Campo ordinato logaritmo e potenze - Analisi 1, libro consigliato Zamboni

Indice documento

• Campo
• Campo ordinato
• Sottocampo
• Isomorfismo tra campi
• Teorema: campo totalmente ordinato
• Proprietà del campo
• Disuguaglianza di Bernoulli
• Sup e Inf
• Algoritmo euclideo
• Radice ennesima
• Potenze
• Proprietà potenze

Campo

Un insieme astratto dove si verificano le operazioni di somma e prodotto. Sia un campo se, denotato con (K, +, •) un insieme K ≠ Ø in cui sono definite le operazioni binarie di somma e prodotto, tali che:

1. K è un gruppo abeliano (vale delle proprietà commutative) rispetto la somma, ovvero deve godere delle seguenti proprietà:
   • (a+b)+c = a+(b+c)   a,b,c ∈ K
   • ∃ 0 ∈ K (elemento neutro)   ∀ u ∈ K, u+0 = 0+u = u
   • ∀ a ∈ K ∀ u ∈ K ∃ (-u) ∈ K (opposto di u)   (-u)+u = 0
   • a+b = b+a   ∀ a,b ∈ K
2. K* è un gruppo abeliano (vale delle proprietà commutative) rispetto al prodotto, ovvero deve godere delle seguenti proprietà:
   • b•c = c•b   a,b,c ∈ K*
   • (a•b)•c = a•(b•c)   ∀ a,b,c ∈ K*
   • ∃ 1 ∈ K* (elemento neutro)   1 • a = a • 1 = a   ∀ u ∈ K*
   • ∀ u ∈ K* ∃ 1/u ∈ K* (reciproco di u)   1/u • u = 1
3. K è un campo se gode delle proprietà distributiva (miste insomma di somma e prodotto)

u(b+c) = u•b + u•c   ∀ a,b,c ∈ K

Campo ordinato

Un campo (K, +, •, ≤) si dice campo ordinato se in K è definito un ordinamento parziale ≤ tale che verifichi le seguenti proprietà:

∀ x,y,z ∈ Z   x ≤ y, z ≥ 0 = x•z ≤ y•z

∀ x,y,z ∈ Z   con z ≥ 0   ⇒ x•z ≤ y•z e il campo ordinato si scrive   (K, +, •, ≤)

Sottocampo

Sia (K, +, •, ≤) un campo ordinato e sia E ⊆ K, E ≠ Ø. Se (E, +, •, ≤) è un campo ordinato rispetto le stesse operazioni di K (+, •, ≤) rispetto allo stesso ordinamento di K (≤) allora E si chiama sottocampo di K.

Isomorfismo tra campi

Siano (K₁, +₁, ⋅₁) e (K₂, +₂, ⋅₂) campi, una funzione f: K₁ → K₂ è un isomorfismo tra K₁ e K₂ se f è una funzione biettiva e se ∀ x, y ∈ K₁ si ha:

• f (x +₁ y) = f(x) +₂ f(y)
• f (x ⋅₁ y) = f(x) ⋅₂ f(y)

Se consideriamo ≤₁ e ≤₂ che sono ordinamenti rispettivamente su K₁ e K₂, allora f è un isomorfismo tra campi ordinati se si ha anche:

x₁ ≤₁ y₁ ⇔ f(x) ≤₂ f(y)

Campo R

Esiste un unico campo ordinato (R, +, ⋅, ≤) unico a meno di isomorfismi tra campi ordinati che ha la proprietà dell'estremo superiore e che è completo rispetto all'ordine e contiene Q come sottocampo.

R = campo dei numeri reali

Q = campo dei numeri razionali (Se c'è un campo che contiene Q questo è isomorfo a R, dice A(w)

Il campo Q

Esso è un sottocampo di (R, ) dove vige le stesse proprietà che deve essere un campo totalmente ordinato. Q = {m/n ∈ Z x N}

Si introduce attraverso una relazione d'equivalenza tra coppie di numeri interi: (m, n) ~ (p, q) ⟺ mq = np ⟺ m/n = p/q

Q ordinamento ≤ m/n Osservazioni: R contiene propriamente Q, Q ⊂ R.

