Cinematica delle masse

Cinematica delle Masse

Iniziamo con lo studio di grandezze legate linearmente alle velocità dei punti del sistema.

Consideriamo un sistema _S([_Pi,_mi],..., [_Pn,_mn]) ed un riferimento _Σ che ne osserva il moto (consideriamo ⊂Σ inersiale per semplicità).

Ponendo che ∀ _Pi è associata una velocità _Ji con _t.s.m. possiamo considerare il sistema di vettori applicati {[_Pi,_miJi]} a cui possiamo associare la risultante del sistema come:

[_Q=∑_i=1ⁿ_miJi]: Quantità di Moto

e allo stesso tempo possiamo calcolare il momento risultante di tale sistema rispetto ad una polo O arbitrario (fisso, o mobile)

[_V(O)=∑_i=1ⁿ_mi(_Pi-_O)×_Ji]: Momento della Quantità di Moto.

Attenzione: Per un sistema continuo _C di densità _ρ(_P) avremo invece:

[_Q=∫_cρ(_P)_J(_P)d_C],[_V(O)=∫_c(_P-_O)×_ρ(_P)_J(_P)d_C]

Tutti i risultati che verranno riferiti a sistemi discreti si applicano anche a sistemi continui.

Cinematica delle Masse

Iniziamo con lo studio di grandezze legate linearmente alle velocità dei punti del sistema.

Consideriamo un sistema S(_t, m_i)...^∞ m_i / ed un riferimento Σ che ne osserva il moto (consideriamo Σ inersiale per semplicità).

Ponendo che ∀ P_i è associata una velocità v_i con t.s.m possiamo considerare il sistema di vettori applicati (P_i, m_i * V_i), a cui possiamo associare la risultante del sistema come:

Q = ∑_i=1^m m_i * V_i : Quantità di Moto

e allo stesso tempo possiamo calcolare il momento risultante di tale sistema rispetto ad una polo O arbitrario (fisso o mobile)

V(O) = ∑_i=1^m m_i (P_i - O) x V_i : Momento della Quantità di Moto

Attenzione: Per un sistema continuo C di densità ρ(P) avremo invece

Q = ∫_c ρ(P) V(P) dc ; V(O) = ∫_c ((P-O) x ρ(P) V(P)) dc

Tutti i risultati sopra che verranno riferiti a sistemi discreti si applicano anche a sistemi continui.

Quando il momento risultante (), è applicabile la formula di trasposizione dei momenti:

[ _{(′) = () + ( − ′) ×} ]

Teorema della Quantità di Moto Totale

Riguardo i vettori e (), il centro di massa del sistema possiede proprietà notevoli.

1. Derivando rispetto al tempo ( - )

Si ottiene:

₍₎ = ¹/ ∑ = ¹/ = >

=>

[ _{= ()} ]

Ovvero la quantità di moto totale corrisponde alla quantità di moto relativa al centro di massa, in cui è ovviamente applicato tutte le masse del sistema.

2. Altre proprietà sono legate all’introduzione di un osservatore ∑ che trasla rispetto a ∑ con la velocità del centro di massa

DEF: Si chiama moto relativo al centro di massa il moto del sistema osservato da un riferimento ∑ che trasla rispetto al riferimento fisso ∑ con la velocità del centro di massa.

Un simile riferimento si ottiene, ad esempio, ponendo l’origine in ₀ ed assumendo gli assi paralleli a quelli della forma ∑

indicando con J_i ^' le velocità dei punti P_i nel moto relativo

al centro di massa e introducendo la scomposizione

J_i ^' = J_i ^' + J (_Po)

abbiamo che:

I)    Q = ∑_i m_i J_i ^' = ∑_i m_i J_i ^' + ∑_i m_i J (_Po)

dalla precedente proprietà, avendo visto che Q = m J (_Po)

dove m = ∑_i m_i , risulta evidente (∑_i m_i J_i ^' = 0)

ovvero volendo calcolare la quantità di moto del sistema

relativo al centro di massa avremo

    Q_i = ∑_i m_i J_i ^' = 0

ciò vuol dire che la quantità di moto totale del

sistema riferita al Sest. di Riferomento relativo al centro

di massa (∑') è nulla.

II)