Cinematica del punto materiale; MRU,MRUA,MA

Cinematica del pto materiale

t_n ≤ t₂ ≤ t₃

la linea è detta TRAIETTORIA seguita dal corpo

le frecce indicano il VERSO DI PERCORRENZA delle traiettorie

Per individuare la posizione del corpo serve fissare un SISTEMA DI RIFERIMENTO → sistema cartesiano

SISTEMA CARTESIANO: ha un'origine e tre direzioni ortogonali

posizione del pto nello spazio → terna di coordinate (x; y; z)

legge oraria: legge che lega le coordinate x (spazio al rettilineo percorso) nel tempo, scrivo x(t)

1. traiettoria rettilinea
   • origine è un punto sulla retta delle traiettorie
   • direzione lungo la traiettoria
   • verso positivo (arbitrario)

Velocita

rapidità con cui il corpo si muove nello spazio

In particolare definiamo la velocita' media

V_m = (x₂ − x₁) / (t₂ − t₁) = Δx / Δt = tg α (trigonom)

la velocita' è il coefficiente angolare della retta congiungente

Cinematica del pto materiale

t₁ < t₂ < t₃

la linea è detta TRAETTORIA seguita dal corpole frecce indicano il VERSO DI PERCORRENZA della traiettoria

Per individuare la posizione del corpo serve fissare un SISTEMA DI RIFERIMENTO

SISTEMA CARTESIANO: ha un'origine e tre direzioni ortogonaliposizione del pto nello spazio → terna di coordinate (x; y; z)

legge oraria: legge che lega le coordinate x (spazio al realistitivo istruito) scrivo x(t)

1. traiettoria rettilinee
   • origine è un punto sulla retta delle traiettorie
   • direzione lungo la traiettorie
   • verso positivo (arbitrario)

t xt₁ x₁t₂ x₂t₃ x₃t_n x_n

Velocità: rapidità con cui il corpo si muove nello spazio

In particolare definiamo le velocità media

V_m = (x₂ - x₁) = Δx = ^x₂/_{t2 + t1}             Δt  ^x_n= tg α (trignom)

la velocità è il coefficiente angolare delle rette congiungiate

legge oraria di un corpo che si muove nell'intervalloΔt cui velocità parialla velocità media

la retta è la legge oraria che approssima la traiettoria di un punto che si muove nello spazio (suppongo che V sia costante)

→ il punto è _Vm fornisce un'inf. complessa, non vale da informazioni e cause ma  → 

Immagino di ridurre l'intervallo Δt

il segmento si approssimere sempre più al grafico delle legge oraria per Δt →0

NB → pensa alle derivate

di derivate: il limite del rapporto incrementale

→ Δt e Δx sono diventati intervalli infinitesimi e il segmento AB divente tangente al grafico delle legge oraria

introduco la velocità istantanea:

lim _{Δt → 0Vm} = lim _{Δt → 0}^Δx/_Δt = ^dx/_dt = v → velocità istantanea

^Δx/_Δt sarebbe ^Δx ma Δx e Δt sono infinitesimi

v(t) = ^dx/_dt = tang._t le velocità istantanee è la derivate della posizione nel tempo

utilizzazione allor grafico delle legge onaria

nel punto C all'aumento del tempo la velocità diminisse quindi il rapporto ^Δx/_Δt è negativo.

quindi l'compo si allontana si ferisce e poi tonna uidiento.

x(t) = st²

V(t) = lim_Δt→0 Δx/Δt = lim_Δt→0 (s(t+Δt)²-st²)/Δt

= lim_Δt→0 (st² + sΔt² + 2stΔt - st²)/Δt

= lim_Δt→0 sΔt + 2st = 10t

d(tⁿ)/dt = nt^n-1 → defizione di derivata → x'(t) = 10t

NB * la x e t e x' e x cioè la posizione

Problema universo delle cinematica

nota V(t) ? x(t)

nuovo Δx = x₂ - x₁

Vmi = Δxi / Δti

Δxi = VmiΔti

Δx = lim_Δt→0 ∑VmiΔti = ∫V(t) dt

Δx = lim_Δt→0 ∑VmiΔti = ∫V(t) dt

x(t₂) - x(t₁) = ∫_t1^t2 V(t) dt

= ∫_x(t1)^x(t2) V(t) dt

Per risolvere l'integrale devo trovare una primitiva di V(t) → dF(t)/dt = V(t)

e applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale : ∫_t1^t2 v(t')dt' = F(t₂) - F(t₁) = [F(t)]_t1^t2

Moto rettilineo uniforme (MRU)

• Velocità costante
• Legge oraria

x(t) = x(t₀) + ∫_t₀^t V dt

t(t) = t

= x₀ + V [t]_t₀^t = x₀ + V(t - t₀)

MRU

• x(t) = x₀ + V(t - t₀)
• V(t) = V = costante

Se t₀ = 0 e x₀ = 0 => x(t) = Vt

Accelerazione:

rapidità di variazione della velocità nel tempo

A_m = ΔV/Δt

A(t) = dV/dt = lim_Δt→0 (ΔV/Δt)

(deriv.)

E la derivata seconda alla legge oraria:

A livello dimensionale:

V_m = Δx/Δt

[V] = [L]/[T] = m/s

A_m = ΔV/Δt

[a] = [L·T^-1]/[T]

[T²] = [L]/[T²] = m/s²

Moto rettilineo uniformemente accelerato

• accelerazione costante

VEL:

V(t) = V₀ + ∫ a dt = V₀ + a(t-t₀)

X(t) = X₀ + ∫_t0^t [V₀ + a(t-t₀)] dt = X₀ + ∫_t0^t V₀ dt + ∫_t0^t a(t-t₀) dt

X(t) = X₀ + V₀(t-t₀) + ¹/₂ a(t-t₀)²

MRUA

• a = costante
• V(t) = V₀ + a(t-t₀)
• X(t) = X₀ + V₀(t-t₀) + ¹/₂ a(t-t₀)²

Suppongo che t₀ = 0, V₀ = 0, X₀=0

• a = cost
• v = at
• x = ¹/₂ at²

Moto armonico

x(t) = A cos(ωt + φ₀)

[L] [L]

NB: analisi dimensionale e un termine adimensionale

cos (ωt + φ₀)

• A è una lunghezza ed è detta ampiezza del moto.
• L'angolo φ (t) è il rapporto tra l'arco sotteso e il raggio.
• ωt + φ₀ è detto fase iniziale.

• ω = 1 / [T]

cos φ = cos (φ + 2π)

Δφ = 2π → è il periodo

Δφ = 2π = ω (t + T) + φ₀ = ω (wt + φ₀) =

= ψt + ωt + ψ₀ - ωT - φ₀ ⇒ 2π = ωT

⇒ 2π / ω ⇒ ω = 2π / T

φ₀ = 0

x = A cos (ωt)

ν = d[ A cos (ωt) ] / dt = A d[ cos (ωt)] / dt = A(-sen ωt) ω =

= -Aω sen (ωt)