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e per la legge di Faraday-Neumann, si ha ( )

∂ t

H r

2

( ( )

) ( ) ( ) ,

εµ

∇ ∇ ⋅ − ∇ = ∇ × −

t t t

H r H r J r

2

, , , ∂

0 t 2

( ) ( )

∇ ⋅ =

H r t H r t

, si ottiene l’equazione cercata per

Poiché , 0 ,

( )

∂ t

H r

2

( ) ( )

,

εµ

∇ − = −∇ ×

t t

H r J r

2 , ,

∂ 0

t 2

Applicando l’operatore rotore ad ambo i membri dell’equazione di Faraday-Neumann, si ottiene

( ) ( )

µ

∇ × ∇ × = − ∇ ×

t t

E r H r

, ,

t

Per l’identità vettoriale precedente e per la legge di Maxwell-Ampere, si ha

( ) ( ) ( )

∂ ∂

∂ ∂ ⎤

⎡ t t t

E r J r E r

2

( ( )

) ( ) ( ) , , ,

µ ε µ εµ

= − −

∇ ∇ ⋅ − ∇ = − +

t t t

E r E r J r

2 0

, , , ⎥⎦

⎢⎣ ∂ ∂

∂ ∂

0

t t t t 2

( )

ρ t

r ( )

( ) ,

∇ ⋅ =

t

E r E r t

0

Poiché , , si ottiene l’equazione cercata per ,

ε ( ) ( )

( ) ρ

∇ ∂

∂ t t

r J r

t

E r

2

( ) , ,

,

εµ µ

∇ − = +

t

E r

2 0 0

, ε

∂ ∂

t t

2

E’ fondamentale fare presente che la coppia di equazioni

( ) ( ) ( )

ρ

⎧ ∂ ∇ ∂

E r r J r

t t t

2

( ) , , ,

εµ µ

∇ − = +

E r t

2 0 0

⎪ ,

⎪ ε

∂ ∂

t t

2

⎨ ( )

∂ H r t

2

⎪ ( ) ( )

,

εµ

∇ − = −∇ ×

H r J r

t t

2 , ,

⎪ ∂

⎩ 0

t 2

non è equivalente alle equazioni di Maxwell; per come sono state ricavate (prendendo i rotori delle

equazioni di rotore), ci sono soluzioni di queste equazioni che non soddisfano le equazioni di

Maxwell. Affinché ci sia equivalenza è necessario affiancare alla coppia di equazioni trovata le due

leggi di Gauss (equazioni alle divergenze) ( )

ρ t

r

( ) ( )

,

∇ ⋅ = ∇ ⋅ =

t

E r H r t

0

, , 0

ε

Un’equazione del tipo ( )

∂ t

U r

2

( ) ( )

,

α

∇ − =

t t

U r f r

2 2

, ,

t 2

37

( ) equazione di Helmholtz

f r t

con assegnata, prende il nome di e le sue soluzioni rappresentano

,

onde, cioè sono “segnali” che si muovono (propagano) nello spazio.

( )

( )

E r t H r t

, ,

e sono pertanto entrambi soluzione di un’equazione di Helmholtz e si

I campi onde elettromagnetiche

propagano come onde ( ).

3.2 Equazione di D’Alembert

Supponiamo che in una zona occupata da un dielettrico ideale non siano presenti sorgenti e il campo

elettrico sia del tipo ( ) ( )

=

t E z t

E r x

ˆ

, ,

x

Tale campo deve soddisfare l’equazione ( )

∂ t

E r

2

( ) ,

εµ

∇ − =

t

E r 0

2 , ∂

t 2

ovvero deve risultare ( ) ( ) ( ) ( )

⎡ ⎤ ∂ ∂

∂ ∂

E z t E z t E z t E z t

2 2 2 2

, , , ,

εµ εµ

= ⇒ =

x x x x

x 0

ˆ

⎢ ⎥⎦ ∂ ∂

∂ ∂

z t z t

2 2 2 2

⎣ D’Alembert .

Quest’ultima equazione scalare prende il nome di equazione di

Per risolverla si operi il cambiamento di variabili

1 1

ξ η

= − = +

z t z t

εµ εµ

Allora, facendo uso del teorema di Schwarz, risulta

( ) ( ) ξ η

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

∂ ∂

⎡ ⎤

E z t E z t E E E E

2 , , = + = + =

=

x x x x x x

⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦

⎢ ⎥⎦ ξ η ξ η

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

z z z z z z z

2 ξ η ξ η

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

E E E E E E E

2 2 2 2 2 2 2

= + + + = + +

x x x x x x x

2

ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

z z z z

2 2 2 2

( ) ( ) ⎡ ⎤

ξ η

⎡ ⎤

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ⎡ ⎤

E z t E z t E E E E

2 , , 1 1

+ = − + =

=

=

x x x x x x

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ξ η ξ η

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ εµ εµ

t t t t t t z

⎣ ⎦

2 ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤

ξ η ξ η

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

E E E E

2 2 2 2

1

= − − + + =

x x x x

⎢ ⎥

ξ η ξ η ξ η

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

εµ t t t t

2 2

⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

E E E E E E E

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

= − − + = − +

x x x x x x x

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎦

2

ξ η ξ η ξ η εµ ξ η ξ η

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

εµ εµ εµ εµ εµ

2 2 2 2

⎢ ⎥ ⎣

⎣ ⎦

Sostituendo queste espressioni nell’equazione di D’Alembert, si ottiene

38

⎡ ⎤

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

E E E E E E E

2 2 2 2 2 2 2

1

εµ

+ + = − + ⇒ =

x x x x x x x

⎢ ⎥

2 2 0

ξ η ξ η εµ ξ η ξ η η ξ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2 2 2 2

⎣ ⎦

∂ E

2 =

x 0

Dalla condizione si ricava

η ξ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

E E ( ) ( ) ( )

ξ ξ η

= ⇒ = ⇒ = +

x x f E f g

0

η ξ ξ x

∂ ∂ ∂

f g

e funzioni arbitrarie purché derivabili due volte, ossia

essendo ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1 1

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= − + +

E z t f z t g z t

( , ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

x εµ εµ

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

f g

Le funzioni e sono specificate dalle condizioni al contorno e dalle condizioni iniziali.

⎛ 1 ⎟

⎜ −

f z t

Facciamo vedere che rappresenta un’onda progressiva.

⎜ εµ ⎠

A tal fine si consideri il valore ⎞

⎛ 1 ⎟

= −

f f z t

* ⎟

⎜ εµ

0 0 ⎠

f t)

Tale valore di si presenta in corrispondenza di ogni coppia (z, tale che

1 1

− = −

z t z t

εµ εµ

0 0

∆ = − f

t t t *

, il punto si è spostato di un tratto

Questo significa che nell’intervallo 0

( )

1 1

∆ = − = − = ∆

z z z t t t , ossia che esso si muove con velocità

εµ εµ

0 0 ∆

z 1

= = >

v 0

∆ εµ

t ⎛ ⎞

1

⎜ ⎟

f f z t

*

Data l’arbitrarietà di , si conclude che tutti i punti della funzione si muovono

⎜ ⎟

εµ 0

⎝ ⎠

v progressiva).

con velocità positiva (onda ⎞

⎛ 1 ⎟

⎜ +

g z t

In modo analogo si dimostra che rappresenta un’onda che si propaga in direzione

⎜ εµ ⎠

⎛ 1 ⎟

⎜ − regressiva).

f z t (onda

opposta a quella di ⎟

⎜ εµ 0 ⎠

⎝ 39

Osserviamo che la velocità di propagazione dipende solo dalle caratteristiche del mezzo. Nel vuoto

la tale velocità vale 1 m

≅ ⋅ 8

2

.

99 10

ε µ s

0 0 c

Dal momento che la luce altro non è che radiazione elettromagnetica, la sua velocità vale

1

=

c ε µ

0 0

In un qualunque mezzo lineare, isotropo, non dispersivo, tempo-invariante

1 1

= =

v c

ε ε µ µ ε µ

r r r r

0 0

Esempio 3.2.1 ε µ

≅ ≅

Calcolare la velocità di propagazione nell’acqua ( , ).

80 1

r r

Soluzione

Si ha 1 1 1

= = ≅

v c c

ε ε µ µ ε µ 3

r r r r

0 0 40

Capitolo 4

Il regime sinusoidale permanente

4.1 Regime sinusoidale permanente ω

Il caso in cui tutti i vettori di campo e le sorgenti oscillano nel tempo ad una stessa pulsazione è

particolarmente importante perché

è un caso rilevante nelle applicazioni

-

- semplifica la trattazione dei problemi

- può essere facilmente esteso al caso generale per mezzo delle trasformate di Fourier

- permette la trattazione in modo semplice dei mezzi dispersivi nel tempo

4.2 Definizione e fasori

Si parla dunque di regime sinusoidale quando tutti i vettori di campo e le densità di carica e di

10

corrente sono del tipo ( )

ω ϕ

= +

t t

U r U r r

( , ) ( ) cos ( )

0

U r r

una qualunque funzione vettoriale di .

essendo ( )

0

Poiché, per la nota formula di Eulero, risulta { }

( ) ( ) ( )

( ) ( )

ω ϕ ω ϕ

ω ϕ ω ϕ ω ϕ

+ +

= + + + ⇒ + =

j t j t

t j t t

e cos sin cos Re e

si può scrivere { } { }

( ) ( )

ω ϕ ϕ ω

ω ϕ +

= + = =

j t j j t

r r

t t

U r U r r U r U r

( ) ( )

( , ) ( ) cos ( ) ( ) Re e Re ( ) e e

0 0 0

10 E’ sottointeso, per non appesantire la trattazione, che nel caso della densità volumetrica di carica l’equazione

vettoriale deve essere sostituita da una equazione scalare della stessa struttura.

41

U r

Nell’ultimo passaggio si è sfruttato il fatto che ( ) è una quantità reale (vettoriale).

0

Da queste considerazioni si vede come un generico campo in regime sinusoidale permanente è

ω e dal vettore di componenti complesse

completamente specificato dalla pulsazione

ϕ

= r

j fasore.

