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si ha π π

2

QR

( ) ( ) ( )

∫ ∫ θ ϕ θ θ ϕ

= =

p r 0

t d d

ˆ , sin

π

4 0 0

Quando il guscio ruota ogni suo punto è dotato di velocità

ω θ

=

v φ

R ˆ

sin

Sulla base di questa osservazione risulta ω

Q Q

( ) ( )

ρ δ ω θ δ θ

= ⇒ = − = −

J v J r R R φ r R φ

ˆ ˆ

sin sin

π π

e e e R R

2

4 4

e si ha ω ω

Q Q

( ) ( ) ( ) ( )

1 ∫ ∫ ∫

δ θ δ θ

= × = × − = − =

ˆ

t t dV r R dV r r R dV

m r r J r r φ θ

ˆ

, , sin sin

π π

e R R

V V V

2 8 8

π π π π π π

+ ∞ ω ω

ω 2 2 2

Q Q QR 2

( )

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

δ θ θ ϕ θ θ ϕ θ θ ϕ

= − = =

ˆ ˆ ˆ

r r R drd d R d d d d

θ θ θ

3 2 3 2 2

sin sin

sin

π π π

R R

8 8

8 0 0 0 0 0 0 0

Poiché ( )

θ ϕ ϕ θ ϕ θ θ

= + −

ˆ

θ x y z

ˆ ˆ ˆ

, cos cos sin cos sin

si ricava π π π π

ω ω

2 2

QR QR

2 2

[ ]

( ) ∫ ∫ ∫ ∫

θ ϕ θ ϕ θ θ θ ϕ θ θ ϕ

= + − = − =

t d d d d

m r x y z z

2 3

ˆ ˆ ˆ ˆ

, sin cos cos sin cos sin sin

π π

8 8

0 0 0 0

ω ω

QR QR

2 2

4

π

= − = −

z z

ˆ ˆ

2

π

8 3 3

1.3 Vettori di campo

A livello macroscopico il campo elettromagnetico è descritto dai seguenti campi vettoriali

( )

E r t Campo Elettrico Volt/metro V/m

,

( )

H r t Campo Magnetico Ampere/metro A/m

,

( ) 2 2 2

D r t Induzione Elettrica Coulomb/metro C/m

,

( ) 2 2

B r t Induzione Magnetica Weber/metro = Tesla Wb/m = T

, r t.

Come indicato, tali campi sono funzioni dello spazio e del tempo Pertanto il campo

r t.

elettromagnetico è, in generale, caratterizzato da 12 funzioni scalari di e

Nei punti in cui il mezzo nel quale avviene il fenomeno elettromagnetico ha caratteristiche continue

ordinari),

(punti i vettori di campo sono continui insieme con tutte le loro derivate.

2 chiamato anche Spostamento Elettrico 9

1.5 Sorgenti di campo

Consideriamo le sorgenti di campo (cariche e correnti elettriche) dal punto di vista microscopico.

Come è già stato accennato, le cariche elettriche presenti in natura sono sempre, in ultima analisi,

riconducibili a elettroni e protoni.

Nei diversi materiali, tuttavia, il comportamento di tali cariche può variare significativamente.

Nei metalli, ad esempio, gli elettroni dello strato più esterno sono debolmente legati agli atomi, e

sono pertanto liberi di muoversi sotto l’azione di un campo elettrico, percorrendo così anche

distanze “macroscopiche”.

Nei dielettrici, invece, gli elettroni sono legati più fortemente ai loro atomi e pertanto un campo

elettrico (se non di intensità elevatissima!) non può far loro percorrere distanze macroscopiche, ma

può soltanto perturbarne il moto, inducendo nell’atomo un momento di dipolo elettrico non nullo.

Chiamando ( )

ρ r t

, la densità volumetrica di carica dovuta a portatori “liberi” (quali sono gli elettroni

- free

nei metalli)

( )

ρ r t

, la densità volumetrica di carica dovuta a portatori “legati” (quali sono gli

- bounded

elettroni nei dielettrici)

si può scrivere ( ) ( ) ( )

ρ ρ ρ

= +

r t r t r t

, , ,

e free bounded

Evidentemente, sia quando si muovono le cariche “libere” sia quando si muovono quello “legate”,

si ha una densità di corrente elettrica.

Chiamiamo ( )

J r t

, la densità di corrente elettrica dovuta al moto delle cariche “libere”

- free ( )

J r t

, la densità di corrente elettrica dovuta al moto delle cariche “legate”

- bounded

Bisogna inoltre tenere presente che gli elettroni muovendosi attorno ai nuclei danno luogo a

“correnti macroscopiche” e, ruotando su se stessi, sono dotati di un momento magnetico intrinseco.

Per tenere conto di questi effetti utilizziamo la densità di corrente di magnetizzazione

( )

J r t

, .

magnetizat ion

Alla luce di queste considerazioni si può scrivere

( ) ( ) ( ) ( )

= + +

J r t J r t J r t J r t

, , , ,

e free bounded magnetizat

ion 3

In un mezzo immobile, tra i vettori di campo sussistono le relazioni generali

( ) ( ) ( )

ε

= +

D r t E r t P r t

, , ,

0 ( )

B r t

( ) ( )

,

= −

H r t M r t

, ,

µ 0

dove F

ε −

≈ ⋅ permettività dielettrica

12

8

.

85 10 è la del vuoto

0 m

3 Si veda J. D. Jackson, Elettrodinamica classica, Zanichelli, pagg. 241-251 (paragrafo 6.6)

10

H

µ −

≈ ⋅ 4

permeabilità magnetica

6 è la del vuoto

1

.

26 10

0 m

( )

P r t è la densità di momento di dipolo elettrico dovuta alla polarizzazione del materiale in cui si

,

trova il campo elettromagnetico: nasce in due casi

- quando si applica un campo elettrico ad un dielettrico e in tutti gli atomi viene indotto un

momento di dipolo elettrico diretto nella stessa direzione

- quando i momenti di dipolo delle molecole di un mezzo polare (come l’acqua) si orientano

tutti nella stessa direzione sotto l’azione di un campo elettrico

( )

M r t è la densità di momento di dipolo magnetico dovuta alla magnetizzazione del materiale in

,

cui si trova il campo elettromagnetico: nasce quando i momenti di dipolo magnetico microscopici

(dovuti a correnti microscopiche e momento di spin degli elettroni ) si orientano nella stessa

direzione. 5

E’ possibile far vedere che risulta ( ) ( )

ρ = −∇ ⋅

r t P r t

, ,

bounded ( )

∂ t

P r

( ) ,

=

t

J r ,

bounded ∂

t

( ) ( )

= ∇ ×

J r t M r t

, ,

magnetizat

ion ( ) ( )

ρ r t J r t

Coerentemente con le definizioni di ciascun termine, , e , dipendono solo

bounded bounded

( )

J r t

dalla polarizzazione del materiale, mentre , è legata alla sola magnetizzazione.

magnetizat

ion

1.5 Equazioni di Maxwell E, D,

Le equazioni di Maxwell sono equazioni differenziali alle derivate parziali che legano i campi

B, H.

