Cinematica delle masse

Cinematica delle Masse

Iniziamo con lo studio di grandezze legate linearmente alla velocità dei punti del sistema.

Consideriamo un sistema \( S\{(P_i, m_i) \} \) ed un riferimento \(\sum\) da cui osserviamo il moto. (canonicamente si usa il materiale per semplicità)

Ponendo che \(\forall P_i\) è associata una velocità \(\vec{V}_i\) con \(t_i \in m\), possiamo considerare il sistema di vettori applicati \(\{P_i, m_i, \vec{J}_i \} \) a cui possiamo associare la risultante del sistema come:

\[\vec{Q} = \sum_{i=1}^{N} m_i \vec{J}_i \] : Quantità di Moto

e allo stesso tempo possiamo calcolare il momento risultante di tale sistema rispetto ad un polo arbitrario (fisso o mobile)

\[\vec{V}(O) = \sum_{i=1}^{N} m_i (P_i-O) \times \vec{J}_i \] : Momento della Quantità di Moto

Attenzione: Per un sistema continuo C di densità \(\rho(P)\) avremo invece

\[\vec{Q} = \int_C \rho(P) \vec{J}(P) dC \ ; \; \vec{V}(O) = \int_C (P-O) \times \rho(P) \vec{J}(P) dC\]

Tutti i risultati che verranno riferiti a sistemi discreti si applicano anche a sistemi continui.

Teorema della Quantità di Moto Totale

Riguardo i vettori Q e N(O), il centro di massa del sistema possiede proprietà notevoli.

a) derivando rispetto al tempo

\[ (P_c-O) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{n} m_i (P_i-O) \]

si ottiene:

\[ \dot{P_c} = \frac{1}{m} \sum_ i m_i \dot{P_i} = \frac{1}{m} Q \quad => \]

\[ Q = m \dot{P_c} \]

ovvero la quantità di moto totale corrisponde alla quantità di moto relativa al centro di massa, in cui è ovviamente applicato tutte le masse del sistema.

Altre proprietà sono legate all'introduzione di un osservatore ∑ che trasla rispetto a ∑ con la velocità del centro di massa.

Def: Si chiamano moto relativo al centro di massa il moto del sistema osservato da un riferimento ∑ che trasla rispetto al riferimento fisso ∑ con la velocità del centro di massa.

Un siffatto riferimento si ottiene, ad esempio, ponendo l'origine in P_c ed aumentando gli assi paralleli a quelli della forma ∑.

Scrivendo il termine

[ \frac{1}{2} \sum m_i \vec{v}_i^2 \right] =

come energia cinetica del sistema riferita a ∑

l'energia cinetica totale per un sistema di punti materiali

come

[ \frac{1}{2} + \frac{1}{2}m \left[ \vec{V}_0 \right]^2 ]:

Energia Cinetica Totale

Ovvero l'energia cinetica totale di un sistema rispetto a ∑ è uguale

alla somma dell'energia cinetica del centro di massa riferita a ∑ all'energia cinetica

dei vari "pezzi" (punti) riferita al centro di massa ∑.

(ricordiamo che ∑ è contato in O, centro di massa, in questo caso O = P_0)

• Come dimostrato precedentemente, per il teorema di Koenig vale anche

U(O) = U^I(O) + (P_0 - O) x Q

[in questo caso invece O è un polo generico con O ≠ P_0]

Nota:

mi ricordo di queste grandezze il centro di massa ha proprietà parallele a quelle del teorema di

Huygens per i momenti di secondo grado, ovvero le grandezze riferite al centro di massa

(e quindi misurate nel centro di massa) assumono valore minimo.

Atto di Moto Elicoidale

Q ∉ Asse istantaneo di Moto ; O ≠ P_o

Q = m J(O) + ω x [P_o - O]

K(O) = m [(P_o - O) x J(O) + G(O) ω]

T = 1/2 m |J(O)|² + 1/2 I_w ω² + [m J(O) . ω x (P_o - O)]

Se O ≡ P_o abbiamo

Q = m J(P_o)

V(P_o) = G(P_o) ω (#)

T = 1/2 m |J(P_o)|² + 1/2 I_o ω² (3*)

Se O ≡ Asse istantaneo di Moto [cambia solo T]

T = 1/2 m |J(O)|² + 1/2 I_w . ω² (2*) / J(O) || ω

Se O ≡ Asse ist. di Moto v O ≡ P_o

T = 1/2 m |J(P_o)|² + 1/2 I_o ω² (3*) / I_o : mom. inercia baricentrico

Ⅰ Oss: I la (*) assume la forma tipica delle precessioni

Ⅱ Si osserva che se si pone P_o ≡ O la (1*) e la (2*) assumono la forma (3*) e quindi esse riproducono il teorema di Viornic per sistemi Rigidi.

dalle (3^*) e dalle (4^*) risulta:

_∂T = ∑ m_{i Ji} · _∂Ji = Q · ∂Vⁱ _{∂qk i=1} ∂q_k

...subisce anche la relazione

_∂T = ∑ m_{i Ji} · _∂Ji = Q · ∂Vⁱ (5^*)
_{∂qk i=1} ∂q_k

e tenendo conto dell'espressione

V = ∑ _∂C q_k + _∂C

si deduce _∂V = _∂C ⇒ tenendo conto delle (2^*) e delle (5^*) _{∂qk ∂qk} abbiamo.

[Q_o,_n = Q _∂C = Q _∂V = _∂T] _{∂qn ∂qn} ∂q_n

Ricordando la (3^*) _d Q_o,_n = (_Q)_o,_n + _∂T

e sostituendo il risultato ottenuto nelle (6^*)[_Q]_o,_n = _d Q_o,_n − _∂T ⇔ _dt _∂qn

↔ ^Q_o,_n = _{d ∂T} − _{∂T d}t _{∂qn ∂qn}

Nota: _Qo,_n dovrebbe rappresentare la forza generalizzata.