U r U r ( )

( ) ( ) e chiamato

0 U r

( )

E’ opportuno sottolineare che la notazione con cui saranno denotati i fasori ( ), è la stessa usata per

indicare i campi stazionari; tuttavia il contesto è sufficiente a chiarire di quale quantità si tratti

effettivamente.

Se dunque si suppone nota la pulsazione, esiste una corrispondenza biunivoca tra fasore e campo

sinusoidale ( ) ϕ

ω ϕ

= + ↔ = r

j

t t

U r U r r U r U r ( )

( , ) ( ) cos ( ) ( ) ( ) e

0 0

Esempio 4.2.1

Calcolare il fasore del campo induzione magnetica in regime sinusoidale

π

⎛ ⎞

ω

= +

⎜ ⎟

t t

B r b r

( , ) ( ) cos

⎝ ⎠

6

b

con funzione assegnata.

(r )

Soluzione

Poiché π

⎧ ⎫

π π

⎧ ⎫

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ j ω

ω ω =

= + = + j t

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

t t t

B r b r b r b r

⎨ ⎬

⎨ ⎬ 6

( , ) ( ) cos Re ( ) cos Re ( ) e e

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎩ ⎭

6 6 ⎩ ⎭

evidentemente ( )

π π π

⎛ ⎞ 1

j

= = + = +

⎜ ⎟

j j

B r b r b r b r

6 3

( ) ( ) e ( ) cos sin ( )

⎝ ⎠ 2

6 6

Esempio 4.2.2

Calcolare il fasore del campo elettrico in regime sinusoidale π

⎛ ⎞

k ω

= +

⎜ ⎟

t t

E r

( , ) sin

r ⎝ ⎠

4

con k vettore reale costante assegnato.

Soluzione

Poiché π

⎧ ⎫

π π π π

⎡ ⎤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

k k k k − j ω

ω ω ω

= + = + − = − = j t

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

t t t t

E r ⎨ ⎬

4

( , ) sin cos cos Re e e

⎢ ⎥

r r r r

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ ⎦

4 4 2 4 ⎩ ⎭

evidentemente 42

π π π

⎛ ⎞

k k k

− ( )

2

j

= = − = −

⎜ ⎟

j j

E r 4

( ) e cos sin 1

r r r

⎝ ⎠

4 4 2

Esempio 4.2.3

Calcolare il campo induzione elettrica corrispondente al fasore π

j

=

D r j d r 8

( ) ( ) e

d una funzione vettoriale assegnata a valori reali.

essendo (r )

Soluzione π

j

=

j , si ha

Tenendo conto che 2

e π

π

⎧ ⎫ ⎧ ⎫

π

{ } j

j j ω

ω ω

= = = =

j t

j t j t

D r t D r j d r d r

⎨ ⎬ ⎨ ⎬

8 8

2

( , ) Re ( ) e Re ( ) e e Re ( ) e e e

⎩ ⎭ ⎩ ⎭

⎧ ⎫

π

⎛ ⎞ π π

5

⎪ ⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

ω +

⎜ ⎟

j t 5

ω ω

= − +

= +

⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

d r d r t d r t

⎨ ⎬

8 ( ) sin

Re ( ) e ( ) cos

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎪⎩ ⎪⎭ 8 8

Osservando inoltre che { } { }

⎧ ⎫

[ ] [ ]

∂ ∂ ∂

{ }

n n n

U r t ( ) ( )

( , ) ϕ ω ϕ ω ϕ ω ω

ω ω

n n

= = = =

j j t j j t j j t j t

r r r

U r U r U r U r

j j

( ) ( ) ( )

⎨ ⎬

Re ( ) e e Re ( ) e e Re ( ) e e Re ( ) e

∂ ∂ ∂

n n n

0 0 0

t t t

⎩ ⎭

[ ] [ ] [ ]

{ } { } { } { }

ϕ ω ϕ ω ϕ ω ω

∇ ⋅ = ∇ ⋅ = ∇ ⋅ = ∇ ⋅ = ∇ ⋅

j r j t j r j t j r j t j t

U r t U r U r U r U r

( ) ( ) ( )

( , ) Re ( ) e e Re ( ) e e Re ( ) e e Re ( ) e

0 0 0

[ ] [ ] [ ]

{ } { } { } { }

ϕ ω ϕ ω ϕ ω ω

∇ × = ∇ × = ∇ × = ∇ × = ∇ ×

j r j t j r j t j r j t j t

U r t U r U r U r U r

( ) ( ) ( )

( , ) Re ( )

e e Re ( ) e e Re ( ) e e Re ( ) e

0 0 0

si deduce ∂ n ( )

ω n

U r t j U r

( , ) ( )

∂ n

t

∇ ⋅ ↔ ∇ ⋅

U r t U r

( , ) ( )

∇ × ↔ ∇ ×

U r t U r

( , ) ( )

4.3 Equazioni di Maxwell in regime sinusoidale

Sulla base delle proprietà dei fasori sopra illustrate, le equazioni di Maxwell nel tempo, si

di Maxwell in regime sinusoidale

trasformano nelle seguenti equazioni per i fasori (equazioni

permanente) ( ) ( )

ρ

∇ ⋅ =

D r r

e

( )

∇ ⋅ =

B r 0

( ) ( )

ω

∇ × = −

E r B r

j

( ) ( ) ( )

ω

∇ × = +

H r J r j D r

e

43

A scopo di chiarezza riportiamo le espressioni dei campi e delle sorgenti in regime sinusoidale e dei

corrispondenti fasori ( ) ϕ

ω ϕ

= + ↔ = j r

D r t D r t r D r D r ( )

D

( , ) ( ) cos ( ) ( ) ( ) e

D

0 0

( ) ϕ

ω ϕ

= + ↔ = r

j

E r t E r t r E r E r ( )

E

( , ) ( ) cos ( ) ( ) ( ) e

E

0 0

( ) ϕ

ω ϕ

= + ↔ = j r

B r t B r t r B r B r ( )

B

( , ) ( ) cos ( ) ( ) ( ) e

B

0 0

( ) ϕ

ω ϕ

= + ↔ = j r

H r t H r t r H r H r ( )

H

( , ) ( ) cos ( ) ( ) ( ) e

H

0 0

( ) ϕ

j r

ρ ρ ω ϕ ρ ρ

= + ↔ = ( )

r t r t r r r ρ e

( , ) ( ) cos ( ) ( ) ( ) e

ρ

e e e e

0 0

e

( ) ϕ

j r

ω ϕ

= + ↔ = ( )

J r t J r t r J r J r J e

( , ) ( ) cos ( ) ( ) ( ) e

e e J e e

0 0

e

Le condizioni di interfaccia sono [ ] ρ

− ⋅ =

D r D r n r

ˆ

( ) ( ) ( )

s

2 1

[ ]

− ⋅ =

B r B r n

ˆ

( ) ( ) 0

2 1

[ ]

× − =

n E r E r 0

ˆ ( ) ( )

2 1

[ ]

× − =

n H r H r J

ˆ ( ) ( ) s

2 1

4.4 Equazione di continuità

L’equazione di continuità, in termini di fasori diventa

( ) ( ) ( ) ( )

1

ωρ ρ

∇ ⋅ + = ⇒ = − ∇ ⋅

J r r r J r

j 0 ω

e e e e

j ( )

ρ r

Tale relazione dimostra che il fasore della densità volumetrica di carica è immediatamente

e

( )

J r .

deducibile da quello della densità di corrente elettrica e

4.5 Dipendenza delle equazioni di Maxwell in regime sinusoidale

In regime sinusoidale l’equazioni “di rotore” e l’equazione di continuità implicano le equazioni “di

divergenza”.

Infatti applicando l’operatore divergenza alla legge di Faraday-Neumann in regime sinusoidale si

ottiene ( ) ( ) ( )

ω

∇ ⋅ ∇ × = − ∇ ⋅ ⇒ ∇ ⋅ =

E r B r B r

j 0

Inoltre applicando l’operatore divergenza alla legge di Maxwell-Ampere e utilizzando l’equazione

di continuità in regime sinusoidale si ottiene

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ω ωρ ω ρ

∇ ⋅ ∇ × = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ ⇒ − + ∇ ⋅ = ⇒ ∇ ⋅ =

H r J r j D r j r j D r D r r

0

e

4.6 Sorgenti impresse e indotte

Analogamente a quanto fatto precedentemente in regime sinusoidale è utile distinguere le sorgenti

in impresse e indotte: ρ ρ ρ

= +

r r r

( ) ( ) ( )

e 0

44

= +

J r J r J r

( ) ( ) ( )

e 0

Ciascun contributo (impresso e indotto) soddisfa singolarmente l’equazione di continuità e pertanto

si ha ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

ρ ρ

= − ∇ ⋅ = − ∇ ⋅

r J r r J r

ω ω

0 0

j j

Alla luce di queste osservazioni, la conoscenza della densità di corrente è sufficiente a caratterizzare

completamente le cariche (fisse e in moto) nei problemi in regime sinusoidale permanente.

In regime sinusoidale le equazioni di Maxwell corrispondono dunque a 6 equazioni scalari nelle

E, B, D, H, J

incognite (15 incognite scalari). Osservando che le equazioni costitutive sono 9

equazioni scalari, si hanno complessivamente 15 equazioni scalari in 15 incognite; il problema del

calcolo del campo elettromagnetico prodotto da sorgenti impresse con condizioni al contorno fissate

può pertanto essere risolto in modo unico.

4.7 Mezzi dispersivi nel tempo

Le equazioni costitutive di un mezzo lineare, isotropo, tempo-invariante, non dispersivo nello

spazio possono essere scritte nel modo seguente

∂ ∂ ∂ ∂ n

m

D r D r E r E r

t t t t

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

+ + + = + + +

r D r r r r E r r r

d t d d e t e e

K K

( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )

n

m

∂ ∂ ∂ ∂ n

m

0 1 0 1

t t t t

∂ ∂ ∂ ∂ j

i

B r B r H r H r

t t t t

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

+ + + = + + +

r B r r r r H r r r

b t b b h t h h

K K

( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )

j

i

∂ ∂ ∂ ∂ j

i

0 1 0 1

t t t t

∂ ∂ ∂ ∂ p

k

J r J r E r E r

t t t t

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

+ + + = + + +

r J r r r r E r r r

j t j j t

K K

( ) ( , ) ( ) ( ) e ( ) ( , ) e ( ) e ( )

p

k

∂ ∂ ∂ ∂ p

k

0 1 0 1

t t t t

{ } { } { }

{ } { } { }

d r e r b r j r

r r

h

( ) , ( ) , ( ) , , ( ) e sono

dove le ( ) e ( )

= =

= = = =

r r

r r r r

r j r p

r m r n r i r k

K K

K K K K

0 , , 0 , ,

0 , , 0 , , 0 , , 0 , ,

funzioni note.