Esse sono leggi sperimentali che un qualunque campo elettromagnetico deve soddisfare in tutto lo

spazio e in ogni istante. forma integrale globale)

In un qualunque sistema di riferimento inerziale, la (o delle equazioni di

Maxwell è la seguente

( ) ( )

∫ ∫ ρ

⋅ =

D r n r

t dS t dV

ˆ legge di Gauss per il campo elettrico

, ,

free

S V

( )

∫ ⋅ =

B r n

t dS

ˆ legge di Gauss per il campo elettrico

, 0

S ( )

B r t

( ) ,

∫ ∫

⋅ = − ⋅

E r t d

l n dS

ˆ

, legge di Faraday-Neumann

t

c S ( )

D r t

( ) ( ) ,

∫ ∫ ∫

⋅ = ⋅ + ⋅

H r t d

l J r t n dS n dS

ˆ ˆ

, , legge di Maxwell-Ampere

free ∂

t

c S S ( ) ( )

ρ r t J r t

Osserviamo che le equazioni di Maxwell non contengono le quantità , , , ,

bounded bounded

( ) ( )

( )

J r t P r M r

t t

, , e .

, ,

magnetizat

ion

µ π −

= ⋅ 7

4 4 10

Nel SI esattamente.

0

5 Si veda G. Franceshetti, Electromagnetics, Plenum Press, pagg. 6-8 (paragrafo 1.1.4)

11

Poiché le equazioni di Maxwell costituiranno la base di ogni ragionamento successivo e dal

( ) ( )

ρ r t J r t

, , , ,

momento che non tratteremo mai esplicitamente le quantità bounded bounded

( )

( ) ( ) ( )

( ) ρ ρ

J r t r t r t

P r M r

t t

, , e , scriveremo, per semplicità, , e al posto di , , e

, ,

magnetizat

ion e free

( )

( )

J r t J r t

, al posto di , . In questo modo le equazioni di Maxwell si scrivono

free

e ( ) ( )

∫ ∫ ρ

⋅ =

D r n r

t dS t dV

ˆ

, ,

e

S V

( )

∫ ⋅ =

B r n

t dS

ˆ

, 0

S ( )

B r t

( ) ,

∫ ∫

⋅ = − ⋅

E r t d

l n dS

ˆ

, ∂

t

c S ( )

D r t

( ) ( ) ,

∫ ∫ ∫

⋅ = ⋅ + ⋅

H r t d

l J r t n dS n dS

ˆ ˆ

, ,

e ∂

t

c S S

1.5.1 Legge di Gauss per il campo elettrico

La legge di Gauss per il campo elettrico in forma integrale è

( ) ( )

∫ ∫ ρ

⋅ =

D r n r

t dS t dV

ˆ

, ,

e

S V

V S.

dove è un volume qualunque delimitato dalla superficie chiusa ( )

q t V,

Osservando che il secondo membro di questa equazione è la quantità di carica contenuta in

V

la legge di Gauss si può scrivere ( ) ( )

∫ ⋅ =

D r n

t dS q t

ˆ

, V

S

Ricaviamo adesso la forma differenziale (o locale) della legge di Gauss.

Per il teorema della divergenza ( ) ( )

∫ ∫

⋅ = ∇ ⋅

D r n D r

t dS t dV

ˆ

, ,

S V

e quindi [ ]

( ) ( )

∫ ρ

∇ ⋅ − =

D r r

t t dV

, , 0

e

V

V V,

Se contiene solo punti ordinari l’integrando è continuo e, per l’arbitrarietà di deve essere

( ) ( )

ρ

∇ ⋅ =

D r t r t

, ,

e

che è la legge di Gauss per il campo elettrico in forma differenziale (o locale).

Tale equazione è dunque valida solo nei punti ordinari.

1.5.2 Legge di Gauss per il campo magnetico

La legge di Gauss per il campo elettrico in forma integrale è

( )

∫ ⋅ =

B r n

t dS

ˆ

, 0

S 12

S

dove è una qualunque superficie chiusa.

Ricaviamo adesso la forma differenziale (o locale) della legge di Gauss.

Usando il teorema della divergenza, si ottiene

( ) ( )

∫ ∫

⋅ = ∇ ⋅ =

B r n B r

t dS t dV

ˆ

, , 0

S V

V V,

Se contiene solo punti ordinari l’integrando è continuo e, per l’arbitrarietà del volume deve

essere ( )

∇ ⋅ =

B r t

, 0

che è la legge di Gauss per il campo magnetico in forma differenziale (o locale).

Tale equazione è dunque valida solo nei punti ordinari.

B

Il campo è pertanto solenoidale: questo implica che le sue linee di flusso sono sempre chiuse.

Le leggi di Gauss in forma locale sono quindi ( ) ( )

ρ

∇ ⋅ =

D r t r t

, ,

e

( )

∇ ⋅ =

B r t

, 0

La struttura di tali equazioni è simile; tuttavia a differenza della prima, la seconda è un’equazione

omogenea.

Questa asimmetria è dovuta al fatto che in natura non sono mai state osservato cariche magnetiche.

1.5.3 Legge di Faraday-Neumann

La legge di Faraday-Neumann in forma integrale è ( )

B r t

( ) ,

∫ ∫

⋅ = − ⋅

E r t d

l n dS

ˆ

, ∂

t

c S

c S c

dove è una qualunque linea orientata chiusa e è una qualunque superficie avente per contorno

e orientazione della normale indotta da c secondo la regola della mano destra.

6

S

Se è ferma , ossia non dipende dal tempo, è possibile invertire l’operazione di integrazione e

quella di derivazione e si può scrivere Φ

d d

( ) ( )

∫ ∫

⋅ = − ⋅ = − B

t d t dS

E r l B r n

ˆ

, ,

dt dt

c S

essendo ( )

Φ = ⋅

B r n

t dS

ˆ

,

B S

S

6 Il caso in cui si muova è trattato in G. Franceschetti, “Electromagnetics” Plenum Press, pagg. 4-6.

13

B S.

il flusso di concatenato con

Φ si misura in Weber (Wb).

