Cinematica e moti relativi

CINEMATICA

CINEMATICA: descrizione del moto

MODELLO BASE: PUNTO MATERIALE

• punto geometrico dotato di una prop chiamata MASSA

valido quando le dimensioni

degli oggetto non sono

importanti e possono essere

trascurate

IL MOTO É UN FENOMENO RELATIVO

• Sistema di riferimento

A seconda del SGR ho un certo tipo di moto

Scelgo il SGR a seconda di cosa si muove e di comevogliamo descrivere il moto

SISTEMA di RIFERIMENTO CARTESIANO

origine + assi orientati

P punto in moto lungo una traiettoria

\(\vec{r}(t) = P(t) - O\)

VETTORE POSIZIONE

• Dipende dal tempo
• mi dice istante per istante dove si trova P

\(\vec{r}(t) = \bar{x}(t) + \bar{y}(t) + \bar{z}(t) = x(t)\hat{i} + y(t)\hat{j} + z(t)\hat{k}\)

• Tre vettori componenti di \(\vec{r}\)in funzione del tempo

• x(t)
• y(t)
• z(t)

EQUAZIONI PARAMETRICHEDEL MOTO

• Funzioni scalari che cidicono l'andamento neltempo delle coordinatecartesiane del punto P

\(\left|\vec{r}\right| = \left|x\right| = \left|y\right| = \left|z\right| = \left|L\right|\)

Le equazioni parametriche contengono le informazioni cinematiche del moto. Tali informazioni sono più di tipo geometrico infatti permettono anche di individuare la traiettoria del corpo.

Una equazione è un caso particolare di rappresentazione in forma parametrica di una curva nello spazio in cui il parametro t è costituito dalla variabile tempo.

In questo caso t è la variabile tempo.

Traiettoria

• Luogo dei punti dello spazio per cui passa un corpo.

Equazione parametrica della traiettoria

r̅ (λ)

Parametri

• λ: arbitrario
• t: tempo
• s: spazio

Quelli più usati sono t ed s.

Δr̅ = r̅₂ - r̅₁

Vettore spostamento [m]

Diff. di posizione tra due punti

Per separare l'aspetto geometrico da quello cinematico si usa la rappresentazione intrinseca.

• Rappresentazione da parte di chi si muove
• Prendo la curva come sistema di riferimento orario.
• s: ascissa unilinea
• Unica funzione parametrica x che descrive la traiettoria.

F(t) = r̅ (s) descrizione geometrica → traiettoria

s(l) legge oraria

Eq. che permette di conoscere per ogni istante t la posizione del corpo.

Non contiene informazioni su massa e forma della traiettoria, ma descrive il modo in cui essa viene percorsa nel tempo.

Descrizione intrinseca:

• Geometria della traiettoria r̅ (s)
• Origini, verso della traiettoria
• Coordinata unilinea s(l)

Accelerazione scalare media ed istantanea

• Accelerazione ⇒ Variazione di velocità

Accelerazione media: a_m(t, t+Δt) = Δv(t, t+Δt) / Δt = [v(t+Δt) - v(t)] / Δt

Accelerazione istantanea: a(t) = lim_Δt→0 a_m(t, t+Δt) = lim_Δt→0 [v(t+Δt) - v(t)] / Δt

a(t) = dv/dt = ṽ = d²s / dt² = ṡ (derivata seconda dello spazio rispetto al tempo)

[a_m] = [a] = [Δv/Δt] = [L^T-1/T] = [L^T-2] ⇒ [m/s²]

s(t) = a + bt + ct² + dt³

v(t) = ds/dt = ṡ = b + 2ct + 3dt²

a(t) = dv/dt = d²s/dt² = ṡ = 2c + 6dt

s(t) = A⋅cos(ωt) ⇒ v(t) = ds/dt = -Aωsin(ωt)

a(t) = d²s/dt² = (-Aω)ω⋅cos(ωt) = -Aω²cos(ωt)

