Cinematica dei fluidi: teoria

CINEMATICA dei FLUIDI

• La cinematica dei fluidi studia il moto dei fluidi e il modo in cui è possibile descrivere tale moto.
• Descrizione lagrangiana del moto: determinazione del vettore posizione e delle relative velocità di ciascun oggetto/particella di fluido in funzione del tempo -> molto complicato per i fluidi!

Descrizione euleriana del moto:

• Definizione di un VOLUME di CONTROLLO, attraverso le cui superfici in entrata e in uscita il fluido entra ed esce.
• Definisco nel volume di controllo la definizione delle variabili di campo (a due spazio e due tempo).

CAMPO di VELOCITÀ: campo vettoriale

V = V(x,y,z,t)

CAMPO di ACCELERAZIONE: campo vettoriale

a = a(x,y,z,t)

In coordinate cartesiane:

V = V_x(x,y,z,t) î + V_y(x,y,z,t) ĵ + V_z(x,y,z,t) k̂

a = a_x(x,y,z,t) î + a_y(x,y,z,t) ĵ + a_z(x,y,z,t) k̂

CAMPO di ACCELERAZIONE

• Se io dovessi acquisire una particella di fluido mentre si muove in una corrente -> descrizione langrangiana

Teorema di Newton applicato ad un particella:

F_p = m_p a_p

per defin:

a_p = dV_p/dt

V_p(t) ≡ (χ_p(t), ψ_p(t), ζ_p(t))

Quindi:

dV_p/dt = a(χ_p(t), ψ_p(t), ζ_p(t))

CINEMATICA dei FLUIDI

La cinematica dei fluidi studia il moto dei fluidi e il modo in cui è possibile descrivere tale moto.

Descrizione lagrangiana del moto: determinazione del vettore posizione e del vettore velocità di ciascun oggetto/particella di fluido in funzione del tempo. → molto complicato per i fluidi!

Descrizione euleriana del moto:

• definizione di un VOLUME di CONTROLLO, attraverso le cui superfici si controlla il fluido entro tale volume;
• all'interno del volume di controllo, definizione delle variabili di campo (→dello spazio e del tempo).

CAMPO di VELOCITÀ: campo vettoriale V=V(x,y,z,t)

CAMPO di ACCELERAZIONE: campo vettoriale a=∂(V(x,y,z,t))

In coordinate cartesiane: V=V_x(x,y,z,t)i+V_y(x,y,z,t)j+V_z(x,y,z,t)k

(componenti della velocità) (versori nelle direzioni x, y, z)

a=a_x(x,y,z,t)i + a_y(x,y,z,t)j + a_z(x,y,z,t)k

CAMPO di ACCELERAZIONE

Se si dovesse seguire una particella di fluido mentre si muove in una corrente = descrizione lagrangiana

particella di fluido tra tempo t e t + dt

Teorema di Newton applicato alla particella:

F_p=m_pa_p

per def.: a_p=dV_p/dt

V_p(t)≡{x_p(t),y_p(t),z_p(t)}

→ velocità in un generico istante t assunta nel punto di coord x_p, y_p, z_p in cui si trova la particella

Quindi: dV_p/dt={d/dt [x_p(t), y_p(t), z_p(t)]}={d/dt, d/dt, d/dt}

(34)

Si considera il II^o termine per il quale risulta:

dX_p/dt = dX_s/dt,   dY_p/dt = v_f,   dZ_p/dt = v_i

In ogni sistema il campo di accelerazioni è a̅ = a̅(x, y, z, t) e deve essere uguale all'accelerazione della particella di fluido che occupa la posizione x, y, z in quell'istante perché la particella di fluido accelera con lo stesso valore.

Per questo possiamo scrivere l'equazione:

∀ a̅ = a̅(x, y, z, t)

Posso riscrivere la (2):

a̅(x, y, z, t) = ∂v̅/ ∂t + (v̅) v̅

In coordinate cartesiane le componenti del vettore accelerazione sono:

A_x = ∂v_x/∂t + v_x ∂v_x/∂x + v_y ∂v_x/∂y + v_z ∂v_x/∂z

A_y = ∂v_y/∂t + v_x ∂v_y/∂x + v_y ∂v_y/∂y + v_z ∂v_y/∂z

A_z = ∂v_z/∂t + v_x ∂v_z/∂x + v_y ∂v_z/∂y + v_z ∂v_z/∂z

Il II^o termine della (3) è chiamato acceleratione locale. È ≠ da 0 solo quando il moto è vario.

Il I^o termine è chiamato acceleratione convettiva e può essere diverso da zero anche quando il moto è permanente.

Le grandezze caratterische rimangono costanti nel tempo in ciascun pt del campo.Nel moto permanente ax, locale è ≠ da 0.