Nel caso che tali funzioni siano tutte costanti il mezzo risulta omogeneo.

In termini di fasori le stesse equazioni diventano

ω ω ω ω

+ + + = + + +

m n

d r D r d r j D r d r j D r e r E r e r j E r e r j E r

K K

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

m n

0 1 0 1

ω ω ω ω

+ + + = + + +

i j

r B r r B r r B r r H r r H r r H r

b b j b j h h j h j

K K

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

i j

0 1 0 1

ω ω ω ω

+ + + = + + +

k p

r J r r J r r J r r E r r E r r E r

j j j j j j j

K K

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) e ( ) ( ) e ( ) ( ) e ( )( ) ( )

k p

0 1 0 1

e possono essere poste nella forma ω ω

+ + + n

e e j e j

r r r

K

( ) ( ) ( )( )

= n

D r E r

0 1

( ) ( )

ω ω

+ + + m

d d j d j

r r r

K

( ) ( ) ( )( )

m

0 1 ω ω

+ + + j

r r r

h h j h j

K

( ) ( ) ( )( )

j

=

B r H r

0 1

( ) ( )

ω ω

+ + + i

r r r

b b j b j

K

( ) ( ) ( )( )

i

0 1 ω ω

+ + + p

r r r

j j

K

e ( ) e ( ) e ( )( )

p

= 0 1

J r E r

( ) ( )

ω ω

+ + + k

r r r

j j j j j

K

( ) ( ) ( )( )

k

0 1 45

A questo punto appare naturale introdurre le funzioni a valori complessi

ω ω

+ + + n

e r e r j e r j

K

( ) ( ) ( )( )

ε ω = n

r 0 1

( , ) ω ω

+ + + m

d r d r j d r j

K

( ) ( ) ( )( )

m

0 1 ω ω

+ + + j

h r h r j h r j

K

( ) ( ) ( )( )

µ ω j

= 0 1

r

( , ) ω ω

+ + + i

b r b r j b r j

K

( ) ( ) ( )( )

i

0 1 ω ω

+ + + p

r r j r j

K

e ( ) e ( ) e ( )( )

σ ω p

=

r 0 1

( , ) ω ω

+ + + k

j r j r j j r j

K

( ) ( ) ( )( )

k

0 1

permeabilità elettrica complessa, permettività magnetica complessa,

che prendono il nome di

conducibilità elettrica complessa. ω

Poiché supporremmo la pulsazione di lavoro fissata, la dipendenza da non sarà esplicitata e si

scriverà più semplicemente ε µ σ

(r ) (r ) (r )

cosicché le equazioni costitutive diventano ε

=

D r r E r

( ) ( ) ( )

µ

=

B r r H r

( ) ( ) ( )

σ

=

J r r E r

( ) ( ) ( )

Come già fatto in precedenza si definiscono permeabilità e permettività complesse relative nel

modo seguente ε µ

r r

( ) ( )

ε µ

= =

r r

( ) ( )

ε µ

r r

0 0

ε µ

r r

( ) ( )

Poiché in generale e sono a valori complessi, risulta utile scriverle esplicitando la parte

r r

reale e quella immaginaria. Pertanto poniamo

ε ε ε µ µ µ

= − = −

r r r r r r

j j

( ) '

( ) ' '

( ) ( ) '

( ) ' '

( )

r r

avendo ovviamente posto ( ) { ( )

} ( ) { ( )

}

ε ε µ µ

= =

r r r r

' Re ' Re

( ) { ( )

} ( ) { ( )

}

ε ε µ µ

= − = −

r r r r

' ' Im ' ' Im

4.8 Mezzi dissipativi

Supponiamo di avere un avere un mezzo lineare, isotropo, tempo-invariante, non dispersivo nello

spazio e ohmico.

Le equazioni di Maxwell sono dunque ( ) ( ) ( )

ωµ

∇ × = −

E r r H r

j

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

σ ωε

∇ × = + +

H r J r r E r j r E r

0

46

L’equazione di Maxwell-Ampere si può allora scrivere ( )

σ

⎡ ⎤

r

( ) ( ) ( ) ( )

ω ε

∇ × = + +

H r J r r E r

j ⎢ ⎥⎦

ω

0 j

( )

σ r

( ) ( )

ε ε

= +

r r

ovvero, posto * ω

j ( ) ( ) ( ) ( )

ωε

∇ × = +

H r J r j r E r

*

0

( )

ε r è complessa quando

* ( )

( )

σ ε

= →

r r

0 , è complessa mezzo dispersivo nel tempo e non conduttore

( ) ( )

σ ε

≠ ∈ ℜ →

r r

, mezzo conduttore e non dispersivo nel tempo

0 ( )

( )

σ ε

≠ →

11

r r

, è complessa mezzo conduttore e dispersivo nel tempo

0

I mezzi conduttori sono dunque formalmente identici a quelli dispersivi nel tempo, nel senso che

sono descritti dalle stesse equazioni.

( ) ( )

ε µ

r r dissipativo.

* e/o sono complessi, il mezzo di dice

Quando

4.9 Equazione delle onde in regime sinusoidale

Si ipotizzi che il mezzo sia lineare, isotropo, omogeneo, tempo-invariante, non dispersivo nello

spazio e ohmico.

Le equazioni di Maxwell possono allora essere scritte nella forma

( ) ( )

ωµ

∇ × = −

E r H r

j

( ) ( ) ( )

ωε

∇ × = +

H r J r j E r

*

0

σ

ε ε

= +

con * .

ω

j

Si ha ( ) ( )

1

= − ∇ ×

H r E r

ωµ

j

e dunque

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 ωε ωµ ω µε

∇ × = − ∇ × ∇ × = + ⇒ ∇ × ∇ × = − +

H r E r J r j E r E r j J r E r

2

* *

ωµ 0 0

j

Poiché ( ) ( ( )

) ( )

∇ × ∇ × = ∇ ∇ ⋅ − ∇

E r E r E r

2

( ) ( )

σ σ ⎫

r r

( ) ( )

ε ε ε =

= +

r

r ⎬

11 Im 0

' '

Si esclude ovviamente il caso in cui , nel quale

ω ω

0 j ⎭

47

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

σ

∇ ⋅ = − ∇ ⋅ + = − ∇ ⋅ + ⇒ ∇ ⋅ = − ∇ ⋅

E r J r J r J r E r E r J r

ωε ωε ωε σ

+

0 0 0

j j j

si ottiene ⎛ ⎞

( ) ( ) ( ) ( )

1 ωµ ω µε

⎜ ⎟

− ∇ − ∇ ⋅ + ∇ = −

j

J r E r J r E r

2 2 *

⎜ ⎟

ωε σ

+ 0 0

j

⎝ ⎠

ossia ( ) ( ) ( ) ( )

1

ω µε ωµ

∇ + = − ∇∇ ⋅

E r E r J r J r

j

2 2 * ωε σ

+

0 0

j

ω µε

= numero d’onda

k prende il nome di e, se il mezzo è dissipativo, è un numero

La quantità *

complesso. ( )

E r è pertanto

L’equazione per ( ) ( ) ( ) ( )

1

ωµ

∇ + = − ∇∇ ⋅

E r E r J r J r

k j

2 2 ω σ

+

0 0

j

( )

H r

Procedendo in modo analogo si trova l’equazione per

( ) ( ) ( )

∇ + = −∇ ×

H r k H r J r

2 2 0

Riassumendo ⎧ ( ) ( ) ( ) ( )

1

ωµ

∇ + = − ∇∇ ⋅

E r E r J r J r

k j

2 2

⎪ ω σ

+

0 0

j

⎪ ( ) ( ) ( )

∇ + = −∇ ×

H r H r J r

k

2 2

⎩ 0

Come già osservato per le equazioni di Helmholtz nel dominio del tempo, questa coppia di

equazioni per essere equivalente alle equazioni di Maxwell deve essere affiancata alle leggi di

Gauss ( ) ( )

1

∇ ⋅ = − ∇ ⋅

E r J r

ωε σ

+ 0

j

( )

∇ ⋅ =

H r t

, 0

12

4.10 Onde piane

Si ipotizzi che mezzo sia un dielettrico ideale.

Cerchiamo una soluzione delle equazioni di Helhmoltz in regime sinusoidale del tipo

( ) ( )

=

E r E z p

12 Per una trattazione più approfondita sulle onde in regime sinusoidale si veda G. Conciauro, “Introduzione alle onde

elettromagnetiche”, McGraw-Hill, pagg. 49 – 59 (paragrafo 1.10) e pagg. 61- 112 (capitolo 2).

48

p

dove è un versore costante e, per ora, a componenti reali, in una regione di spazio priva di

sorgenti.

