Circuiti RL e mutua induzione

Circuiti RL, mutua induzione

Si ha una situazione del genere: l’induttanza ha valore in questo circuito in quanto appena si accende il generatore si ha una variazione di corrente e quindi di campo magnetico. L’equazione di stato che definisce il circuito è:

+f = RI_f em indotta

E quindi, convertito in formule:

dI - L = RI_f em dt L = τ

Dividiamo tutto per R e chiamiamo:

R_f dI_em - τ = I(t)R dt

Quindi porto a denominatore sotto i rispettivi differenziali:

dI dt = f τ_em ( ) - I tR

Si integra quindi come nei circuiti RC, si fa l’esponenziale e si pone la costante c alla destra dell’equazione quando si va ad integrare:

= ek - t_f em τ ( ) - I = kt eR f_em

Per il t = 0 si ha che la costante è uguale a R, quindi in generale la formula della corrente è:

( ) - t_f em τ ( ) = I t 1 - eRM

Se si stacca il generatore

Se si stacca il generatore e si viene a simulare una situazione del genere: la componente induttiva funge da generatore di tensione come si vede dall’equazione fondamentale (già divisa per):

RdI - τ = I(t) dt

Quindi:

- t - dt dI τ ( ) = e = → I t k τ ( ) I t = I_k

Considerando che per t = 0 allora si ha che l’equazione della corrente è:

- t τ ( ) = I I t e0

Confronto energia

Adesso si faccia il confronto fra l’energia immagazzinata dall’induttore e quella dissipata dalla resistenza sottoforma di effetto Joule, si sa che la potenza 2 , quindi l’energia totale, considerando che la potenza è la derivata temporale dell’energia:

∞∫ 2E = I R dt0

Quindi, calcolandola in base all’equazione della corrente ottenuta nel circuito RL, la formula che descrive l’energia dissipata dalla resistenza sottoforma di effetto Joule è:

[ ] ∞ - 2 - 2 ∞ t t ( ) - τ L 1² 1² ∫ 2 2 2 2τ τ = I = I = E = I e R dt R e R L I0 0 0 2 R0

Mentre l’energia infinitesima conservata dall’induttore è:

dI = VI dt d E = L I dt → L I d I dt (I differenziali temporali sono stati semplificati).

Quindi si va a integrare:

1∫ 2E = L I dI = L I²

Che è proprio uguale alla formula dell’energia dissipata dalla resistenza, ciò rispetta la conservazione dell’energia.

Induttanza di un solenoide

Dato un so...