L'operatore di derivata medio (3) viene chiamato in molti modi derivata totale sostanziale, materiale o euleriana.

D-- = Ddt -- Dt

- ottenuta seguendo una particella di fluido nel suo mantenimento nel campo di moto.

D d-- = -- + (.) (4)Dt dt --

Quando si applica l'operatore derivata totale al campo di velocità il risultato è il campo di accelerazione (3), campo di acceleraz-ione totale.

(4) può essere applicato anche ad altre grandezze caratteristicadel fluido: es.

Dp ⎛ ∂p⎞-- = ⎜⎜ -- ⎟⎟ + (.)p (derivata totale della pressione)Dt ⎝ ∂t⎠

LINEE di FLUSSO o linee di corrente

All'istante generico t₀ sia noto in ogni pt del campo del moto il vettor velocità.

Una linea di flusso è una curva tangente in ogni punto al vettore velocità in quel punto.

In ogni punto del campo di moto passa una sola linea di corrente.

Sono utili come indicatori della dir. istantanea del moto nei vari punti del campo.

_{x y z}Considero tratto di curva infinitesimo:df² = dx² + dy² + dz²

Per def di linee di flusso: df˙ // d

df = n_x i + n_y j + n_z k =

Per la similarità dei Triangoli:df dy dz⎛⎜ ⎞⎟ = ⎛ --⎞ = (x,y,z,t₀)dx ⎝⎝ x,y,z,t₀⎠⎠

così ⎛ nm campo di velocità moto fornisce le eq delle linee di flusso(x,y,t)

In un moto bidimensionale si ottiene l'eq differenziale dx = dy per cui le linee del flusso del campo di moto sono rappresentate dalla famiglia di curve che la soddisfa →

Traiettorie

• Una traiettoria è il percorso realmente effettuato da una particella di fluido in un certo intervallo di tempo.
• È individuata dall’insieme delle coordinate Xp(t), Yp(t), Zp(t) dei punti raggiunti nei successivi istanti da una particella di fluido.
• PIV (particle image velocimetry): tecnica utilizzata per il rilievo del campo di velocità in un piano all’interno di una corrente.
• Posso ricavare la traiettoria anche numericamente:

  X = Xi + ∫ V_t dt

• Se il campo di velocità è permanente, la singola particella di fluido si muoverà lungo le linee di flusso. Quindi nel caso di moto permanente, traiettorie e linee di flusso coincidono.
  • (Linea di flusso: è riferito ad un determinato istante)
  • (Traiettoria: è riferito ad un intervallo di tempo finito)

Linee di fumo

• Una linea di fumo è il luogo delle particelle di fluido che sono passate in sequenza in uno stesso punto del campo di moto.
• Generate negli esperimenti inserendo in una corrente liquida un liquido colorato, in una corrente d’aria del fumo; esperienze condotte in galleria del vento.
• Moto vario: campo di velocità cambia istante per istante e le linee di fumo non somigliano in nessun istante né ad una linea di flusso né ad una traiettoria.
• Moto permanente: linee di flusso, traiettorie e linee di fumo sono identiche.

Elementi del moto:

• Traiettoria
• Linea di corrente o di flusso: visualizzazione di una linea di flusso
• Linee di fumo: visualizzazione di un determinato istante

TIPI di MOTO e di DEFORMAZIONE DEGLI ELEMENTI FLUIDI

1. MOTO di TRASLAZIONE → velocità di traslazione rigida
2. MOTO di ROTAZIONE → velocità di rotazione rigida o velocità angolare
3. DEFORMAZIONE LINEARE → velocità di def. lineare
4. DEFORMAZIONE ANGOLARE → velocità di def. angolare

\( \vec{v} = v_x \mathbf{i} + v_y \mathbf{j} + v_z \mathbf{k} \)

VETTORE VELOCITÀ

VELOCITÀ di TRASLAZIONE

Il vettore velocità di traslazione è descritto come il vettore velocità

\( \vec{v} = v_x \mathbf{i} + v_y \mathbf{j} + v_z \mathbf{k} \)

VELOCITÀ di ROTAZIONE o velocità angolare

La velocità angolare in un punto è definita come la velocità media di rotazione di due rette inizialmente perpendicolari che si intersecano in quel punto:

\( \vec{\omega} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_z}{\partial y} - \frac{\partial v_y}{\partial z} \right) \mathbf{i} + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_x}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial x} \right) \mathbf{j} + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y} \right) \mathbf{k} \)

VELOCITÀ di DEFORMAZIONE LINEARE

• Deformazione lineare: allungamento di un elemento rettilineo per unità di lunghezza

=> la velocità di deformazione lineare è la def. lineare nell'unità di tempo cioè la velocità con la quale si verifica tale allungamento unitario.

