre parametri (b, , ). Ilproblema si1 2affronta sfruttando le analogie con le altre v.a. che nella loro forma analitica richiedo l'uso di 2 parametri. Di solito si utilizza il metodo dei momenti per la calibrazione. Vuol dire scrivere, come al solito, le relazioni di uguaglianza tra il momento campionario e da quello che nederiva dal modello. Si parla di momento, in quanto questo è legato alla varianza VAR[X] e questa, a sua volta, è legata alla media E[x]. Il vantaggio del modello è che si possono sfruttare le proprietà di media e varianza. τ̅Se è la MEDIA CAMPIONARIA dei distanziamenti temporali, questo può essere uguagliato al valore atteso teorico del modello dicotomico iper-esponenziale. Ciò era prevedibile, in quanto l'operatore di media è un operatore lineare. Se definisco una variabile aleatoria come una combinazione lineare di più v.a., il valore atteso è la combinazione lineare dei valori attesi delle singole.

Posso scrivere che la VARIANZA CAMPIONARIA sarà uguagliata a quella teorica del modello in questione.

Posso scrivere che: momento di 2° ordine meno la media al quadrato.

La 3 relazione si ottiene valutando il momento di 3° ordine campionario (va uguagliato a quello teorico): τ̅ = τ̅

Si ottiene un sistema di 3 equazioni in 3 incognite di tipo non lineare (le incognite b, , sono espresse al quadrato o al cubo nelle equazioni). Si risolve numericamente (tramite il risolutore di Excel).

Si esprime dalla 1 equazione una incognita in funzione delle altre 2. Sostituisco questa incognita nella 2.

Rielaboro la 2 in modo da estrarre una incognita in funzione dell’altra. Sostituisco tutto nella 3 equazione (ritrovo un’equazione trascendente su cui utilizzare il risolutore). In questo modo ho solo una variabile nell’equazione (devo esprimere la 3 equazione in una sola incognita).

4.2 LEGAME MATEMATICO TRA LEGGI DI ARRIVO E DISTANZIAMENTI

TEMPORALI

Dimostriamo il legame della LEGGE DI ARRIVO (Poisson) e distanziamenti temporali (exp.negativa), sono due modi diversi di guardare lo stesso fenomeno fisico.

Se i veicoli arrivano con una Poisson generalizzata, i loro distanziamenti temporali sono rappresentati da una Erlang.

Dimostriamo il legame tra la Poisson e l'exp.negativa. λ

In un intervallo di osservazione t, il modello di Poisson (di parametro t) ci fornisce la probabilità che passino x veicoli. Ciò viene espresso attraverso questa legge:

q = portata unitaria = valore medio atteso = λ-

Allora, vogliamo calcolare la probabilità che in un periodo di osservazione t, arrivino 0 veicoli alla nostra sezione stradale.

Ma questa probabilità che in t arrivino 0 veicoli, è equivalente da un punto di vista fisico alla probabilità che il distanziamento temporale nella corrente veicolare sia maggiore di t.

Se questa relazione esprime anche la probabilità che il

nali di equilibrio. Tuttavia, nella realtà, il deflusso veicolare è un fenomeno dinamico e complesso, influenzato da numerosi fattori come la presenza di semafori, incroci, rallentamenti, ecc. Per comprendere meglio il comportamento del deflusso veicolare, è possibile utilizzare modelli microscopici. Questi modelli considerano ogni singolo veicolo e ne simulano il movimento all'interno della rete stradale. In questo modo, è possibile ottenere informazioni dettagliate sulle dinamiche del traffico, come ad esempio la formazione di code, gli effetti delle manovre di sorpasso, ecc. I modelli microscopici di deflusso si basano su algoritmi che tengono conto delle caratteristiche dei veicoli (velocità massima, accelerazione, decelerazione, ecc.) e delle regole di comportamento dei conducenti (rispetto delle distanze di sicurezza, scelta del percorso più veloce, ecc.). Questi modelli possono essere utilizzati per studiare il deflusso veicolare in diverse situazioni, come ad esempio l'effetto di nuove infrastrutture stradali o di nuove politiche di gestione del traffico. In conclusione, i modelli microscopici di deflusso sono strumenti utili per comprendere e prevedere il comportamento del traffico stradale. Attraverso la simulazione del movimento dei singoli veicoli, è possibile ottenere informazioni dettagliate sulle dinamiche del traffico e valutare l'efficacia di diverse strategie di gestione del traffico.