Evidentemente nel SI B

Ricaviamo adesso la forma differenziale (o locale) della legge di Faraday-Neumann.

Per il teorema di Stokes ( ) ( )

∫ ∫

⋅ = ∇ × ⋅

E r l E r n

t d t dS

ˆ

, ,

c S

e quindi ( )

⎡ ⎤

B r t

( ) ,

∫ ∇ × + ⋅ =

E r t n dS

ˆ

, 0

⎢⎣ ⎥⎦

t

S

S S,

Se contiene solo punti ordinari l’integrando è continuo e, per l’arbitrarietà della superficie deve

essere ( )

∂ t

B r

( ) ,

∇ × = −

t

E r , ∂

t

che è la legge di Faraday-Neumann in forma differenziale (o locale).

Tale equazione è dunque valida solo nei punti ordinari.

1.5.4 Legge di Maxwell-Ampere

La legge di Maxwell-Ampere in forma integrale è ( )

D r t

( ) ( ) ,

∫ ∫ ∫

⋅ = ⋅ + ⋅

H r t d

l J r t n dS n dS

ˆ ˆ

, ,

e ∂

t

c S S

c S c

dove è una qualunque linea orientata chiusa e è una qualunque superficie avente per contorno

e orientazione della normale indotta da c secondo la regola della mano destra.

S

Se è ferma, ossia non dipende dal tempo, è possibile invertire l’operazione di integrazione e quella

di derivazione e si può scrivere Φ

d d

( ) ( ) ( ) ( )

∫ ∫ ∫ ∫

⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + D

t d t dS t dS t dS

H r l J r n D r n J r n

ˆ ˆ ˆ

, , , ,

e e

dt dt

c S S S

essendo ( )

Φ = ⋅

D r n

t dS

ˆ

,

D S

D S.

il flusso di concatenato con

Φ

Evidentemente nel SI si misura in Coulomb (C).

D 14

( )

D r t

,

∫ ⋅ n dS

ˆ , aggiunto da Maxwell sulla base di considerazioni teoriche, ha le

Il termine ∂

t

S

dimensioni fisiche di una corrente elettrica e, storicamente, è noto con il nome di corrente di

spostamento.

Ricaviamo adesso la forma differenziale (o locale) della legge di Maxwell-Ampere.

Per il teorema di Stokes ( ) ( )

∫ ∫

⋅ = ∇ × ⋅

H r l H r n

t d t dS

ˆ

, ,

c S

e quindi ( )

⎡ ⎤

D r t

( ) ( ) ,

∫ ∇ × − − ⋅ =

H r t J r t n dS

ˆ

, , 0

⎢⎣ ⎥⎦

e ∂

t

S

S S,

Se contiene solo punti ordinari l’integrando è continuo e, per l’arbitrarietà della superficie deve

essere ( )

∂ t

D r

( ) ( ) ,

∇ × = +

t t

H r J r

, ,

e ∂

t

che è la legge di Maxwell-Ampere in forma differenziale (o locale).

Tale equazione è dunque valida solo nei punti ordinari.

Le leggi di Faraday-Neumann e di Maxwell-Ampere in forma locale sono quindi

( )

∂ t

B r

( ) ,

∇ × = −

t

E r , ∂

t ( )

∂ t

D r

( ) ( ) ,

∇ × = +

t t

H r J r

, ,

e ∂

t

La struttura di tali equazioni è simile; tuttavia a differenza della prima, la seconda contiene un

termine non derivato. Inoltre il segno dei termini derivati rispetto al tempo è opposto.

forma differenziale locale)

Riassumendo, le equazioni di Maxwell in (o sono

( ) ( )

ρ

∇ ⋅ =

D r t r t

, ,

e

( )

∇ ⋅ =

B r t

, 0 ( )

∂ t

B r

( ) ,

∇ × = −

t

E r , ∂

t ( )

∂ t

D r

( ) ( ) ,

∇ × = +

t t

H r J r

, ,

e ∂

t delle equazioni di

Di queste equazioni si sono già sottolineate le analogie strutturali (dualità

Mawxell). 15 stazionario),

Nell’ipotesi che i campi e le sorgenti siano indipendenti dal tempo (regime le

equazioni di Maxwell diventano ( ) ( )

ρ

∇ ⋅ =

D r r

e

( )

∇ ⋅ =

B r 0

( )

∇ × =

E r 0

( ) ( )

∇ × =

H r J r

e

regime statico

Si parla di quando, oltre ad essere in regime stazionario, tutte le cariche sono ferme e

quindi non ci sono correnti elettriche. In questo caso le equazioni di Maxwell sono

( ) ( )

ρ

∇ ⋅ =

D r r

e

( )

∇ ⋅ =

B r 0

( )

∇ × =

E r 0

( )

∇ × =

H r 0

1.6 Equazione di continuità

L’equazione di continuità esprime il principio fisico di conservazione della carica elettrica.

Tale equazione è implicata dalle equazioni di Maxwell; per dimostrarlo si applichi l’operatore

divergenza ad ambo i membri dell’equazione di Maxwell-Ampere in forma locale

( )

∂ t

D r

( ) ( ) ,

∇ ⋅ ∇ × = ∇ ⋅ + ∇ ⋅

t t

H r J r

, ,

e ∂

t

( )

∇ ⋅ ∇ × ≡

H r t

, 0 e, essendo i campi continui con tutte le loro derivate,

Poiché

( )

∂ ∂

D r t ( )

,

∇ ⋅ = ∇ ⋅ D r t , si ottiene

,

∂ ∂

t t ∂

( ) ( )

= ∇ ⋅ + ∇ ⋅

J r t D r t

0 , ,

e ∂

t

( ) ( )

ρ

∇ ⋅ =

D r t r t

Essendo , , , si ha

e ( )

ρ

∂ t

r

( ) ,

∇ ⋅ + =

e

t

J r , 0

e ∂

t

di continuità.

che è l’equazione

Per chiarire il significato fisico di questa relazione se ne integrino ambo i membri su un generico

V S

volume delimitato da una superficie chiusa

( ) ( )

ρ ρ

⎡ ⎤

t t

r r

( ) ( )

, ,

∫ ∫ ∫

∇ ⋅ + = ⇒ ∇ ⋅ = −

e e

t dV t dV

J r J r dV

, 0 ,

⎢⎣ ⎥⎦

e e

∂ ∂

t t

V V V

Per il teorema della divergenza ( ) ( )