In coordinate cartesiane:

_Exx = ∂Ux/∂x    _Eyy = ∂Uy/∂y    _Ezz = ∂Uz/∂z

• Se il fluido è incomprimibile, il volume di un elemento di fluido in moto deve rimanere costante: se l'elemento si allunga in una direzione, nelle direzioni ortogonali si deve accorciare della quantità corrispondente
• Se il fluido è comprimibile, V può aumentare o diminuire

=> la velocità di deformazione cubica o volumetrica è la velocità con la quale si verifica la variazione di volume dell'unità di volume.

In coordinate cartesiane:

(1/V)(dV/dt) = _Exx + _Eyy + _Ezz = ∂Ux/∂x + ∂Uy/∂y + ∂Uz/∂z

Oss: per un fluido incomprimibile la velocità di def. cubica è nulla.

VELOCITÀ di DEFORMAZIONE ANGOLARE o tangenziale

• È la metà della velocità con cui diminuisce l'angolo tra due rette inizialmente ortogonali che si intersecano nel punto

Se l'angolo diminuisce => def + aumenta => def -

Exy = 1/2 (∂Ux/∂y + ∂Uy/∂x)

Exz = 1/2 (∂Ux/∂z + ∂Uz/∂x)

Eyz = 1/2 (∂Uy/∂z + ∂Uz/∂y)

È possibile combinare la velocità di deformazione normale e quella tangenziale in un unico tensore simmetrico del secondo ordine detto TENSORE della VELOCITÀ di DEFORMAZIONE.

VORTICITÀ e ROTAZIONALITÀVORTICITÀ: proprietà cinematica strettamente correlata al vettore velocità; il vettore vorticità è definito matematicamente come il rotore del vettore velocità v⁵

(5)

Il vettore velocità angolare è pari ad 1/2 del vettore vorticità

La vorticità è una misura della rotazione di una particella di fluido. In particolare:

La vorticità è uguale al doppio della velocità angolare di una particella di fluido

- _n ≠ ∅ → la particella sta ruotando→ MOTO ROTAZIONALE

- _n = ∅ → le particelle del fluido non stanno ruotando→ MOTO IRROTAZIONALE

Nella strato limite viscoso in prossimità di una parete solidail moto è rotazionale, al di fuori dello strato limiteil moto è irrotazionale.

La vorticità di un elemento di fluido non può cambiare senon per azione delle viscosità di un gradiente di temperaturao di altri fenomeni non uniformi.

In coordinate cartesiane la (5) può essere scritta come:

_n = (∂_wz/∂_y - ∂_wy/∂_z) i + (∂_wx/∂_z - ∂_wz/∂_x) j + (∂_wy/∂_x - ∂_wx/∂_y) k

In un moto bidimensionale nel piano xy, non c'è componentedelle velocità lungo z:

_n = (∂_Wy/∂_x - ∂_Wx/∂_y) k→ vettore vorticità // all'asse z

Caso particolare: si considerino due moti a linee di corrente circolari

CONFRONTO TRA DUE MOTI CIRCOLARI

MOTO A MOTO B

- Moti con linee di flusso circolari non sono necessariamenterotazionali.

Si considerino due moti permanenti e bidimensionali di unfluido incomprimibile, entrambi con linee di flusso circolarinel piano xy.Sono riportati anche i due profili di velocità →

MOTO A:

moto di rotazione rigida definito da:

Nr = 0Nφ = wr

MOTO B:

vortice piano, definito da:

Nr = -φNφ = kNφ pr ≠ 0 IMPOSSIBILE!

w e k sono due costantiNr = componente radiale della velocità. In entrambi i casi è nulla.Le linee di flusso sono orf concentriche.

Nel caso A:Ω = 1/r(_∂(wr²)/_∂x - 0) e_z = 2we_z ≠ φ

Nel caso B:Ω = 1/r(_∂k/_∂r - 0) e_z = φ

Vortice pianoNr = φ dunque(∞) RUOTA ANTIPARALLELA

Moto di rotazione rigidaho Nr = φ/2modulo pari al doppio della velocità angolare, direzione e verso costanti(∞) GIOSTRA

TEOREMA del TRASPORTO di REYNOLDS

• Termodinamica e meccanica dei solidi → SISTEMA (o sistema di riferimento chiuso)
• Meccanica dei fluidi → VOLUME di CONTROLLO (o sistema aperto emettitore e assorbito)

Teorema del trasporto di Reynolds: Definisce la relazione che lega la velocità di variazione di una proprietà in un sistema con l'analoga quantità in un volume di controllo.

"La variazione nell'unità di tempo della grandezza B del sistema è uguale alla variazione nell'unità di tempo della grandezza Bdel volume di controllo più il flusso di B attraverso la supercifie."

Quantità che attraverso la superficie nell'unità di tempo,differenza tra flusso uscente e quello entrante