1. Durante il moto il vettore ṽ non resta costante al trascorrere del tempo ma cambia modulo e/o direzione.

Accelerazione vettoriale

Velocità media vettoriale definisce accelerazione vettoriale

Accelerazione media: ā_m(t, t+Δt) = Δṽ / Δt = [ṽ(t+Δt) - ṽ(t)] / Δt

Accelerazione istantanea: ã = lim_Δt→0 ā_m = lim_Δt→0 [ṽ(t+Δt) - ṽ(t)] / Δt

ã = dṽ/dt

ã = d²P/dt²

ã = d²r/dt²

⃗a = ⃗v

ã = P

⃗a = ⃗r

Problema Inverso

Esempio di problema inverso: NOTA LA VELOCITÀ

La posizione

• X(t)
• Y(t)
• Z(t)

dX = dx/dt = f_x(x,y,z,t)

dY = dy/dt = f_y(x,y,z,t)

dZ = dz/dt = f_z(x,y,z,t)

Ci sono ∞ soluzioni

Se voglio una sola soluzione, devo introdurre altri dati: condizioni iniziali

dX = dx/dt = f_x(t)

dY = dy/dt = f_y(t)

dZ = dz/dt = f_z(t)

X(t) = ∫_t1^t f_x(t') dt'

Y(t) = ∫_t2^t f_y(t') dt'

Z(t) = ∫_t3^t f_z(t') dt'

t₁, t₂, t₃ costanti arbitrarie

Condizioni Iniziali

Per t = t₀ , X(t₀) = X₀ , Y(t₀) = Y₀ , Z(t₀) = Z₀

X₀, Y₀, Z₀ sono delle costanti

X(t) = X₀ + ∫_t0^t f_x(t') dt'

Y(t) = Y₀ + ∫_t0^t f_y(t') dt'

Z(t) = Z₀ + ∫_t0^t f_z(t') dt'

Posizione iniziale

r₀ = X₀ i + Y₀ j + Z₀ k

r(t) = r₀ + ∫_t0^t v(t') dt'

Condizione iniziale

Soluzione Unica

Esempio problema inverso unidimensionale

a(t) = a

Trovare moto x(t)

x(t) = ∫_t0^t v_x(t') dt'

x(t) = ∫ a dt = a/2 (t² - t₀²)

x(t) = X₀ + a/2 (t² - t₀²)

Condizioni iniziali: X(t₀) = 0

Soluzione: X(t) = X₀ + ∫_t0^ta(t') dt = a/2 t²

Moto rettilineo uniforme

• Moto a velocità costante
• Traiettoria rettilinea

1. v è costante ⇒ velocità media = velocità istantanea

   x(t) = x_o + v · t (LEGGE ORARIA)

   • t: è un tempo generico
   • x_o posizione iniziale

2. v > 0 ⇒ Quando il pt si muove concorde all’asse

   v < 0 ⇒ Quando il pt si muove discorde all’asse

3. a = 0 perché v è costante

|v| = costante ⇒ S(t) = S t = costante

a_t = S ũ_t = 0

1. a_n = s²₂

La posizione del corpo la posso esprimere anche con i vettori

r(t) = r_o + v_o · t = r_o + S ũ_t · t

• posizione dell'istante t
• posizione iniziale

Le equazioni parametriche del moto sono:

Moto in Coordinate Cilindriche

_r, _ψ cambiano durante il moto

Uso le coordinate cilindriche quando asse _z è importante per il moto

Velocità in Coordinate Cilindriche

• _x1 = cos_ψrn + sin_ψrp
• _y1 = -sin_ψrn + cos_ψrp
• _k = _K

• _i = cos_ψrn - sin_ψrp
• _j = sin_ψrn + cos_ψrp
• _k = _K

d_x/dt = - _ψsin_ψrn + _ψcos_ψrp - _ψ(-sin_ψi + cos_ψj) - _ψrn

d_y/dt = - _ψcos_ψi - _ψsin_ψj - _ψ(cos_ψi + sin_ψj) - _ψrn

d_k/dt = 0 (_k non dipende dal tempo)

Quindi

Posizione

P - O = r_nrn + z_K

Velocità

_N = p = r_nrn + r_prp + z_K

Accelerazione

_a = _j - _ψ²_rn + (2_{r ψ} + _ψ²)_rp + z_K

F = velocità radiale

_φ = velocità angolare