Cinematica del punto 2

Cinematica del punto rispetto alla terna intrinseca

La legge oraria del punto P su una curva Γ è data dalla funzione vettoriale:

P = P(s)

P = P (s(t))

ovvero P è funzione del tempo t, ma rispetto all’ascissa curvilinea s.

La velocità del punto rispetto alla terna intrinseca sarà:

v(P) = ^dP/_dt = ^dP/_ds ^ds/_dt = ṡt

^versore t, ^{velocità tangenziale} v_t, ^{velocità scalare} ṡ

mentre l’accelerazione:

a(P) = ^dV(P)/_dt = ^d/_dt (ṡt) = S̈t + ṡ ^d/_dt t

^{acc. scalare}

moltiplicando il secondo termine per ^ds/_dt otteniamo:

...

do ora:

a(P) = S̈t + ¹/_ρ ṡ² n

^{acc. tangenziale}, ^{acc. centripeta}

Casi Particolari:

*) Retta

R → ∞ => ¹/_ρ = 0

v(P) = Ṡ t

a(P) = Ṡ̇ t

I non abbiamo l'acc. centripeta

se Ṡ = cost => Ṡ̇ = 0 => a(P) = 0 : Moto Rettilineo Uniforme

se Ṡ̇ = cost : Moto Rettilineo uniformemente accelerato.

*) Circonferenza di Raggio R: ρ = R ; ¹/_ρ = ¹/_R

v(P) = Ṡ t ; a(P) = Ṡ̇ t + ¹/_R Ṡ² n

se Ṡ = Rɸ̇ diventa

v(P) = Rɸ̇ t = Rω t

a(P) = Rɸ̈ t + Rɸ̇² n = Rω̇ t + Rω² n

acci. tanɡ. acc. centripeta

se ɸ̇ = cost => ɸ̈ = ω̇ = 0 : Moto Circolare Uniforme

per cui | a(P) = Rɸ̇² n = Rω² n |

I versori sono t = -sen θ i + cosθ j

n = -cos i - senθ j

dove θ = ωt per cui X(t) = Rcos(ωt + φ₀)

riconduciamo la condizione iniziale φ(t)₀ = φ₀ per l'integrazione

Dalla legge oraria X(t) si riconosce facilmente che il punto P^* compie delle oscillazioni attorno al punto O (centro di oscillazioni) di ampiezza R

• Se deriviamo due volte rispetto al tempo la legge oraria troviamo l'equazione differenziale caratteristica dei moto armonici semplici.

v(t) = R[ -sin(ωt + φ₀) ω ], dv(t) = - Rcos(ωt + φ₀) ω²

dove d²X(t)/dt² = X; X¨ = -ω² X

L'equazione differenziale di un moto armonico semplice è

[X¨ + ω² X = 0]

È un'equazione differenziale omogenea del secondo ordine. Il suo integrale generale può essere scritto nelle forme:

Integrale Generale { X(t) = A cos(ωt + φ) }

con A > 0; ampiezza del moto; φ costante di integrazione

φ ∈ R per iniziale da valutare in base alle condizioni iniziali

X(0) = X₀; X¨(0) = X¨₀

portando a fattor comune la velocità V_z otteniamo

1/√(1 + R²(φ'/V_z)²)

A conclusione possiamo affermare che, affinché esista un qualunque moto elicoidale è necessario e sufficiente che:

φ'/V_z = cost        per qualunque moto                                          elicoidale

Infatti se abbiamo un moto elicoidale accelerato o decelerato, quindi con variazioni di velocità nel tempo, è sufficiente affinché sia elicoidale che sia verificata la relazione suddetta.

1) Nel caso di moto elicoidale uniforme, invece, la φ'/V_z = cost è necessaria ma non sufficiente per cui le condizioni diverranno

Moto Elicoidale Uniforme

• φ'/V_z = cost
• φ' = cost
• V_z = cost