∫ ∫

∇ ⋅ = ⋅

J r J r n

t dV t dS

ˆ

, ,

e e

V S

V

e, essendo costante nel tempo, potendo invertire l’operazione di integrazione e quella di

derivazione, si ottiene l’equazione di continuità in forma integrale (o globale)

16 d

( ) ( )

∫ ∫ ρ

⋅ = −

t dS

J r n r t dV

ˆ

, ,

e e

dt

S V

( ) ( )

∫ ⋅

q t V, i(t)

J r n

t dS

ˆ

la quantità di carica contenuta in e osservando che è la corrente

Detta ,

V e

S

S,

uscente da l’equazione di continuità si può scrivere ( )

dq t

( ) = − V

i t dt t t

e si ottiene

Integrando questa relazione tra due istanti di tempo generici 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

t

t

∫ ∫

τ τ τ τ

= − ⇒ = −

i d q t q t q t q t i d

V V V V

0 0 t

t 0 0

( )

t

∫ τ τ

i d V t t

Osservando che è la quantità di carica che esce da tra e , questa equazione

0

t 0 V t t

all’istante è pari a quella che vi si trovava in

stabilisce che la quantità di carica che si trova in 0

V

.

meno quella che è uscita da

L’equazione di continuità in forma globale è valida in qualunque regione di spazio e in qualunque

istante; infatti ad essa si può pervenire impiegando soltanto le equazioni di Maxwell in forma

globale. c

Per dimostrarlo si consideri la legge di Maxwell-Ampere applicata ad una linea chiusa , contorno

1

S . Risulta

della superficie 1 ( )

∂ t

D r

( ) ( ) ,

∫ ∫ ∫

⋅ = ⋅ + ⋅ dS

t d t dS

H r l J r n n

ˆ ˆ

, ,

e ∂

t

c S S

1 1 1

c c

, coincidente con la curva , ma orientata

Si applichi poi la legge di Maxwell-Ampere alla curva 2 1

S S

, diversa da , ottenendo

in verso opposto, e alla superficie 2 1 ( )

∂ t

D r

( ) ( ) ,

∫ ∫ ∫

⋅ = ⋅ + ⋅ dS

t d t dS

H r l J r n n

ˆ ˆ

, ,

e ∂

t

c S S

2 2 2

( ) ( )

∫ ∫ = ∪

⋅ = − ⋅ S S S

H r t d

l H r t d

l , sommando membro a

e ponendo

Osservando che , , 1 2

c c

1 2

membro le due equazioni, si ottiene ( )

D r t

( ) ,

∫ ∫

= ⋅ + ⋅

J r t n dS n dS

ˆ ˆ

0 ,

e ∂

t

S S

V S,

Inoltre, assumendo ferma la superficie S, detto il volume racchiuso da e impiegando la legge

di Gauss per il campo elettrico, risulta

( ) ( )

∂ t d dq t

D r ( )

,

∫ ∫

⋅ = ⋅ = V

dS t dS

n D r n

ˆ ˆ

,

t dt dt

S S

( )

q t V.

essendo la carica contenuta in

V 17 ( )

∫ ⋅

J r n

t dS

ˆ

Sostituendo questo risultato nell’equazione precedente e notando che è la corrente

,

e

S

i(t) S

uscente da ( ) ( )

dq t dq t

( ) ( )

= + ⇒ = −

V V

i t i t

0 dt dt

ossia l’equazione cercata.

Esempio 1.6.1

Verificare che una carica puntiforme di valore q in moto soddisfa l’equazione di continuità.

Soluzione

( )

r t

Sia la legge oraria che descrive il moto della carica. La corrispondente densità di carica e di corrente sono

q

pertanto ( )

( ) ( )

ρ δ

= −

r t q r r t

,

e q

( )

( ) ( ) ( )

δ

= −

J r t q

v t r r t

,

e q q

( )

r

d t

( ) q

=

v t indica la velocità della carica.

dove q dt

Poiché risulta ( )

( )

ρ [ ] d

r t

∂ ∂ ( ) ( ) ( )

r t ( ) ( ) ( ) ( )

, δ δ δ

q

= − = − ⋅ ∇ − = − ⋅ ∇ −

e q r r t q r r t q

v t r r t

q q q q

∂ ∂

t t dt

[ ]

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

δ δ

∇ ⋅ = ∇ ⋅ − = ⋅ ∇ −

J r t q

v t r r t q

v t r r t

,

e q q q q

( )

ρ

∂ r t

( ) ,

∇ ⋅ + =

e

J r t è evidentemente soddisfatta.

l’equazione di continuità , 0

e ∂

t

1.7 Forza di Lorentz e lavoro del campo elettromagnetico

Le equazioni di Maxwell esprimono un legame tra i vettori di campo, ma non permettono di legare

tali vettori a quantità meccaniche. q v

La forza di Lorentz è la forza sperimentata da una carica puntiforme che si muove con velocità

immersa in un campo elettromagnetico. Essa è

[ ]

( ) ( ) ( ) ( )

= + ×

F r E r v r B r

t q t t t

, , , , 3

f )

Spesso può essere più comodo impiegare la densità di forza (N/m

[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ρ ρ

= + × = + ×

f r t r t E r t v r t B r t r t E r t J r t B r t

, , , , , , , , ,

e e e

V,

Se la carica occupa un volume allora la forza da essa sperimentata vale

[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∫ ∫ ρ

= = + ×

F f r r E r J r B r

t t dV t t t t dV

, , , , ,

e e

V V

Esempio 1.7.1 18 =

E z

E

Calcolare la traiettoria di una particella di massa m e carica q immersa in un campo elettromagnetico statico ,

ˆ

z

( )

( )

= = − =

B z x x

B x v y

, essendo la posizione e la velocità iniziali della particella.

&

ˆ ˆ ˆ

0 0

z 0

Soluzione

Le forze agenti sulla particella sono la forza di Lorentz e la forza di attrazione gravitazionale.