Teorema: campo totalmente ordinato e completo

ℝ è un campo se esistono in ℝ = un gruppo abeliano rispetto all’operazione di somma (ℝ, +) un gruppo abeliano rispetto all'operazione di prodotto (ℝ*, ·) ℝ* = ℝ - 0 godente della proprietà distributiva x(y+z) = xy + xz

ℝ è un campo totalmente ordinato se x = y => x+z = y+z ∀x,y,z ∈ ℝ x ≤ y, z ≥ 0 => x·z ≤ y·z ∀x ∈ ℝ

Proprietà

1. x ≤ y => -x ≥ -y
2. 0 ≤ x -1 ≤ ¹/x
3. x ≤ y, z ≥ 0 => x·z ≤ y·z
4. x > 0 ∀x ∈ ℝ x² > 0 ∀x ∈ ℝ*
5. x² + x² > 0 ∀x ∈ ℝ, ∀x ∈ ℝ*

Archimede

Siano x,y ∈ ℝ, x > 0 => ∃ n ∈ ℕ : nx > y (Se ho un coppia di numeri, uno dei quali positivo, allora esiste un intero n tale che moltiplicando per questo positivo posso superare l’altro)

Dimostrazione (per assurdo):

Supponiamo per assurdo che ∀n ∈ ℕ => nx ≤ y

Sia E = {nx, n ∈ ℕ} ⊆ ℝ E ≠ ∅ e limitato superiormente da y = maggiorante di E(y ∈ E*)

Siccome x > 0 => L - x = m è maggiorante di E

x L - x = ∀e ∈ E

Assurdo perché L - x risulta minore di un elemento di Eusc (1+π)c ∈ ℝ infatti è componente di nx

Densità

Siano x e y ∈ ℝ. x < y

Allora ∃ q ∈ ℚ : x < q < y (ℚ è denso in ℝ)

Dimostrazione:

Applichiamo la proprietà di Archimede a 1 e al (y-x). Essendo x < y → y-x > 0 → ∀ n > 0

Per la proprietà di Archimede ∃ n ∈ ℕ : n(y-x) > 1 ⟺ ny - nx > 1 ⟺ 1 + nx < ny

D'altro parte ∃ m₁, m₂ ∈ ℕ m₁ > hx e m₂ > nx ⟹ ny > m₂ - m₂⟺ -m₂ < nx < m₁

∃ m ∈ ℤ : -m₂ < m < m₁ : m - 1 < hx < m

Sì mi: nx ≤ 1 + nx ny nx < ny → x < ^m/_m < y

E oltre puoi approssimare un numero reale in un razionale con numero razionale.

Disuguaglianza di Bernoulli

Se x ∈ ℝ x > -1 k ∈ ℕ n > 2

Allora (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx

Dimostrazione (per induzione): se posso tra proprietà per primi elementi degli insieme vale allora per gli altri, ossia per tutte le n, vale sempre per n = 2 e così via per ogni n

Proviamo per n = 2 : (1 + x)² ≥ 1 + 2x ⟹ 1 + 2x + x² ≥ 1 + 2x Verificata

Proviamo per n + 1 = (1 + x)ⁿ > 1 + (n + 1)x (Ipotesi Induttiva)

Ripetiamo sulla disuguaglianza verificata (1 + x)^{n + 1} = (1 + x)(1 + nx) = 1 + nx + x + nx² ⟸ Moltiplicazione entrambi i membri per (1 + x) = Si aumenta x essendo un quadrato

Quindi 1 + nx + x < 1 + x + nx + nx

E quindi (1 + x)ⁿ > 1 + x + nx = ⟹ (1 + x)⁽ⁿ⁺¹⁾ ≥ 1 + (n + 1)x

Sup e Inf in R

Consideriamo (R, ≤) e sia E ⊂ R, E ≠ ∅ e limitato superiormente ∃ L = sup E ⇔ 1) L ≥ x ∀ x ∈ E 2) ∀ ε > 0 ∃ x_ε ∈ E : L - ε < x_ε ≤ L

Dimostrazione (per assurdo):

Supponiamo per assurdo ∃ ε₀ > 0, ∀ x_ε ∈ E ⇒ x_ε < L - ε₀

Consideriamo (R, ≤) e sia E ⊂ R, E ≠ ∅ e limitato inferiormente ∃ l = inf E ⇔ 1) l ≤ x ∀ x ∈ E 2) ∀ ε > 0 ∃ x_ε ∈ E : l ≤ x_ε < l + ε

Dimostrazione (per assurdo):