Imponiamo dunque ( ) ( )

∇ + =

E r k E r 0

2 2

p

e poiché è un vettore costante, si ottiene ( )

[ ] d E z

2

( ) ( ) ( )

∇ + = ⇒ + =

p E z k E z 0 k E z

2 2 2 0

dz 2

( )

E z è un’equazione differenziale ordinaria lineare a coefficienti costanti,

L’equazione ottenuta per

la cui soluzione è ( ) −

= +

jkz jkz

E z C e C e

1 2

C C

e costanti (complesse) da determinare sulla base delle condizioni al contorno.

con 1 2

La soluzione cercata è pertanto ( )

( ) −

= +

jkz jkz

E r C e C e p

1 2

Perché tale campo sia soluzione delle equazioni di Maxwell deve soddisfare la legge di Gauss per il

( )

∇ ⋅ =

E r

campo elettrico , deve cioè essere

0

( ) ( )

d

( ) − −

∇ ⋅ = + = ⇒ − − = ⇒ =

jkz jkz jkz jkz

E r C e C e p jk C e C e p p

0 0 0

z z z

1 2 1 2

dz xy,

p̂ non è dunque del tutto arbitrario, ma deve essere parallelo al piano cioé

Il versore = +

p p

p x y

ˆ ˆ ˆ

x y

Cerchiamo di capire che cosa rappresentino i due addendi che compongono la soluzione trovata,

calcolando i corrispondenti campi elettrici nel dominio del tempo. Considerando il primo termine si

ha { } φ

⎧ ⎫

⎡ ⎤

ω

( )

{ } ⎛ ⎞

( ) φ

j

ω ω ω φ C

− −

= = = − − = − −

jkz t jkz t ⎜ ⎟

E r p p p p

t C C C kz t C k z t

⎨ ⎬

C

ˆ ˆ ˆ ˆ

⎢ ⎥

, Re e e Re e e e cos cos 1

1 C

1 1 1 1 k k

⎝ ⎠

⎣ ⎦

1 ⎩ ⎭

ω 1

µ

ω µε ε =

=

k

Poiché , con e costanti reali, risulta . Allora

µε

k

⎧ ⎫

⎡ ⎤

φ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎪ ⎪

( ) 1 1

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

C

= − − = −

⎢ ⎥

E r p p

t C k z t f z t

⎨ ⎬ ˆ ˆ

, cos 1

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

µε µε

1 k

⎪⎩ ⎪⎭

⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ ⎦

49

− jkz

C e

Il campo elettrico che corrisponde al fasore è dunque un’onda progressiva che si propaga

1

1

z

lungo a velocità .

µε fronte d’onda

In regime sinusoidale, si definisce il luogo dei punti a fase costante. In questo caso il

fronte d’onda è costituito dai punti =

kz costante

xy.

ossia da piani paralleli al piano piana.

Un onda con fronte d’onda piano si dice jkz

C e

Analogamente si dimostra che al fasore corrisponde un’onda piana regressiva che si propaga

2

1

z

lungo a velocità .

µε vettore di polarizzazione

p̂ prende il nome di dell’onda elettromagnetica.

Il versore

Noto il campo elettrico, l’equazione di Faraday-Neumann permette il calcolo immediato del campo

=

C

magnetico. Grazie alla linearità del problema possiamo supporre inizialmente , ottenendo

0

2

⎛ ⎞

x y z x y z

⎜ ⎟

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⎜ ⎟

( ) ( )

1 1

= − ∇ × = − +

H r E r ⎜ ⎟

ωµ ωµ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

j j x y z x y z

⎜ ⎟

⎜ ⎟

− −

jkz jkz

C e p C e p

0 0 0 0

⎝ ⎠

x y

1 1

Essendo x y z

ˆ ˆ ˆ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( )

− − −

= − = −

jkz jkz jkz

C e p y C e p z jkC e p y

ˆ ˆ ˆ

x x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

1 1 1

x y z z y

− jkz

C e p 0 0

x

1

x y z

ˆ ˆ ˆ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( )

− − −

= − + =

jkz jkz jkz

C e p x C e p z jkC e p x

ˆ ˆ ˆ

y y y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

1 1 1

x y z z x

− jkz

C e p

0 0

y

1

si ottiene ε

( ) ( )

k

( ) − −

= − − = − −

jkz jkz

H r C e p x p y C e p x p y

ˆ ˆ ˆ ˆ

ωµ µ

y x y x

1 1

=

C 0

Ponendo e procedendo in modo analogo si trova

1 ε ( )

( ) = −

jkz

H r C e p x p y

ˆ ˆ

µ y x

2

50

Mettendo insieme i risultati ottenuti grazie alla linearità, concludiamo che il fasore del campo

( )

( )

( ) −

= + +

jkz jkz

E r C e C e p x p y

ˆ ˆ è

magnetico corrispondente al fasore x y

1 2

ε ( )( )

( ) −

= − − +

jkz jkz

H r C e C e p x p y

ˆ ˆ

µ y x

1 2

Pertanto anche il campo magnetico è dato dalla somma di un’onda piana progressiva e di un’onda

1

piana regressiva che si propagano anch’esse a velocità .

µε

Osservando che − + = ×

p p

x y z p

ˆ

ˆ ˆ ˆ

y x

e si può pertanto scrivere ε ( )

( ) −

= − − ×

jkz jkz

H r C e C e z p

ˆ

ˆ

µ 1 2

I campi elettrico e magnetico risultano tra loro ortogonali; infatti

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

E r H r

⋅ = − + ⋅ − = − − =

p x p y p x p y p p p p

ˆ ˆ ˆ ˆ 0

( ) ( ) x y y x x y y x

E r H r ẑ

E H : si dice allora che l’onda è

Inoltre e sono entrambi ortogonali alla direzione di propagazione

TEM (Traverso-ElettroMagnetica).

Il rapporto tra i moduli delle onde progressive (e tra quelle regressive)

( ) µ

E r jkz

C e

η = = =

1

( ) ε

ε

H r − jkz

C e

µ 1

impedenza intrinseca del mezzo

dipende solo dal mezzo e prende il nome di .

Evidentemente ⎤

⎡ µ ⋅ Ω ⋅ ⋅ Ω ⋅

[ ] H m H V s V s

η = ⋅ = = = = Ω ⋅ Ω = Ω

= ⎥

⎢ ε ⋅

m F F C A s

L’impedenza intrinseca del vuoto è µ

η π

= ≅ Ω ≅ Ω

0 377 120

ε

0 0

Dunque risulta 51 ( )

( )

E r E r

( ) ( )

progr regr

= × = − ×

H r z H r z

ˆ ˆ

η η

progr regr

Esempio 4.10.1 x̂

Scrivere i fasori di un’onda piana progressiva polarizzata lungo che si propaga lungo z.

Soluzione =

p x

In questo caso e dunque

ˆ ( ) −

= jkz

E r x

C ˆ

e

1

( )

E r C C

( ) − −

= × = × =

jkz jkz

H r z z x y

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ

e e

η η η

Esempio 4.10.2

Calcolare il modulo del campo elettrico e del campo magnetico di un’onda elettromagnetica piana progressiva che si

propaga lungo z in un dielettrico ideale.

Soluzione

Si ha ( ) ( )

− −

= ⇒ = = ⋅ ⋅ =

jkz jkz

E r p E r p

C e C e C C

1 1

1 1 1 1

C C

C C

( ) ( )

− −

= × ⇒ = × = ⋅ ⋅ =

jkz jkz

H r z p H r z p

e 1 1

1 1

ˆ ˆ

e 1 1

η η η η

Osserviamo che il modulo dell’onda è costante in tutto lo spazio.

Poiché il modulo delle onde piane in regime sinusoidale in un dielettrico ideale è costante nello

uniformi .

spazio, si parla di onde piane

Esempio 4.10.3

Consideriamo due mezzi dielettrici ideali semi-infiniti (1 e 2) separati dal piano z = 0. ω x̂

Viaggiando nel mezzo 1 un’onda elettromagnetica piana progressiva di pulsazione nota, polarizzata lungo che si

C

propaga lungo z e di ampiezza nota incide sull’interfaccia, generando un’onda riflessa nel mezzo 1 e un’onda

1

trasmessa nel mezzo 2.

Calcolare l’onda riflessa e l’onda rifratta.

Soluzione =

p x

In questo caso e dunque i campi nei due mezzi valgono

ˆ ˆ ( )

( ) ( )

⎧ − −

= +

jk z jk z ⎧ −

E r x

C C = jk z

E r x

C

ˆ

e e

1 1 ˆ

e 2

1 1 2

⎪ ⎪ 2 3

⎛ ⎞

⎨ ⎨ C

C C ( )

( ) −

=

⎜ ⎟

− − jk z

= −

jk z jk z H r y

H r y 3 ˆ

1 2 e

ˆ

⎪ ⎪

e e 2

⎜ ⎟

1 1 η

η η 2

1 ⎩

⎝ ⎠

⎩ 2

1 1

Poiché i mezzi sono dielettrici ideali, non può esserci corrente superficiale e le condizioni di interfaccia per i campi sono

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

× = − = = × = − = =

n E z E z 0 n H z H z 0

ˆ

ˆ 0 0 0 0

2 1 2 1

=

n z

Osservando che , si ottiene

ˆ ˆ 52 η η

( )

× − − =

⎧ =

z x 0

C C C − + = C C

⎧ C C C

ˆ ˆ 2 1

⎪ η η

+

3 1 2 2 1

2 3 1 ⎪

⎪ ⎪

⇒ ⇒

η

⎛ ⎞ 1 2

⎨ ⎨ ⎨

C C C + = η

⎜ ⎟ =

× − + C C C

z y 0 1

3 1 2

ˆ ˆ 2

⎪ ⎪ ⎪

⎜ ⎟ =

η

η η η C C

2 3 1 2

⎝ ⎠

⎩ ⎪ η η

+

3 1

2

2 1 1 ⎩ 1 2

4.10.1 Onde piane che si propagano in una direzione arbitraria e vettore d’onda

Osservando che si può scrivere = ⋅

r z

z ˆ

l’equazione di un’onda piana progressiva diventa

( ) − ⋅

= r z

jk

E r p

C e ˆ ˆ

1

C

( ) − ⋅

= ×

r z

jk

H r z p

ˆ

1 ˆ

ˆ

e

η

Quelle ottenute sono relazioni tra vettori e sono pertanto valide in qualunque sistema di coordinate.

( )

Σ = Ox y z

Prendiamo dunque un sistema di riferimento cartesiano con origine coincidente con il

' ' ' '

precedente, ma con diversa orientazione degli assi coordinati.

vettore d’onda

Il = = + +

k z x y z

k k k k

ˆ ˆ ˆ ˆ

' ' '

x y z

individua la direzione di propagazione e nel “nuovo” sistema di riferimento non è parallelo all’asse

z’ .

Queste osservazioni ci permettono di affermare che un’onda piana progressiva che si propaga nella

û p̂

direzione del versore e polarizzata lungo , ha equazioni

( ) − ⋅

= k r

j

E r p

C e ˆ

1

C

( ) − ⋅

= ×

k r

j

H r u p

1 ˆ

ˆ

e

η

⋅ = E H

p u

ˆ ˆ

con (il campo e quindi il campo sono ortogonali alla direzione di propagazione) e

0

=

k k

u

ˆ

Esempio 4.10.1.1 ( )

1

= − +

p x y z e di vettore d’onda

Scrivere i fasori di un’onda piana progressiva polarizzata lungo ˆ ˆ ˆ ˆ

3 2

14

= + −

k x y z .

ˆ ˆ ˆ

Soluzione

Si ha k ( )

1

= = + −

u x y z

ˆ ˆ ˆ ˆ

k 3

⋅u =

p

Verifichiamo che Infatti

ˆ ˆ .

0 53

( ) ( ) ( )

1 1

⋅ = − + ⋅ + − = − − =

p u x y z x y z

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

3 2 3 1 2 0

42 42

Inoltre ( ) ( ) ( )

1 1

× = + − × − + = − −

u p x y z x y z x y z

ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

3 2 5 4

42 42

Poiché ( ) ( )

⋅ = + − ⋅ + + = + −

k r x y z x

x y

y z z x y z

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

le equazioni cercate sono pertanto C

( ) ( )

( )

− + −

= − +

j x y z

E r x y z

e

1 ˆ ˆ ˆ

3 2

14

C

( ) ( )

1 ( )

− + −

= − −

j x y z

H r x y z

1 ˆ ˆ ˆ

e 5 4

η

42

4.11 Lunghezza d’onda di un’onda periodica lunghezza

Per una generica onda periodica, quali sono le onde in regime sinusoidale, si chiama

λ

d’onda la distanza percorsa dall’onda in un periodo, ossia

λ = vT

π

1 2 1

= = =

T v

Tenendo conto che e, in un mezzo con permettività e permeabilità reali, ,

ω εµ

f

ω εµ

=

k , è immediato dimostrare che π

v 2

λ = =

f k

Esempio 4.11.1 ( )

1

= − + +

p x y z , che si propaga in direzione

Scrivere i fasori di un’onda piana progressiva polarizzata lungo ˆ ˆ ˆ ˆ

2 2

3

( )

1 λ

= + =

u x y e di lunghezza d’onda .

ˆ ˆ ˆ

2 1 0m

5

Soluzione ⋅ =

p u . Infatti

E’ immediato verificare che ˆ ˆ 0 − + +

( ) ( )

1 2 2 0

⋅ = − + + ⋅ + = =

p u x y z x y

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

2 2 2 0

3 5 3 5

Inoltre 54

( ) ( ) ( )

1 1

× = + × − + + = − +

u p x y x y z x y z

ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

2 2 2 2 4 5

3 5 3 5

Si ha poi π π

2 −

= =

k 1

m

λ 5

e quindi π ( )

= = +

k u x y

k ˆ ˆ ˆ

2

5

Poiché π π

( ) ( ) ( )

⋅ = + ⋅ + + = +

k r x y x y z

x y z x y

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

2 2

5 5

le equazioni cercate sono pertanto π ( )

C − +

( ) ( )

j x y

2

= − + +

E r x y z

e

1 ˆ ˆ ˆ

5 2 2

3 π ( )

C − +

( ) ( )

1 j x y

2

= − +

H r x y z

1 ˆ ˆ ˆ

5

e 2 4 5

η

3 5

Esempio 4.11.2 = =

u x

p y

Scrivere i fasori di un’onda piana progressiva polarizzata lungo , che si propaga nel vuoto in direzione a

ˆ ˆ ˆ

ˆ

=

f

frequenza .

1

GHz

Soluzione ⋅ =

p u . Infatti

E’ immediato verificare che ˆ ˆ 0 ⋅ = ⋅ =

p u y x

ˆ ˆ ˆ ˆ 0

Inoltre × = × =

u p x y z

ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

1 m

= ≅ ⋅

c si ha

Poiché nel vuoto 8

3 10

µ ε s

0 0 π π

c 8

3 10 2 20

λ = = = ⇒ = =

k

m 0.3m λ

f 9

10 3

e quindi π

20

= =

k u x

k ˆ ˆ

3

Poiché 55

π π

( )

20 20

⋅ = ⋅ + + =

k r x x y z

x y z x

ˆ ˆ ˆ ˆ

3 3

le equazioni cercate sono pertanto π

20

( ) j x

=

E r y

C e ˆ

3

1

π π π

20

20

20

C C C

− − −

( ) j x j x j x

= = ≅

H r z z z

1

1

1 ˆ ˆ ˆ

3

3

3

e e e

η π

377 120

0

4.12 Polarizzazione complessa p̂

Vediamo cosa accade se il vettore di polarizzazione è a componenti complesse.

Dal ragionamento precedente in cui si richiedeva soltanto che fosse costante e ortogonale alla

direzione di propagazione, si conclude che i campi

( )

( ) − ⋅ ⋅

= +

k r k r

j j

E r p

C e C e ˆ

1 2 ⎞

⎛ C C

( ) − ⋅ ⋅ ×

= − ⎟

⎜ k r k r

j j

H r u p

e e

1 2 ˆ

ˆ

⎜ η η ⎠

⎝ p̂

sono ancora soluzioni delle equazioni di Maxwell anche se è complesso. = +

p p p

j

ˆ

Vediamo a cosa corrispondono questi fasori nel dominio del tempo. Si ha, posto ,

Re Im

{ }

{ }

( ) ( ) ( )

φ

j

ω ω

− ⋅ − ⋅

= + = + =

k r k r

j t j t

E r p p p p

t C e j C j

C

, Re e Re e e e

1

1 Re Im 1 Re Im

[ ]

{ ( ) ( ) }

( )

ω φ ω φ

= ⋅ − − + ⋅ − − + =

k r k r p p

C t j t j

Re cos sin

C C

1 Re Im

1 1

( ) ( )

ω φ ω φ

= ⋅ − − − ⋅ − − =

k r p k r p

C t C t

cos sin

C C

1 Re 1 Im

( ) ( )

1 1

ω φ ω φ

= ⋅ − − − ⋅ − −

E k r E k r

t t

cos sin

C C

1 2

1 1

= =

E C p E C p

con e

1 1 Re 2 1 Im

− ⋅

k r

j p

C e ˆ corrisponde pertanto la somma di due onde progressive piane polarizzate lungo

Al fasore 1

p

p e della stessa ampiezza che oscillano in quadratura.

Im

Re ⋅

k r

j p

C ˆ

Analogamente si dimostra che al fasore e corrisponde la somma di due onde regressive

2

p

p

piane polarizzate lungo e della stessa ampiezza che oscillano in quadratura.

Im

Re =

= p 0

p 0

polarizzazione lineare

Si ha quando o .

Im

Re ⋅ =

= p p

polarizzazione circolare p p

quando e 0

Si ha Re Im Re Im

polarizzazione ellittica

Si ha altrimenti.

Osserviamo che un’onda del tipo ( ) − ⋅

= k r

j

E r p

C e ˆ

1

p̂ C

reale e complessa è polarizzata linearmente.

con 1 56

Esempio 4.12.1

Individuare il tipo di polarizzazione (lineare, circolare, ellittica) dell’onda piana il cui campo elettrico ha fasore

( ) ( )

− ⋅

= +

j k r

E r x y

E e j

ˆ ˆ

0

E

con costante reale.

0

Soluzione

Il versore di polarizzazione è ⎧ 2

=

p x

⎪ ˆ

⎪ Re

( )

2 2

= + ⇒

p x y

j ⎨

ˆ ˆ ˆ

2 ⎪ 2

=

p y

ˆ

⎩ Im 2

2 2

2

= = ⋅ = ⋅ =

p p p p x y

poiché e l’onda è polarizzata circolarmente.

ˆ ˆ 0

Re Im Re Im 2 2

2

Esempio 4.12.2

Individuare il tipo di polarizzazione (lineare, circolare, ellittica) dell’onda piana il cui campo elettrico ha fasore

( ) ( )

= +

jkz

E r x y

E e j

ˆ ˆ

2

0

E

con costante reale.

0

Soluzione

Il versore di polarizzazione è ⎧ 3

=

p x

⎪ ˆ

⎪ Re

( )

3 3

= + ⇒

p x y

j ⎨

ˆ ˆ ˆ

2

3 ⎪ 2 3

=

p y

ˆ

⎩ Im 3

3 2 3 2 3 2 3

⋅ = ⋅ = = ≠ =

p p x y p p

poiché , ma l’onda è polarizzata ellitticamente.

ˆ ˆ 0

Re Im Re Im

3 3 3 3

Esempio 4.12.3

Individuare il tipo di polarizzazione (lineare, circolare, ellittica) dell’onda piana il cui campo elettrico ha fasore

( ) ( )

= + +

jkz

E r x y y

E e j

ˆ ˆ ˆ

5 2

0

E

con costante reale.

0

Soluzione

Il versore di polarizzazione è 57 ⎧ ( )

30

= +

p x y

⎪ ˆ ˆ

5

⎪ Re

( )

30 30

= + + ⇒

p x y y

j ⎨

ˆ ˆ ˆ ˆ

5 2

30 ⎪ 30

=

p y

ˆ

⎩ Im 15

( )

30 30 1 26 30 30

⋅ = + ⋅ = ≠ = ≠ =

p p x y y y p p

poiché , ma l’onda è polarizzata

ˆ ˆ ˆ ˆ

5 0

Re Im Re Im

30 15 3 30 15

ellitticamente.

Esempio 4.12.4

Individuare il tipo di polarizzazione (lineare, circolare, ellittica) dell’onda piana il cui campo elettrico ha fasore

( ) −

= jkz

E r x

E e ˆ

0

E

con costante reale.

0

Soluzione

Il versore di polarizzazione è =

p x

ˆ

= ⇒ Re

p x ⎨

ˆ ˆ =

p 0

⎩ Im

=

p 0

poiché l’onda è polarizzata linearmente.

Im

Esempio 4.12.5

Individuare il tipo di polarizzazione (lineare, circolare, ellittica) dell’onda piana il cui campo elettrico ha fasore

( ) −

= jkz

E r x

jE e ˆ

0

E

con costante reale.

0

Soluzione

Il versore di polarizzazione è =

p 0

= ⇒ Re

j

p x ⎨

ˆ ˆ =

p x

⎩ ˆ

Im

=

p 0

poiché l’onda è polarizzata linearmente.

Re

4.13 Onde piane in mezzi dissipativi

Consideriamo la forma che assume un’onda piana progressiva polarizzata linearmente all’interno di

un mezzo dissipativo ( ) − ⋅

= k r

j

E r p

C e ˆ

1

La differenza rispetto al caso di dielettrico ideale consiste nel fatto che il numero d’onda

58

ω µε

=

k *

non è un numero reale, bensì un numero complesso. ( ) − ⋅

= k r

j

E r p

C e ˆ

Questo non pregiudica il ragionamento fatto per dimostrare che è soluzione delle

1

equazioni di Maxwell, ma cambia la forma dei campi nel dominio del tempo.

Posto infatti ω µε β α β

α

= = − >

>

k j

* 0 , 0

si ha { }

{ }

( ) φ

j

ω ω

− ⋅ − ⋅

= = =

j t jk t

k r u r

E r t C e p C p

ˆ

C

ˆ ˆ

, Re e Re e e e

1

1 1

{ } { }

( )

φ φ

j j

β α ω α β ω

− − ⋅ − ⋅ − ⋅

= = =

j j t j t

u r u r u r

C p C p

ˆ ˆ ˆ

C C

ˆ ˆ

Re e e e Re e e e e

1 1

1 1

( )

α β ω φ

− ⋅

= ⋅ − −

u r

C u r t p

ˆ ˆ

ˆ

e cos C

1 1 α

− ⋅

u r

C ˆ

Questa è ancora un’onda piana, il cui modulo non è però costante nello spazio, ma si

e

1

attenua man mano che si procede lungo la direzione di propagazione.

β α costante di fase costante di attenuazione

e prendono rispettivamente il nome di e .

Le costanti β α ω

e sono funzioni di .

E’ ovvio, anche se non esplicito, che

4.14 Onde nei conduttori ed effetto pelle

Analizziamo il comportamento di un’onda piana che incide su un mezzo lineare, isotropo, tempo-

µ

ε e reali), conduttore ohmico.

invariante, omogeneo, non dispersivo (

σ σ

{ }

{ }

ε ε ε

ε ε = −

= + =

* e e Im * .

Si ha dunque Re *

ω ω

j σ

ε

E’ utile classificare il mezzo sulla base del rapporto tra i valori e .

ω

Si distinguono quattro casi

σ ε ε

= ⇒ =

1) 0 * dielettrico ideale

σ

σ ε ε ε

≠ >> ⇒ ≅

0

, * buon dielettrico

2) ω

σ σ

σ ε ε

≠ >> ⇒ ≅ − j

0

, * buon conduttore

3) ω ω

σ → ∞ conduttore perfetto

4)

Osserviamo che questa classificazione si basa non solo su proprietà intrinseche dl mezzo

(permettività e conducibilità), ma anche sulla pulsazione di lavoro.

Supponiamo dunque che il mezzo in cui l’onda piana si propaga sia un buon conduttore

σ

ε ≅ − j

* ).

( ω x̂ ẑ

e si propaghi lungo .

Per fissare supponiamo che l’onda sia polarizzata lungo

Il numero d’onda vale 59

σ ωµσ ωµσ

ω µε ω µ ωµσ β α

= ≅ − = − = − = −

k j j j j

* ω 2 2

1 1 α

− = ± >

j j

poiché tra i due valori si è scelto quello per cui .

0

2 2

La costante di propagazione e quella di attenuazione valgono pertanto rispettivamente

ωµσ

ωµσ α

β = =

2 2

Il fasore del campo elettrico è dunque ωµσ ωµσ

− −

z j z

( ) α β

− − −

= = =

jkz z j z

E r E x E x E x

2 2

ˆ ˆ ˆ

e e e e e

1 1 1

e il suo modulo vale ωµσ ωµσ ωµσ

− − −

( ) z j z z

= =

E r E x E

2 2 2

ˆ

e e e

1 1

profondità di penetrazione d

Si chiama la distanza dentro il conduttore alla quale l’ampiezza del

d

campo si riduce di un fattore e. è cioè tale che ωµσ

− d

( ) ( )

1 1 1 2

= = = ⇒ = ⇒ = =

E E

z d z E E d

2

0 e α ωµσ

1 1

e e

σ ω

→ ∞ → ∞

Osserviamo che per (conduttore perfetto) o per (campi in altissima frequenza),

d 0 , ossia l’onda non penetra nel mezzo conduttore.

Esempio S

σ µ µ ω π

≅ ⋅ ≅ = ⋅

, ) per e

Calcolare la profondità di penetrazione per il rame ( 7

5.76 10 2 50 Hz

0

m

ω π

= ⋅ .

2 10

GHz

Soluzione

Innanzitutto verifichiamo che, alle pulsazioni indicate, il rame sia un buon conduttore.

Affinché un mezzo sia classificato come buon conduttore deve essere

σ ε σ εω

>> ⇒ >>

ω

Poiché nei metalli la permettività relativa è di poche unità, la condizione è ampiamente verificata.

ω π

= ⋅

Per , sostituendo i valori numerici, si ha

2 50 Hz 2

= ≅

d 1

.

11 cm

ωµσ

60

ω π

= ⋅

e per 2 10 GHz 2

= ≅

d 0

.

7 µm

ωµσ

Queste osservazioni ci portano alla conclusione che all’interno di un conduttore perfetto il campo

elettromagnetico è nullo; le condizioni di interfeccia nel caso in cui uno dei due mezzi (per fissare

le idee il mezzo 1) è un conduttore si riducono quindi alle condizioni

× =

n E r 0

ˆ ( )

2

× =

n H r J

ˆ ( ) s

2

≡ ≡

E r 0 H r 0

( ) ( )

essendo e .

1 1 σ

=

J E

Da questi ragionamenti si deduce che in un conduttore ohmico (in cui ), al crescere della

effetto pelle

frequenza la corrente passa negli strati più esterni del conduttore ( ). Questo fenomeno è

equivalente ad un aumento della resistività del conduttore, poiché si riduce la sezione disponibile al

passaggio di corrente (vedi esempio ?).

4.15 Onde sferiche

Consideriamo una regione di spazio priva di sorgenti impresse riempita da un mezzo lineare,

isotropo, non dispersivo nello spazio.

Supponiamo che la simmetria del problema imponga che i vettori di campo dipendano dalla sola

r .

coordinata sferica

I campi elettrico e magnetico sono pertanto del tipo

( ) ( ) ( ) ( )

= + +

E r x y z

E r E r E r

ˆ ˆ ˆ

x y z

( ) ( ) ( ) ( )

= + +

H r x y z

H r H r H r

ˆ ˆ ˆ

x y z

Le equazioni di Helmholtz sono allora ( ) ( )

∇ + =

E E 0

r k r

⎪ 2 2

⎨ ( ) ( )

⎪⎩

∇ + =

H H 0

r k r

2 2

L’equazione per il campo elettrico è equivalente alle tre equazioni scalari

( ) ( )

∇ + =

E r k E r

2 2 0

x x

⎪ ( ) ( )

∇ + =

E r k E r

2 2

⎨ 0

y y

⎪ ( ) ( )

∇ + =

E r k E r

2 2

⎩ 0

z z

Per fissare le idee, risolviamo la prima.

Esplicitando la forma dell’operatore laplaciano in coordinate sferiche, si ha

d d

2 2

( ) ( ) ( ( )

) ( ) ( ( )

) ( ( )

)

1

∇ + = ⇒ + = ⇒ + =

E r k E r rE r k E r rE r k rE r

2 2 2 2

0 0 0

x x x x x x

r dr dr

2 2

61

Questa è un’equazione differenziale alle derivate totali lineare a coefficienti costanti nell’incognita

( )

rE r . Sappiamo che la soluzione è

x − jkr jkr

e e

( ) ( )

= + ⇒ = +

jkr jkr C

rE r C e C e E r C

x x x x x x

1 2 1 2

r r

C C

con e costanti da determinare, che, per semplicità, supporremo entrambe reali o entrambe

x x

1 2

onda sferica polarizzata linearmente

complesse ( ).

In modo analogo si trova − jkr jkr

e e

( ) = +

E r C C

y y y

1 2

r r

− jkr jkr

e e

( ) = +

E r C C

z z z

1 2

r r

Dunque − ( ) ( )

jkr jkr

e e

( ) = + + + + +

E r x y z x y z

C C C C C C

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z x y z

1 1 1 2 2 2

r r

Affinché questa soluzione dell’equazione di Helmholtz sia soluzione delle equazioni di Maxwell

deve essere ( )

⋅ + + =

r x y z

C C C

ˆ ˆ ˆ ˆ

⎪ 0

( ) x y z

1 1 1

∇ ⋅ = ⇒

E r ⎨ ( )

0 ⋅ + + =

⎪⎩

r x y z

C C C

ˆ ˆ ˆ ˆ 0

x y z

2 2 2

Queste condizioni significano che la componente radiale del campo elettrico deve essere nulla,

ovvero che il campo elettrico risulta ortogonale al versore in ogni punto dello spazio.

Possiamo allora scrivere ( ) ( )

− jkr jkr

e e

( ) = + + +

ˆ ˆ

E r θ φ θ φ

E E E E

ˆ ˆ

θ φ θ φ

1 1 2 2

r r

Procedendo in modo analogo a quanto fatto per le onde piane, si dimostra immediatamente che il

( )

− jkr

e +

ˆ

θ φ

E E onda progressiva

ˆ

fasore corrisponde ad un onda che si allontana dall’origine ( ) e

θ φ

1 1

r ( )

jkr

e +

ˆ

θ φ

E E onda regressiva

ˆ

il fasore ad un onda che si avvicina all’origine ( ).

θ φ

2 2

r

In entrambi i casi, i fronti d’onda del campo elettrico sono individuati dalle relazioni

=

kr costante ( ) ( )

− jkr

jkr e

e

costante

= + +

ˆ ˆ

θ φ θ φ

E E E E

r ˆ ˆ

e sono quindi delle sfere di raggio ; i fasori e

θ φ θ φ

1 1 2 2

r

k r

onde sferiche .

rappresentano pertanto 62

Il campo magnetico si ricava immediatamente dalla legge di Faraday-Neumann. Si ha

( )

⎡ ⎤

d d

( ) ( ) ( ) ( ( )

)

1 1 1

= − ∇ × = − − + =

ˆ

H r E r θ φ

rE r rE r ˆ

⎢ ⎥

φ θ

ωµ ωµ

j j r dr dr

⎣ ⎦

( ) ( )

⎡ ⎤

d d

1 1 1

− −

= − − + + + =

jkr jkr jkr jkr

ˆ

θ φ

e E e E e E e E ˆ

⎢ ⎥

φ φ θ θ

ωµ 1 2 1 2

j r dr r dr

⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− E E

jkr jkr

e E e E

φ φ

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= − + + −

θ θ

ˆ ˆ

θ φ θ φ

1 2

1 2

ˆ ˆ

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

η η η η

r r

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Anche il campo magnetico è dunque la somma di un’onda sferica progressiva e di un’onda sferica

regressiva.

Il rapporto tra i moduli del campo elettrico e del campo magnetico progressivi

( )

− jkr

e

( ) = +

ˆ

E r θ φ

E E ˆ

θ φ

1 1

r ⎛ ⎞

− E

jkr E

e

( ) φ

⎜ ⎟

= − + θ

ˆ

H r θ φ

1 1 ˆ

⎜ ⎟

η η

r ⎝ ⎠

vale, come per le onde piane ( )

− −

jkr jkr

e e

+ +

ˆ

θ φ

E E E E

2 2

ˆ

( ) θ φ θ φ

1 1 1 1

E r r r η

= = =

( ) ⎛ ⎞

H r E

jkr +

E

e E E

2 2

− jkr

e

φ

⎜ ⎟

− + θ

ˆ θ φ

θ φ

1 1 ˆ 1 1

⎜ ⎟

η η

r η

⎝ ⎠ r

A differenza delle onde piane però, le onde sferiche non sono in generale TEM. Infatti risulta

( ) ( ) ⎡ ⎤

⎡ ⎛ ⎞

⎛ ⎞

− − E E

jkr jkr jkr jkr

E e E

e e e

( ) ( ) φ φ

⎜ ⎟

⎜ ⎟ =

− +

⋅ − +

⋅ = + + + θ θ

ˆ ˆ ˆ ˆ

E r H r θ φ θ φ θ φ θ φ

E E E E 1 2

⎢ ⎥

1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ

⎢ ⎜ ⎟

⎜ ⎟

θ φ θ φ η η η η

1 1 2 2 r

r r r ⎝ ⎠

⎝ ⎠

⎣ ⎣ ⎦

( )

2

= −

E E E E

θ φ φ θ

η 1 2 1 2

r 2

Analoghe proprietà valgono per le onde regressive.

Il vettore d’onda per una generica onda in regime sinusoidale è definito nel modo seguente

( )

ϕ

= −∇

k r

( )

ϕ r è la fase del fasore del campo elettrico.

dove

E’ immediato verificare questa definizione è coerente con quella data per il vettore d’onda di

un’onda piana. ( )

ϕ =

r ).

Da questa definizione segue che il vettore d’onda è ortogonale ai fronti d’onda ( costante

63

Per un’onda sferica progressiva ( )

− jkr

e

( ) ( )

ϕ

= + ⇒ = −

ˆ

E r E θ E φ r kr

ˆ

θ φ

1 1

r

Il vettore d’onda è pertanto di un’onda sferica progressiva

( )

ϕ

= −∇ =

k r k

r

ˆ

Per un’onda sferica progressiva si ha invece

( ) ( )

ϕ ϕ

= ⇒ = −∇ = −

r k r r

kr k ˆ

4.16 Velocità di fase, velocità di gruppo e indice di rifrazione

velocità di fase

Per un’onda in regime sinusoidale permanente si definisce lo scalare

ω

=

v { }

f k

Re

velocità di gruppo

e lo scalare ω

d

=

v ( { }

)

g d k

Re

ω εµ

=

k

essendo il numero d’onda.

Esempio 4.16.1

Verificare che per un’onda piana che si propaga in un dielettrico ideale, velocità di fase e di gruppo coincidono.

Soluzione µ

ε

Per un onda piana in un dielettrico ideale, la permettività e la permeabilità non dipendono dalla pulsazione e sono

numeri reali. Pertanto ω ω ω ω

d d

1 1 1

= = = = = = =

v v

{ } ( { }

)

f g dk

ω εµ εµ εµ

k d k dk

Re Re ω

d

Esempio 4.16.2

Verificare che per un’onda piana che si propaga in un mezzo dispersivo, in generale, velocità di fase e di gruppo non

coincidono.

Soluzione µ

ε

Per un onda piana in un mezzo dispersivo, la permettività e la permeabilità dipendono dalla pulsazione e sono

numeri complessi, ossia [ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ε ω ε ε ω ε ω µ ω µ µ ω µ ω

= − = −

j j

' ' ' ' ' '

0 0

Pertanto ( ) ( ) ( )

ω β ω α ω

= −

k j

e 64

ω ω ω ω

d d 1

= = = = =

v v ( )

{ } ( ) ( { }

) ( ) β ω

β ω

f β ω

g d

k d k d

Re Re ω

d

Esempio 4.16.3

Calcolare la velocità di fase e la velocità di gruppo di un’onda sferica che si propaga in un dielettrico ideale.

Soluzione µ

ε

Per un onda sferica in un dielettrico ideale, la permettività e la permeabilità non dipendono dalla pulsazione e

sono numeri reali. Pertanto

ω ω ω ω

d d

1 1 1

= = = = = = =

v v

{ } ( { }

)

f g dk

ω εµ εµ εµ

k d k dk

Re Re ω

d

ω εµ

=

essendo k indice di rifrazione

Si definisce di un mezzo, il numero complesso

εµ εµ

= =

n c

ε µ

0 0

Esempio 4.16.4 θ θ θ

Calcolare l’angolo di riflessione e di rifrazione di un’onda piana che incide con angolo sull’interfaccia piana tra

' ' '

due dielettrici ideali semi-infiniti.

Soluzione

Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano con piano x = 0 coincidente con l’interfaccia.

′ ′

E E

E

Detti , i vettori di polarizzazione dell’onda incidente, rifratta e riflessa, il campo elettrico dell’onda si può

,

0 0

0

scrivere, con ovvio significato dei simboli, { } { }

( ) ( )

ω ω

⎧ ′

− ⋅ − ⋅

+ <

k r k r

j t j t

E E x

'

' '

'

⎪ Re e Re e 0

( ) = 0 0

E r t ⎨ { }

, ( )

ω

′ − ⋅

⎪⎩ >

k r

j t

E x

' '

Re e 0

0

Le condizioni di interfaccia per il campo elettrico impongono che, ad ogni istante e in ogni punto del piano x = 0, la

=

n x

componente tangenziale del campo sia continua, ossia, essendo ˆ ˆ

{ } { } { }

( ) ( ) ( )

ω ω ω

′ ′

− ⋅ − ⋅ − ⋅

× + × = ×

j t k r j t k r j t k r

x E x E x E

'

' '

' ' '

ˆ ˆ ˆ

Re e Re e Re e

0 0 0

Affinché questa uguaglianza valga in ogni istante e in ogni punto del piano x = 0, deve necessariamente essere

ω ω ω

= =

⎧ ' ' '

ω ω ω

− ⋅ = − ⋅ = − ⋅ ⇒

t k r t k r t k r ⎨

' ' ' ' ' ' ⋅ = ⋅ = ⋅ = ∀

k r k r k r x y z

⎩ ' ' ' 0

, ,

In componenti la condizione sui vettori d’onda si scrive ′ ′

= =

⎧ k k k

y y y

′ ′ ′

′ ′

+ = + = + ∀ ⇒

k y k z k y k z k y k z y z ⎨

,

y z y z y z ′ ′

= =

k k k

⎩ z z z

65 ′ ′

= = =

k k k

Nell’ipotesi che la direzione dell’onda incidente sia giaccia su un piano ortogonale all’interfaccia ( ), si

0

z z z

ha ( )

θ θ

= +

k x y

k ˆ ˆ

cos sin

⎪ ( )

θ θ θ θ θ

= + ⇒ = =

k x y

k k k k

⎨ ˆ ˆ sin ' sin ' ' ' sin ' '

' ' cos ' sin '

⎪ ( )

θ θ

= − +

k x y

k

⎩ ˆ ˆ

' ' cos sin ' '

ω ω

= =

k k

Osserviamo che essendo , risulta e la condizione precedente diventa

' ' ' '

θ θ θ θ

= ⇒ =

sin sin ' ' ' '

⎨ k '

θ θ θ θ

= ⇒ =

k k

sin ' sin ' sin sin '

⎪⎩ k

ω ω

=

Essendo ' ω ω

=

Osserviamo che essendo , risulta

' ' ε µ

ω εµ εµ εµ

k n

' '

= = = =

0 0

ω ε µ ε µ ε µ ε µ

k n

' ' ' ' ' ' '

0 0

e la condizione precedente diventa θ θ

=

⎧ ' '

⎨ θ θ

=

n n

⎩ sin ' sin '

(legge di Snell).

4.17 Approssimazione di onda piana

Abbiamo visto che i campi elettrico e magnetico in un’onda sferica progressiva

( )

− jkr

e

( ) = +

ˆ

E r E θ E φ

ˆ

θ φ

1 1

r ⎛ ⎞

− E

jkr E

e

( ) φ

⎜ ⎟

= − + θ

ˆ

H r θ φ

1 1 ˆ

⎜ ⎟

η η

r ⎝ ⎠

sono ortogonali alla direzione in ogni punto dello spazio.

Fissata una direzione specifica i campi risultano quindi ad essa ortogonali e a grande distanza

→ ∞

r

dall’origine ( ) ( )

( ) ( ) 2

⋅ = − →

E r H r E E E E 0

θ φ φ θ

η 1 2 1 2

r 2

In una direzione fissata, a grande distanza dalla sorgente, l’onda sferica può dunque essere ben

approssimata da un’onda TEM, ovvero poiché si ha anche

( ) ( )

η

=

E r H r

66

da un’onda piana.

Il risultato ottenuto è in realtà più generale; si può dimostrare infatti che il campo elettromagnetico

generato da una sorgente qualunque, a grande distanza dalla sorgente stessa, in una direzione

fissata, è con ottima approssimazione un’onda piana.

4.18 Classificazione delle onde elettromagnetiche in base alla frequenza

A conclusione di questo capitolo, riportiamo una tabella che indica i nomi con i quali ci si riferisce

alle regioni dello spettro dei segnali elettromagnetici e le tipiche applicazioni delle onde a quelle

frequenze.

Frequenza Nome Applicazioni Lunghezza d’onda

(Hz)

2

10 Super Low Frequency Comunicazioni 3000 km

(SLF) sottomarine

3

10 Ultra Low Frequency 300 km

(ULF)

4

10 Very Low Frequency 30 km

(VLF)

5

10 Low Frequency (LF) Comunicazioni marine 3 km

6

10 Medium Frequency Comunicazioni AM 300 m

(MF)

7

10 High Frequency (HF) Radio in onde corte 30 m

8

10 Very High Frequency Comunicazioni aeree e 3 m

(VHF) marine, radio FM,

canali TV

9

10 Ultra High Frequency Telefoni cellulari, 30 cm

(UHF) radar, forni a

microonde, canali TV

10

10 Super High Frequency Microonde, radar, 3 cm

(SHF) apparecchi radiomobili

11

10 Extremly Hign Microonde cosmiche 3 mm

Frequency (EHF)

12

10 Infrarosso lontano 0.3 mm

µm

13

10 Infrarosso lontano 30

µm

14 13

10 Infrarosso vicino 3 µm

15

10 Ultravioletto vicino 0.3

16

10 Ultravioletto nel vuoto 30 nm

17

10 Raggi X deboli 3 nm

18

10 Raggi X deboli 0.3 nm

19

10 Raggi X forti 30 pm

20

10 Raggi gamma 3pm

21

10 Raggi gamma 0.3 pm

22

10 Raggi gamma cosmici 30 fm

⋅ ⋅

14 14

13 3

.

9 10 7

.

6 10

Lo spettro della luce visibile si estende tra Hz e Hz.

67

Capitolo 5

Energia del campo elettromagnetico e teorema di Poynting

5.1 Energia del campo elettromagnetico, conservazione dell’energia e teorema di Poynting

Nella moderna teoria fisica, il campo elettromagnetico non è un artificio matematico per descrivere

fisica

interazioni a distanza, ma un’entità con la stessa “dignità“ della materia; non deve pertanto

energia.

meravigliare che esso sia dotato di 3 u

In un mezzo qualunque, la densità volumetrica di energia (J/m ) del campo elettromagnetico è

densità di energia elettrica u e

data dalla somma di due contributi, chiamati rispettivamente E

14

densità di energia magnetica u così definiti

M

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

= ⋅ = ⋅

u r t D r t E r t u r t B r t H r t

, , , , , ,

E M

2 2

Ossia risulta ( ) ( ) ( )

= +

r r r

u t u t u t

, , ,

E M

( )

U t V,

che il campo possiede in un volume vale

L’energia V [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

∫ ∫

= = ⋅ + ⋅

U t u r t dV D r t E r t B r t H r t dV

, , , , ,

V V V

2

principio di conservazione dell’energia

Il è un principio generale della fisica che anche il campo

elettromagnetico deve rispettare.

14 Questa definizione dell’energia magnetica è valida solo per i mezzi non isteretici.

68

teorema di Poynting

Il stabilisce, partendo dalle equazioni di Maxwell, che il campo

elettromagnetico soddisfa il principio di conservazione dell’energia.

5.2 Teorema di Poynting per un mezzo lineare, isotropo, tempo-invariante, non dipersivo,

omhico P Q,

E’ noto dal calcolo vettoriale che per due generici campi vettoriali e risulta

( )

∇ ⋅ × = ⋅ ∇ × − ⋅ ∇ ×

P Q Q P P Q

P E Q H,

Posto = e = si ha dunque, esplicitando gli argomenti

( ( ) ( )

) ( ) ( ) ( ) ( )

∇ ⋅ × = ⋅ ∇ × − ⋅ ∇ ×

E r H r H r E r E r H r

t t t t t t

, , , , , ,

Ricordando le equazioni di Maxwell ( )

∂ t

B r

( ) ,

∇ × = −

t

E r , ∂

t ( )

∂ t

D r

( ) ( ) ,

∇ × = +

t t

H r J r

, ,

e ∂

t

e sostituendo, si ottiene ( ) ( )

∂ ⎤

⎡ B r D r

t t

( ( ) ( )

) ( ) ( ) ( )

, ,

− ⋅ +

∇ ⋅ × = ⋅ −

E r H r H r E r J r

t t t t t

, , , , , ⎥⎦

⎢ e ∂

t t

⎣ ( ) ( ) ( )

= ×

vettore di Poynting S r E r H r

t t t ; le dimensioni fisiche di tale

Chiamiamo il vettore , , ,

2 15

. Si ricava allora

vettore sono W/m ( ) ( )

∂ ∂

t t

B r D r

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, ,

∇ ⋅ = − ⋅ − ⋅ − ⋅

t

t t t t

S r E r J r H r E r

, , , , ,

e ∂

t t

Per le ipotesi sul mezzo, risulta ( ) ( ) ( )

=

D r r E r

t ε t

, ,

( ) ( ) ( )

=

B r r H r

t µ t

, ,

e dunque si ottiene

( ) ( ) ( )

∂ ∂

∂ ∂ ⎤

r

u t t t

D r E r

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, 1 1 , ,

ε =

= ⋅ + ⋅

= ⋅

D t t t t

r E r r E r D r

E , , , , ⎥⎦

⎢ ∂ ∂

∂ ∂

t t t t

⎣ 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⎡ ⎤

∂ ∂ ∂ ∂

t t t t t t

D r D r D r D r D r D r

( ) ( )

1 , , 1 , , , ,

⋅ + ⋅ = ⋅ = ⋅

t t

D r E r

⎢ ⎥

, ,

( ) ( )

( )

ε ε ε

∂ ∂ ∂ ∂

t t t t

r r r

⎣ ⎦

2

15 Questa relazione costituisce il teorema di Poynting in forma locale per un mezzo generico.

69

( ) ( ) ( )

∂ ∂

∂ ∂ ⎤

u t t t

r B r H r

( ) ( ) ( ) ( )

, 1 1 , , =

= ⋅ + ⋅

= ⋅

t t t t

B r H r H r B r

M , , , , ⎥⎦

⎢ ∂ ∂

∂ ∂

t t t t

⎣ 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

∂ ∂

∂ ∂ ⎤

⎡ t t t t

B r B r B r B r

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 , , , ,

µ µ µ

= ⋅ = ⋅

⋅ + ⋅

t t t t

r B r B r r B r r H r

, , , ,

⎢ ∂ ∂

∂ ∂

t t t t

2

Sostituendo i risultati ottenuti si ottiene ( ) ( )

( ) ∂ ∂

u t u t u t

r r r

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, , ,

⇒ ∇ ⋅ = − ⋅ −

∇ ⋅ = − ⋅ − + −

E M

t t t t t t

S r E r J r S r E r J r

, , , , , ,

e e

∂ ∂

t t t

V

Integriamo adesso ambo i membri di questa equazione su un volume arbitrario delimitato dalla

S.

superficie chiusa Usando il teorema della divergenza si ottiene ( )

u r t

( ) ( ) ( ) ( ) ,

∫ ∫ ∫ ∫

∇ ⋅ = ⋅ = − ⋅ −

S r t dV S r t n dS E r t J r t dV dV

ˆ

, , , ,

e ∂

t

V S V V

V

Tenendo conto che il volume è indipendente dal tempo, si ottiene ( )

dU t

( ) ( ) ( )

∫ ∫

⋅ = − ⋅ − V

t dS t t dV

S r n E r J r

ˆ

, , ,

e dt

S V

( )

U t , lo ricordiamo, l’energia del campo elettromagnetico.

essendo V

Poiché ( ) ( ) ( )

= +

J r t J r t J r t

, , ,

e 0

si ottiene il teorema di Poynting ( )

dU t

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∫ ∫ ∫

⋅ + ⋅ + = − ⋅

V

S r t n dS E r t J r t dV E r t J r t dV

ˆ

, , , , ,

0

dt

S V V

( )

U t V,

è l’energia del campo elettromagnetico in per definizione di potenza,

Poiché V ( )

dU t

( ) = V V.

P t è la potenza del campo elettromagnetico all’interno di

V dt ( ) ( )

∫ ⋅

E r J r

t t dV

Sappiamo che è la potenza ceduta dal campo alle cariche delle sorgenti

, ,

0

V ( ) ( )

= − ⋅

E r J r

P t t dV

impresse (vedi paragrafo ?); il termine è dunque la potenza fornita dalle

, ,

0 0

V

sorgenti al campo. ( ) ( )

∫ ⋅

E r J r

t t dV

Analogamente il termine è la potenza scambiata dal campo con le cariche

, ,

V

presenti nel mezzo. ( ) ( ) ( )

σ

=

J r r E r

t t e dunque

Poiché il mezzo è ohmico , ,

( ) ( ) ( )

1

∫ ∫

= ⋅ = ≥

2

P E r t J r t dV J r t dV

, , , 0

( )

σ

J r

V V

70


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corsi di laurea magistrale in ingegneria elettronica
SSD:
Università: Genova - Unige
A.A.: 2008-2009

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher melody_gio di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Campi elettromagnetici I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Genova - Unige o del prof Bozza Giovanni.

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