=

v x

Ricordando che , la seconda legge di Newton assume la forma

& ( )

= + + ×

x g E x B

m m q

&

& &

ossia, in componenti =

⎧ m

x qB y

&

& &

z

⎪ = −

m

y qB x

&

& &

⎨ z

⎪ = − +

m

z mg qE

&

&

⎩ z

Risolvendo questo sistema di equazioni differenziali e sfruttando le condizioni iniziali si trova

⎧ ⎛ ⎞

mv qB

( ) = − ⎜ ⎟

x t t

z

0 cos

⎪ qB m

⎝ ⎠

⎪ z

⎪ ⎛ ⎞

mv qB

( ) = − ⎜ ⎟

y t t

z

⎨ 0 sin

qB m

⎝ ⎠

⎪ z

⎪ ( ) ( )

1

= −

z t qE mg t

⎪ 2

z

⎩ 2

da cui sommando membro a membro le prime due relazioni elevate al quadrato, si ottiene l’equazione della traiettoria

⎧ 2

⎛ ⎞

mv

( ) ( ) ⎜ ⎟

⎪ + =

x t y t

2 2 0

⎜ ⎟

⎪ qB

⎝ ⎠

⎨ z

⎪ ( ) ( )

1

= −

z t qE mg t 2

⎪ z

⎩ 2 mv , descrivendo un’elica di passo sempre

La carica si muove pertanto sulla superficie di un cilindro di raggio 0

qB z

crescente. ( )

t

F r c

,

Il lavoro che una forza compie su una punto materiale che si muove lungo una traiettoria

vale ( )

= ⋅

L t d

F r l

,

c q

Il lavoro compiuto dal campo elettromagnetico su una carica puntiforme vale pertanto

[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∫ ∫ ∫ ∫

= ⋅ = + × ⋅ = ⋅ + × ⋅

L t d q t t t d q t d q t t d

F r l E r v r B r l E r l v r B r l

, , , , , , ,

c c c c

19

c, v c

Poiché la carica si muove su la sua velocità è tangente a in ogni punto ed è pertanto parallela a

dl in ogni punto. Conseguentemente ( ) ( )

× ⋅ ≡

t t d

v r B r l

, , 0

e quindi ( )

= ⋅

L q t d

E r l

,

c

Il campo di induzione magnetica non compie pertanto lavoro sulle cariche.

P q.

Valutiamo adesso la potenza spesa dal campo elettromagnetico per una carica puntiforme E’

noto dalla fisica che risulta ( ) ( ) ( )

= ⋅

P t t t

r F r v r

, , ,

( ) ( )

q

t t

F r v r

è la forza agente su (forza di Lorentz) e è la velocità della carica. Sostituendo

dove , ,

si ha [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= + × ⋅ = ⋅ + × ⋅ = ⋅

P t q t t t t q t t q t t t q t t

r E r v r B r v r E r v r v r B r v r E r v r

, , , , , , , , , , , ,

( ) ( ) ( )

× ⋅ ≡

t t t

v r B r v r .

essendo, come è noto, , , , 0 3

p ) spesa dal campo elettromagnetico

E’ possibile definire la densità volumetrica di potenza (W/m

per una distribuzione continua di carica. Il risultato precedente si generalizza in modo semplice nel

modo seguente ( ) ( ) ( )

= ⋅

p r t E r t J r t

, , ,

e V

La potenza totale spesa dal campo elettromagnetico nella regione è dunque

( ) ( ) ( ) ( )

∫ ∫

= = ⋅

P t p t dV t t dV

r E r J r

, , ,

e

V V

1.9 Sorgenti impresse e indotte.

E’ già stato evidenziato come il campo elettromagnetico sia generato da cariche elettriche, fisse e/o

in moto. Inoltre è noto che un campo elettrico accelera cariche libere producendo delle correnti

elettriche. ( ) ( )

ρ r t J r t

Sulla base di queste considerazioni è possibile esprimere le quantità , e , come somma

e e

di due contributi ( ) ( ) ( ) ( )

ρ ρ ρ ρ

= = +

r t r t r t r t

, , , ,

e free 0

( ) ( ) ( ) ( )

= = +

J r t J r t J r t J r t

, , , ,

e free 0

dove

( ) ( )

ρ r t J r t sorgenti impresse note

- , e , prendono il nome di e sono funzioni

0 0

( ) ( )

ρ sorgenti indotte incognite

t t

r J r

- e prendono il nome di e sono funzioni

, ,

Con queste precisazioni le equazioni di Maxwell si scrivono

20

( ) ( ) ( )

ρ ρ

∇ ⋅ = +

D r t r t r t

, , ,

0

( )

∇ ⋅ =

t

B r , 0 ( )

∂ t

B r

( ) ,

∇ × = −

t

E r , ∂

t ( )

D r t

( ) ( ) ( ) ,

∇ × = + +

H r J r J r

t t t

, , , ∂

0 t

21

Capitolo 2

Equazioni costitutive e condizioni di interfaccia

2.1 Equazioni costitutive

Le equazioni di Maxwell non ammettono in genere un’unica soluzione perché non sono in numero

sufficiente a determinare univocamente le incognite che vi compaiono.

L’informazione mancante è quella relativa al mezzo nel quale si verifica il fenomeno

elettromagnetico.

equazioni costitutive del mezzo,

Le forniscono il legame che sussiste nel mezzo tra i vettori di

campo e tra questi e la densità di corrente.

In generale le equazioni costitutive si possono scrivere nella forma

[ ] [ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= = =

D r t E r t H r t B r t E r t H r t J r t E r t H r t

D , B J

, , , , , , , , , , ,

D, B J sono leggi (funzioni) che associano una funzione vettoriale ad una coppia di funzioni

dove e

vettoriali. D, B J possono contenere anche operatori integro-differenziali e tensori (operatori

In generale e

lineari).

I mezzi sono caratterizzati dalle proprietà delle loro equazioni costitutive, ossia delle funzioni

D, B J .

e lineare

D è se, posto

Si dice che [ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= =

t t t t t t

D r E r H r D r E r H r

D , D ,

, , , , , , ,

1 1 1 2 2 2

risulta [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+ = + + ∀

t t t t t t t

D r D r E r E r H r H r r

D ,

, , , , , , ,

1 2 1 2 1 2

22

B J

Definizioni analoghe valgono per .

e

Esempio 2.1.1

Verificare che la relazione costituiva ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ε χ

= +

t t t t t

D r r E r r H r

, , , , ,

è lineare.

Soluzione

Posto ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ε χ ε χ

= + = +

t t t t t t t t t t

D r r E r r H r D r r E r r H r

, , , , , , , , , ,

1 1 1 2 2 2

risulta [ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ε χ

+ = + + +

t t t t t t t t

D r D r r E r E r r H r H r

, , , , , , , ,

1 2 1 2 1 2

ossia [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+ = + +

t t t t t t

D r D r E r E r H r H r

D ,

, , , , , ,

1 2 1 2 1 2

Esempio 2.1.2

Verificare che la relazione costituiva ( )

∂ t

E r

( ) ( ) ( ) ( ) ,

ε

= +

t t t e t

D r r E r r

, , , , ∂

t

è lineare.

Soluzione

Posto ( ) ( )

∂ ∂

E r E r

t t

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, ,

ε ε

= + = +

D r r E r r D r r E r r

t t t e t t t t e t

1 2

, , , , , , , ,

∂ ∂

1 1 2 2

t t

risulta ∂

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ε

+ = + + +

D r t D r t r t E r t E r t e r t E r t E r t

, , , , , , , ,

1 2 1 2 1 2

t

ossia [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+ = + +

t t t t t t

D r D r E r E r H r H r

D ,

, , , , , ,

1 2 1 2 1 2

Esempio 2.1.3

Verificare che la relazione costituiva ( ) ( ) ( ) ( )

ε

= +

t t t t

D r r E r P r

, , , ,

( )

t

P r un campo vettoriale assegnato non identicamente nullo, non è lineare.

essendo , 23

Soluzione

Posto ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ε ε

= + = +

t t t t t t t t

D r r E r P r D r r E r P r

, , , , , , , ,

1 1 2 2

risulta [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ε

+ = + +

t t t t t t

D r D r r E r E r P r

, , , , , 2 ,

1 2 1 2

ossia [ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ε

+ ≠ + + = + +

t t t t t t t t t t

D r D r E r E r H r H r r E r E r P r

D ,

, , , , , , , , , ,

1 2 1 2 1 2 1 2

( ) ( ) ( )

ε χ

t t e t

r r r

, , , , ,

E’ importante osservare che se le quantità scalari fossero sostituite dagli

( ) ( ) ( )

t t t

ε r χ r e r , gli esempi precedenti continuerebbero ad essere

operatori lineari (tensori) , , , , ,

perfettamente validi.

tempo-invariante

D è se

Si dice che [ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= ⇒ − = − − ∀

D r t E r t H r t D r t t E r t t H r t t r t t

D , D ,

, , , , , , , ,

0 0 0 0

B J .

Definizioni analoghe valgono per e

Esempio 2.1.4

Verificare che la relazione costituiva ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ε χ

= +

t t t

D r r E r r H r

, , ,

è tempo-invariante.

Soluzione

Infatti [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ε χ

− = − + − = − −

D r t t r E r t t r H r t t E r t t H r t t

D

, , , , , ,

0 0 0 0 0

Esempio 2.1.5

Verificare che la relazione costituiva ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ε χ

= +

t t t t t

D r r E r r H r

, , , , ,

non è tempo-invariante.

Soluzione

Infatti ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ε χ

− = − − + − −

D r t t r t t E r t t r t t H r t t

, , , , ,

0 0 0 0 0

mentre [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ε χ

− − = − + −

E r t t H r t t r t E r t t r t H r t t

D , , , , , , ,

0 0 0 0

24

omogenea

D

Si dice che è se

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= ⇒ − = − − ∀

D r t E r t H r t D r r t E r r t H r r t r r t

D , D ,

, , , , , , , ,

0 0 0 0

B J .

Definizioni analoghe valgono per e

Esempio 2.1.6

Verificare che la relazione costituiva ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ε χ

= +

t t t t t

D r E r H r

, , ,

è omogenea.

Soluzione

Infatti [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ε χ

− = − + − = − −

D r r t t E r r t t H r r t E r r t H r r t

D

, , , , , ,

0 0 0 0 0

Esempio 2.1.7

Verificare che la relazione costituiva ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ε χ

= +

t t t t t

D r r E r r H r

, , , , ,

non è omogenea.

Soluzione

Infatti ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ε χ

− = − − + − −

D r r t r r t E r r t r r t H r r t

, , , , ,

0 0 0 0 0

mentre [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ε χ

− − = − + −

E r r t H r r t r t E r r t r t H r r t

D , , , , , , ,

0 0 0 0

( )

t

D r

non dispersiva nel tempo

D ,

Si dice che è se il valore di ad ogni istante dipende solo dal

( ) ( )

t t

E r H r

valore di allo stesso istante.

, e , B J

Definizioni analoghe valgono per .

e

Esempio 2.1.8

La relazione costituiva ( )

∂ t

E r

( ) ( ) ( ) ( ) ,

ε

= +

t t t e t

D r r E r r

, , , , ∂

t

( )

E r t

, τ ≤ t

tiene conto anche dei valori di E per .

è dispersiva nel tempo. Il termine ∂

t

Esempio 2.1.9

La relazione costituiva 25

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ε χ

= +

t t t t t

D r r E r r H r

, , , , ,

è non dispersiva nel tempo. Il legame tra i vettori di campo è infatti puramente algebrico (non compaiono operatori

differenziali). ( )

non dispersiva nello spazio t

D r

D

Si dice che è se il valore di in ogni punto dipende solo dal

,

( ) ( )

t t

E r H r

, e , nello stesso punto.

valore di B J .

Definizioni analoghe valgono per e

Esempio 2.1.10

La relazione costituiva (in coordinate cartesiane) ( ) ( ) ( )

∂ ∂

t t t

E r E r E r

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, , ,

ε +

= + +

t t t l t l t l t

D r r E r r r r

, , , , , ,

x y z

∂ ∂

x y z

è dispersiva nello spazio. I termini contenenti le derivate spaziali di E tengono conto dei valori di E nei punti in tutto un

intorno di r. lineare D, B J

se sono lineari.

Un mezzo si dice e

tempo-invariante D, B J

se sono tempo-invarianti.

Un mezzo si dice e

omogeneo D, B J

se sono omogenee.

Un mezzo si dice e

non dispersivo nel tempo D, B J

se sono non dispersive nel tempo.

Un mezzo si dice e

non dispersivo nello spazio D, B J

se sono non dispersive nello spazio.

Un mezzo si dice e

bianisotropo D B) E H.

se (o dipende sia da sia da

Un mezzo si dice

Esempio 2.1.11

La relazione costitutiva ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= +

t t t t t

D r ε r E r χ r H r

, , , , ,

descrive un mezzo lineare, non dispersivo e bianisotropo.

anisotropo D J E B H.

Un mezzo si dice se e dipendono solo da e dipende solo da

Esempio 2.1.12

Le relazioni costitutive ( ) ( ) ( )

=

t t t

D r ε r E r

, , ,

( ) ( ) ( )

=

t t t

B r µ r H r

, , ,

( ) ( ) ( )

=

t t t

J r σ r E r

, , ,

descrivono qualunque mezzo lineare, non dispersivo e anisotropo.

D E B H)

Più in generale si parla di mezzo anisotropo quando e (oppure e non sono paralleli.

D E B H)

Un mezzo si dice isotropo quando e (e e sono paralleli.

Esempio 2.1.13 26

Le relazioni costitutive ( ) ( ) ( )

=

t ε t t

D r r E r

, , ,

( ) ( ) ( )

=

t µ t t

B r r H r

, , ,

( ) ( ) ( )

=

t σ t t

J r r E r

, , ,

descrivono qualunque mezzo lineare, non dispersivo e isotropo.

Esempio 2.1.14

La relazioni costituive ∂ ∂ ∂ ∂

m n

t t t t

D r D r E r E r

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

+ + + = + + +

d t d d e t e e

r D r r r r E r r r

K K

( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )

m n

∂ ∂ ∂ ∂

m n

0 1 0 1

t t t t

∂ ∂ ∂ ∂

i j

t t t t

B r B r H r H r

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

+ + + = + + +

b t b b h t h h

r B r r r r H r r r

K K

( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )

i j

∂ ∂ ∂ ∂

i j

0 1 0 1

t t t t

∂ ∂ ∂ ∂

k p

t t t t

J r J r E r E r

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

+ + + = + + +

j t j j t

r J r r r r E r r r

K K

( ) ( , ) ( ) ( ) e ( ) ( , ) e ( ) e ( )

k p

∂ ∂ ∂ ∂

k p

0 1 0 1

t t t t

descrivono un mezzo lineare, tempo-invariante, isotropo, non dispersivo nello spazio, non omogeneo e dispersivo nello

spazio.

In regime stazionario tutte le derivate si annullano e le equazioni precedenti si scrivono

=

d t e t

r D r r E r

( ) ( , ) ( ) ( , )

0 0

=

b t h t

r B r r H r

( ) ( , ) ( ) ( , )

0 0

=

j t t

r J r r E r

( ) ( , ) e ( ) ( , )

0 0 r

e h

r r e ( )

( ) ( )

ε µ σ =

= = r

r r

ovvero, posto esse si riducono alle equazioni costitutive di un

0

0 0 ( )

( ) ( )

, , ,

d b

r r j r

( ) ( ) ( )

0 0 0

mezzo non dispersivo ( ) ( ) ( )

=

t ε t

D r r E r

, ,

( ) ( ) ( )

=

t µ t

B r r H r

, ,

( ) ( ) ( )

=

t σ t

J r r E r

, ,

ohmico legge di Ohm

se per esso vale la

Un mezzo si dice ( ) ( ) ( )

=

t t t

J r σ r E r

, , ,

( )

t

σ r conducibilità elettrica

, (S/m) il tensore di del mezzo.

essendo ( )

t

σ r è sostituito da uno scalare e la legge di Ohm si scrive

Se il mezzo è isotropo il tensore , ( ) ( ) ( )

=

t σ t t

J r r E r

, , ,

( ) 1

ρ = Ω resistività

t

r , ( m) prende il nome di del mezzo.

La quantità ( )

σ t

r , 27

Sono ohmici un ampio numero di materiali (Cu, Fe, Au, Ag, …).

7

La validità della legge di Ohm è limitata al caso in cui il modulo del campo elettrico non sia troppo

intenso.

Le equazioni costitutive del vuoto sono

( ) ( )

ε

=

t t

D r E r

, ,

0

( ) ( )

µ

=

t t

B r H r

, ,

0

( ) =

t

J r 0 (nel vuoto non ci sono cariche libere!)

,

dove F

ε −

≈ ⋅ permettività dielettrica

12

8

.

85 10 è la del vuoto (o costante dielettrica del vuoto)

0 m

H

µ −

≈ ⋅ permeabilità magnetica

6

1

.

26 10 è la del vuoto

0 m

Per un mezzo lineare, isotropo, tempo-invariante, omogeneo, non dispersivo, le equazioni

costitutive si scrivono ( ) ( )

ε

=

t t

D r E r

, ,

( ) ( )

µ

=

t t

B r H r

, ,

( ) ( )

σ

=

t t

J r E r

, ,

µ

ε permettività dielettrica permeabilità magnetica

e sono rispettivamente la e la del mezzo.

dove dielettrico ideale se esso è lineare, isotropo, omogeneo, non dispersivo, tempo-

Un mezzo è un σ = .

invariante e con 0 permettività dielettrica relativa permeabilità magnetica

e la

Può essere conveniente introdurre la

relativa ε µ

ε µ

= =

ε µ

r r

0 0

che, essendo rapporti di grandezze omogenee, sono numeri puri.

Le equazioni costitutive possono allora essere scritte

( ) ( )

ε ε

=

t t

D r E r

, ,

r

0

( ) ( )

µ µ

=

t t

B r H r

, ,

r

0

Ricordando che ( ) ( ) ( )

ε

= +

t t t

D r E r P r

, , ,

0

( ) ( ) ( )

µ

= +

t t t

B r H r M r

, , ,

0

7 Per una interpretazione microscopica della legge di Ohm si veda G. L. Pollack, D. R. Stump, Electromagnetism,

Addison Wesley, pagg. 236-238 (paragrafo 7.4) 28

si ricava ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ε ε ε

= − = −

t t t t

P r D r E r E r

, , , 1 ,

r

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

µ µ µ

= − = −

t t t t

M r B r H r H r

, , , 1 ,

r

0 0

I parametri (adimensionali) χ ε

= − 1

e r

χ µ

= − 1

m r

suscettività elettrica suscettività magnetica

e .

prendono il nome di µ ≅

Ad esclusione dei materiali ferromagnetici, che non sono lineari, .

1

r

µ χ µ

> ⇒ = − > paramagnetico

Se 1 1 0 il materiale si dice ;

r m r

µ χ µ

< ⇒ = − < diamagnetico

se 1 1 0 il materiale si dice .

r m r

Sono diamagnetici, tra gli altri, l’oro, l’argento, la grafite, l’elio, il mercurio, il rame, l’idrogeno.

Sono paramagnetici, tra gli altri, l’alluminio, il cromo, l’ossigeno. 8

B H .

Nei materiali ferromagnetici, la relazione tra e è invece non lineare e isteretica

2.2 Cariche nei conduttori V e che è un mezzo lineare, isotropo, tempo-invariante,

Si consideri un corpo che occupa un volume

omogeneo, non dispersivo e conduttore. ( )

ρ r

Si ipotizzi di porre una quantità di carica nota al suo interno descritta dalla densità ,

0 . Si vuole

e

V

.

analizzare il modo in cui tale carica si distribuisce in

V

, le sue equazioni costitutive sono

Per le ipotesi fatte su ( ) ( )

ε

=

t t

D r E r

, ,

( ) ( )

µ

=

t t

B r H r

, ,

( ) ( )

σ

=

t t

J r E r

, ,

Utilizzando la legge di Gauss per il campo elettrico, si ottiene ε

⎡ ⎤

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

ε ρ ε ρ ρ

= ⇒ ∇ ⋅ =

∇ ⋅ = ⇒ ∇ ⋅

t t t t t t

E r r J r r J r r

, , , , , ,

⎢ ⎥

σ σ

e e e e e

⎣ ⎦

Poiché, per l’equazione di continuità ( )

ρ

∂ t

r

( ) ,

∇ ⋅ = − e

t

J r ,

e ∂

t

deve risultare

8 Per una descrizione più dettagliata dei materiali ferromagnetici e dei fenomeni microscopici che portano al

diamagnetismo, al paramagnetismo e al ferromagnetismo si veda C. Mencuccini, V. Silvestrini, Fisica II, Liguori, pagg.

247-260 (paragrafi VI.5 e VI.6) 29

( )

ρ

ε ∂ t

r ( )

, ρ

− =

e t

r ,

σ e

t

Questa è un’equazione differenziale ordinaria lineare a coefficienti costanti, valida in tutti i punti di

V

, ad esclusione di quelli sulla frontiera (punti non ordinari); la sua soluzione è

σ

⎛ ⎞

( ) ( )

ρ ρ

= −

⎜ ⎟

t t

r r

, ,

0 exp ε

e e ⎝ ⎠

Questo risultato evidenzia due importanti fattori:

nei punti in cui era presente una quantità di carica non nulla, questa decresce

- ε

τ = tempo di rilassamento

( )

esponenzialmente con costante di tempo σ

nei punti in cui non era presente carica continuano ad essere neutre

- ( ) ( )

ρ ρ

= ⇒ = ∀

t t

r r

,

0 0 , 0

e e

Poiché la carica deve comunque conservarsi e le cariche in eccesso non possono (per ipotesi)

V V

, queste non potranno che disporsi sulla frontiera di , dove la relazione

lasciare σ

⎛ ⎞

( ) ( )

ρ ρ

= −

⎜ ⎟

t t

r r

, ,

0 exp non è valida.

ε

e e ⎝ ⎠

E’ importante osservare che il tempo di rilassamento è inversamente proporzionale alla

conducibilità di V; questo significa che se V è un buon conduttore il suo tempo di rilassamento è

inferiore (di molto!) rispetto a quello di un cattivo conduttore.

σ → ∞ ), il tempo di rilassamento è addirittura nullo.

Se poi V è un conduttore perfetto (

Inserire esempi

Esempio 2.2.1 ε nel SI si misura in secondi.

Verificare che il rapporto σ

Soluzione

Nel SI ⋅ ⎫ ⋅

[ ] F A s A s

ε = = ⎪ ε

⎪ ⎡ ⎤

⋅ ⋅

m V m V m

= =

⎬ s

⎢ ⎥

σ

⎣ ⎦ A

[ ] 1 A ⎪

σ = = ⎪ ⋅

Ω ⋅ ⋅ ⎭ V m

m V m

Esempio 2.2.2

Calcolare il tempo di rilassamento per il rame.

Soluzione S

σ ε −

≅ ⋅

Per il rame , mentre è di poche unità. Il tempo di rilassamento è pertanto dell’ordine dei .

7 7

10 s

5

.

76 10 r

m

Esempio 2.2.3

Calcolare il tempo di rilassamento per il quarzo fuso. 30

Soluzione S ε

σ −

≈ , mentre è di poche unità. Il tempo di rilassamento è pertanto dell’ordine dei

Per il quarzo fuso 17

10 r

m

− .

17

10 s

2.3 Condizioni di interfaccia

I campi sono continui con tutte le loro derivate laddove il mezzo è continuo, ossia dove sono

( ) ( )

ε µ punti ordinari

r r

e ( ); nei punti in cui invece è presente una

continue le funzioni

discontinuità (passaggio da un mezzo ad un altro), i vettori di campo possono essere anch’essi

discontinui.

Analizziamo il comportamento dei quattro vettori di campo a ridosso dell’interfaccia tra due mezzi.

2.3.1 Condizioni di interfaccia per D

S la superficie (regolare quanto occorre) che separa due mezzi, chiamati 1 e 2.

Sia P S C

r

, di vettore posizione , appartenente a e si costruisca un cilindro con asse

Si fissi un punto P

P S P

passante per e con basi parallele al piano tangente a in , così come indicato in figura

α α

α

= =

R R H H

2 il raggio e l’altezza del cilindro, essendo un parametro adimensionale

Siano 0 0

positivo. C V

; avendo indicato con la regione di

Si applichi la legge di Gauss per il campo elettrico al cilindro

C

, risulta

spazio delimitata da ( ) ( )

∫ ∫ ρ

⋅ =

t dS t dV

D r n r

ˆ

, ,

e

C V

Il primo membro si può scomporre in tre contributi

( ) ( ) ( ) ( )

∫ ∫ ∫ ∫

⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅

t dS t dS t dS t dS

D r n D r n D r n D r n

ˆ ˆ ˆ ˆ

, , , ,

C base1 base2 sup lat ( )

α α

= = ⋅

R R H H D r t n dS

2 ˆ

e , i termini e

Per il teorema della media, poiché ,

0 0 base1

( ) ( )

∫ ∫

α α

⋅ ⋅

D r t n dS D r t n dS

2 3

ˆ ˆ

risultano proporzionali ad , mentre è proporzionale ad .

, ,

base2 sup lat

( ) ( )

∫ ∫

α +

→ ⋅ ⋅

D r t n dS D r t n dS

ˆ ˆ

0 , i termini e sono infinitesimi del secondo

Pertanto, per , ,

base1 base2

( )

∫ ⋅

D r t n dS

ˆ

ordine, mentre è un infinitesimo del terzo ordine e può pertanto essere trascurato.

,

sup lat

Il secondo membro si può scomporre in due contributi

( ) ( ) ( )

∫ ∫ ∫

ρ ρ ρ

= +

r t dV r t dV r t dS

, , ,

e e s

V V S S

12 12

S

S la porzione di intercettata dal cilindro.

essendo 12 31 ( )

α ρ

+

→ r t dS

0 , è un infinitesimo del

Usando il teorema della media, si dimostra che, per ,

s

S

12

( )

∫ ρ t dV

r

secondo ordine, mentre è un infinitesimo del terzo ordine e può pertanto essere

,

e

V S

12

trascurato. α +

→ 0

Sempre sulla base del teorema della media, per

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∫ π πα

⋅ = ