Circuiti RL e mutua induzione

CIRCUITI RL, MUTUA INDUZIONE

Si ha una situazione del genere:

L’induttanza ha valore in questo circuito in quanto appena si accende il

generatore si ha una variazione di corrente e quindi di campo magnetico.

L’equazione di stato che definisce il circuito è:

+f =RI

f em indotta

E quindi, convertito in formule:

dI

−L =RI

f em dt L =τ

Dividiamo tutto per e chiamamo :

R R

f dI

em −τ =I (t)

R dt

Quindi porto a denominatore sotto i rispettivi differenziali:

dI dt

=

f τ

em ( )

−I t

R

Si integra quindi come nei circuiti RC, si fa l’esponenziale e si pone la costante

c alla destra dell’equazione quando si va ad integrare:

=e

k −t

f em τ

( )

−I =k

t e

R f em

Per il si ha che la costante è uguale a , quindi in generale la

t=0 R

formula della corrente è:

( )

−t

f em τ

( )=

I t 1−e

R

Mentre se si stacca il generatore e si viene a simulare una situazione del

genere:

La componente induttiva funge da generatore di tensione come si vede

dall’equazione fondamentale (già divisa per ):

R

dI

−τ =I (t)

dt

Quindi: −t

−dt

dI τ

( )=e

= → I t k

τ

( )

I t =I

k

Considerando che per allora si ha che l’equazione della corrente

t=0

0

è: −t

τ

( )=I

I t e

0

Adesso si faccia il confronto fra l’energia immagazzinata dall’induttore e quella

dissipata dalla resistenza sottoforma di effetto Joule, si sa che la potenza

2 , quindi l’energia totale, considerando che la potenza è la derivata

P=R I

temporale dell’energia:

∞

∫ 2

E= I R dt

0

Quindi, calcolandola in base all’equazione della corrente ottenuta nel circuito

RL, la formula che descrive l’energia dissipata dalla resistenza sottoforma di

effetto Joule è: [ ] ∞

−2 −2

∞ t t

( )

−τ L 12 12

∫ 2 2 2 2

τ τ

=I =I =

E= I e Rdt R e R L I

0

0 0 0

2 R

0

Mentre l’energia infinitesima conservata dall’induttore è:

dI =VIdt

d E=L Idt → LIdI

dt

(I differenziali temporali sono stati semplificati). Quindi si va a integrare:

1

∫ 2

E=L IdI= L I

2

Che è proprio uguale alla formula dell’energia dissipata dalla resistenza, ciò

rispetta la conservazione dell’energia.

INDUTTANZA DI UN SOLENOIDE

Dato un solenoide che ha una data sezione trasversale e una lunghezza

Σ

| |

=μ ∈¿

B

, il modulo del campo magnetico prodotto da esso è , con

l 0

N

n= . Si sa che il flusso del campo magnetico è:

l

∯ ∬ ∬

⃗ ⃗ =

B ∙ d S Bds=B dS=BN Σ

Questo perché il vettore superficie e il vettore induzione magnetica sono

paralleli ed il vettore campo magnetico è omogeneo in ogni punto del

solenoide.

Quindi nel particolare caso del solenoide il flusso del campo magnetico è:

2

BN Σ=μ InN Σ=μ I n l Σ

0 0

Quindi, considerando che il flusso del campo magnetico corrisponde a ,

LI

facendo il reciproco e dividendo per la corrente si ha che l’induttanza di un

solenoide è:

2

L=μ n l Σ

0

Da notare che dipende esclusivamente dalle caratteristiche geometriche del

solenoide.

Utilizzando la formula dell’energia conservata in un induttore e andando a

sostituire si ha: 2 2 2

μ n I l Σ

1 1 1

2 2 2 0

=

E= L I μ n l Σ I → divido e moltiplico per μ →

0 0

2 2 2 μ 0 2

2 2 2 | |

Ma si sa che nell’ambito di un solenoide e , ossia al

l Σ=V

=

μ n I B

0

volume del solenoide, quindi l’energia all’interno di un solenoide è:

2

| |

B V

1 ∫

=

E= U dV

2 μ

0

Con densità di energia, se associata in questo caso al vettore induzione

U 2

| |

B

1

magnetica, essa è . Se la si mette in relazione con la densità d’energia

2 μ 0

del campo elettrico si ha:

2

B

1 1

2 0

= =

U E ε , U

E 0 0 B

2 2 μ

0

Mettendoli in relazione rapportandoli, quindi, si ha un numero adimensionale, si

prenda ad esempio 1:

2

U E

E 0

= =1

ε μ

0 0

2

U B

B 0

Calcolando la formula della velocità, dalla formula del selettore di velocità

E

=

v , si ha:

B

E 1

= = =c

v √

B ε μ

0 0

Che è uguale alla velocità della luce. In un’onda elettromagnetica l’energia

associata al vettore induzione magnetica è uguale a quella associata al vettore

campo elettrico. E in due sistemi di riferimento diversi, può capitare che in un

sistema un vettore campo elettrico equivale al vettore campo magnetico

dell’altro sistema.

CIRCUITI RL ACCOPPIATI E MUTUA INDUZIONE

Si abbia una situazione circuitale del genere:

Ossia due circuiti RL affiancati, uno con un generatore ed un altro senza. Si ha

che quando viene chiuso il primo circuito, si ha una variazione di corrente e

quindi una variazione di campo magnetico, e in particolare la forza

elettromotrice indotta all’interno del primo circuito è:

−d Φ

d I ⃗

1 1

1 B

=−L =

f i , 1 1 dt dt

Φ

Con il flusso nella superficie del primo circuito.

1

Tuttavia, per induzione, si avrà anche una variazione di campo magnetico e

quindi di corrente nel secondo circuito, quindi:

−d Φ ⃗

2 B

=

f ≠ 0

1

i , 2 dt

Ma per la legge di autoinduzione, la forza elettromotrice indotta nel secondo

circuito è anche uguale a:

d I dI

2 1

=−L =−M

f i , 2 2 2,1

dt dt