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Equazioni costitutive di un mezzo lineare, tempo-invariante, isotropo, non dispersivo nello spazio, non omogeneo e dispersivo nello spazio
K K( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )m n∂ ∂ ∂ ∂m n0 1 0 1t t t t∂ ∂ ∂ ∂i jt t t tB r B r H r H r( , ) ( , ) ( , ) ( , )+ + + = + + +b t b b h t h hr B r r r r H r r r
K K( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )i j∂ ∂ ∂ ∂i j0 1 0 1t t t t∂ ∂ ∂ ∂k pt t t tJ r J r E r E r( , ) ( , ) ( , ) ( , )+ + + = + + +j t j j tr J r r r r E r r r
K K( ) ( , ) ( ) e ( ) ( , ) e ( ) ( )k p∂ ∂ ∂ ∂k p0 1 0 1t t t t
descrivono un mezzo lineare, tempo-invariante, isotropo, non dispersivo nello spazio, non omogeneo e dispersivo nello spazio.
In regime stazionario tutte le derivate si annullano e le equazioni precedenti si scrivono
=d t e tr D r r E r( ) ( , ) ( ) ( , )0 0
=b t h tr B r r H r( ) ( , ) ( ) ( , )0 0
=j t tr J r r E r( ) ( , ) e ( ) ( , )0 0 re hr r e ( )( ) ( )ε µ σ == = rr rovvero, posto esse si riducono alle equazioni costitutive di un00 0 ( )( ) ( ), , ,d br r j r( ) ( ) ( )0 0
0mezzo non dispersivo (ε) (μ) (σ)=t ε tD r r E r, , (μ) (σ)=t μ tB r r H r, , (σ)=t σ tJ r r E r, ,ohmico legge di Ohmse per esso vale laUn mezzo si dice (σ)=t t tJ r σ r E r, , ,(σ)r conducibilità elettrica, (S/m) il tensore di del mezzo.essendo (σ)r è sostituito da uno scalare e la legge di Ohm si scriveSe il mezzo è isotropo il tensore , (σ)=t σ t tJ r r E r, , ,(1/ρ)= Ω resistivitàtr , ( m) prende il nome di del mezzo.La quantità (σ)tr , 27Sono ohmici un ampio numero di materiali (Cu, Fe, Au, Ag, …).7La validità della legge di Ohm è limitata al caso in cui il modulo del campo elettrico non sia troppointenso.Le equazioni costitutive del vuoto sono(ε)=t tD r E r, ,0(μ)=t tB r H r, ,0(σ)=tJ r 0 (nel vuoto non ci sono cariche libere!),dove Fε −≈ ⋅ permettività dielettrica128.85 10è la costante dielettrica del vuoto (ε0)
µ −≈ ⋅ permeabilità magnetica (4π×10-7 Tm/A)
Per un mezzo lineare, isotropo, tempo-invariante, omogeneo, non dispersivo, le equazioni costitutive si scrivono:
ε = εrε0
µ = µrµ0
dove εr e µr sono rispettivamente la permettività dielettrica relativa e la permeabilità magnetica relativa del mezzo.
Un mezzo è un dielettrico ideale se esso è lineare, isotropo, omogeneo, non dispersivo, tempo-invariante e con σ = 0.
Può essere conveniente introdurre la costante dielettrica relativa:
εr = ε/ε0
e la permeabilità magnetica relativa:
µr = µ/µ0
che, essendo rapporti di grandezze omogenee, sono numeri puri.
Le equazioni costitutive possono allora essere scritte:
ε = εrε0D
µ = µrµ0B
Ricordando che ε = ε0 + εr, µ = µ0 + µr,
Per una interpretazione microscopica della legge di Ohm si veda G. L. Pollack, D. R. Stump, Electromagnetism, Addison Wesley, pagg. 236-238 (paragrafo 7.4).
Si ricava ε = ε0 - Δε, µ = µ0 - Δµ,
I parametri (adimensionali) χ = Δε/ε0 e χ = Δµ/µ0 prendono il nome di suscettività elettrica e suscettività magnetica.
Ad esclusione dei materiali ferromagnetici, che non sono lineari, se µr > 1 e εr > 1 il materiale si dice paramagnetico.
Se µr < 1 e εr < 1 il materiale si dice diamagnetico.
Sono diamagnetici, tra gli altri, l'oro, l'argento, la grafite, l'elio.
il testo fornito è già formattato correttamente, non è necessario aggiungere ulteriori tag HTML.Per l'equazione di continuità:
ρ∂ttr(∇⋅) = -ηJr, e ∂t deve risultare 8
Per una descrizione più dettagliata dei materiali ferromagnetici e dei fenomeni microscopici che portano al diamagnetismo, al paramagnetismo e al ferromagnetismo si veda C. Mencuccini, V. Silvestrini, Fisica II, Liguori, pagg.247-260 (paragrafi VI.5 e VI.6)
Per l'equazione differenziale ordinaria lineare a coefficienti costanti:
ρε∂tr(ρ−) = etr, σ∂t
Questa è un'equazione differenziale ordinaria lineare a coefficienti costanti, valida in tutti i punti di V, ad esclusione di quelli sulla frontiera (punti non ordinari); la sua soluzione è:
σ(ρ) = -ttr(r, 0)exp(-εe)
Questo risultato evidenzia due importanti fattori:
nei punti in cui era presente una quantità di carica non nulla, questa decresce esponenzialmente con costante di tempo σ
nei punti in cui non era presente una quantità di carica, questa rimane costante nel tempo.
presente carica continuano ad essere neutre- ( ) ( )ρ ρ= ⇒ = ∀t tr r,0 0 , 0e ePoiché la carica deve comunque conservarsi e le cariche in eccesso non possono (per ipotesi)V V, queste non potranno che disporsi sulla frontiera di , dove la relazionelasciare σ⎛ ⎞( ) ( )ρ ρ= −⎜ ⎟t tr r, ,0 exp non è valida.εe e ⎝ ⎠E’ importante osservare che il tempo di rilassamento è inversamente proporzionale allaconducibilità di V; questo significa che se V è un buon conduttore il suo tempo di rilassamento èinferiore (di molto!) rispetto a quello di un cattivo conduttore.σ → ∞ ), il tempo di rilassamento è addirittura nullo.Se poi V è un conduttore perfetto (Inserire esempiEsempio 2.2.1 ε nel SI si misura in secondi.Verificare che il rapporto σSoluzioneNel SI ⋅ ⎫ ⋅[ ] F A s A sε = = ⎪ ε⎪ ⎡ ⎤⋅ ⋅m V m V m=
⇒⎬ s⎢ ⎥σ⎣ ⎦ A[ ] 1 A ⎪σ = = ⎪ ⋅Ω ⋅ ⋅ ⎭ V mm V m Esempio 2.2.2 Calcolare il tempo di rilassamento per il rame. Soluzione Sσ ε −≅ ⋅ Per il rame ε σ −≈ ⋅Per il rame, mentre è di poche unità. Il tempo di rilassamento è pertanto dell’ordine dei 7.710 s5.76 10 rm Esempio 2.2.3 Calcolare il tempo di rilassamento per il quarzo fuso. 30 Soluzione S εσ −≈ , mentre è di poche unità. Il tempo di rilassamento è pertanto dell’ordine dei 1710 rm− .1710 s 2.3 Condizioni di interfaccia I campi sono continui con tutte le loro derivate laddove il mezzo è continuo, ossia dove sono ( ) ( )ε µ punti ordinarir re ( ); nei punti in cui invece è presente una continue le funzionidiscontinuità (passaggio da un mezzo ad un altro), i vettori di campo possono essere anch’essi discontinui. Analizziamo il comportamento dei- quattro vettori di campo a ridosso dell'interfaccia tra due mezzi.
- Condizioni di interfaccia per DS la superficie (regolare quanto occorre) che separa due mezzi, chiamati 1 e 2.
- Sia P S Cr, di vettore posizione , appartenente a e si costruisca un cilindro con asse
- Si fissi un punto PP S Ppassante per e con basi parallele al piano tangente a in , così come indicato in figuraα αα= =R R H H2 il raggio e l’altezza del cilindro, essendo un parametro adimensionale
- Siano 0 0positivo. C V; avendo indicato con la regione di
- Si applichi la legge di Gauss per il campo elettrico al cilindroC, risultaspazio delimitata da ( ) ( )∫ ∫ ρ⋅ =t dS t dVD r n rˆ, ,eC VIl primo membro si può scomporre in tre contributi( )
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