Supponiamo per assurdo ∃ ε₀ > 0, ∀ x_ε ∈ E ⇒ x_ε > l + ε₀

Esempio:

E = {x² | x ∈ R} 2^x > 0 ∀ x ∈ R sup E = +∞ (illimitato superiormente è sempre esistente) inf E = 0 (illimitato inferiormente)

Dimostrazione:

Per dimostrare che E è limitato superiormente dobbiamo dimostrare che non esistono maggioranti ∀ K > 0, ∃ x ∈ R, x² > K

Consideriamo log₂ K ⇒ ∃ x, x > log₂ K ⇒ x / 2 > K ∞ illimitato superiormente

Per dimostrare inf, proviamo che ∀ ε > 0, ∃ x_ε ∈ E, 0 < x_ε < ε

Consideriamo log₂ ε ⇒ ∃ x_ε x_ε < log₂ ε ⇒ x_ε² / 2 < ε

Algoritmo euclideo

Sono ∈, ∈ ∃ (unico) , ∈ : = + 0 ≤ <

Esempi:

= 23, = 3 → = 3.0 + 2 = 5, = 5 → = 5.1 + 0 = 6, = 5 → = 5.1 + 1 = 10, = 2 → = 2.5 + 0

Designo sono unica = + ↔ = /0 ≤ ≤ (moltiplichiamo e dividiamo tutto per 10) = + / = + ₁₀/₁₀

Consideriamo 10 ∈ ℚ tale che 10 = +

中]( = 3) = + /

Quindi → = + ( + /) → = + /₁₀

Consideriamo 10 ∈ ℚ tale che → = + _{2 +} /₁₀ →₁, ₂/₁₀/₁₀ = essi via... = + ₁/₁₀ + ₂/₁₀₀...= .₁₂

S possono presentare 2 casi:

1. n - 2; _k → = .₁/₁₀ + ₁/₁₀
2. n ≠ 2, 5 → = .₁₂..._k → Cifre Periodiche OSS: Non è ammesso & periodico → si pone uguale al numero

Esempio solo: Esempio 54.35 = 5

Radice ennesima

Siano y ∈ R y > 0 n ∈ Nx = y^1/n = y^-n radice ennesima di y ⇒ ∃! x ∈ R x > 0 : xⁿ = y

La radice ennesima di un numero reale non negativo è un numero non negativo per qualsiasi Sia y ≠ 0 y > 0 ⇒ ∀y x = xⁿ dove x è sempre un numero > 0

Sia y se n DISPARI allora √ⁿ-y = -√ⁿy se n PARI allora √ⁿ-y ≠ -√ⁿy

Esempio: ³√8 = ³√8 OSS. x^2/n = |x| ∀x ∈ R, n ∈ Ne

es: √x² = |x|

Potenze

a^x a ∈ R x ∈ RESPONENTE INTERO x = n ∈ Na ≠ 0

aⁿ = a⋅a⋅⋅⋅⋅⋅⋅a n VOLTE

a = 0 aⁿ = 0

Esponente negativo: x = -n ∈ Naⁿ = 1/a ⋅ 1/a ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅n VOLTE

Esponente razionale: x = m/n ∈ Q

u^1/2 = √u v^1/3 = √³v

a^1/n = √ⁿa a^m = a^1/m m = munico se n = 0

a^-m/n = (a^-n)^m = 1/(a^-n)^m = a^-m/n (solo se n dispari)

Esponente reale: x ∈ R (analogo arm.)

a^x se a > 0, a^x se a x

Proprietà potenze

Siano a, b ∈ ℝ , a, b > 0 ed r, s ∈ ℝ

1. a^r+s = a^r ⋅ a^s
2. (a ⋅ b)^r = a^r ⋅ b^r
3. (a^r)^s = a^r⋅s
4. a^-r = ¹/_a^r
5. a⁰ = 1
6. a¹ = a
7. a^r > 1
8. a < 1 r > 0   ⇒ a^r < 1 r > 0   ⇒ a^r > 1
9. r < s  ⇔  ⎧ a^r < a^s   se a > 1
10. a^r > a^s   se a < 1
11. a < 0 ≤ b  ⇔  ⎧ a^r < b^r    se r > 0
12. a^r > b^r    se r < 0
13. se a ≠ 1   e   a^r = a^s   ⇒ r = s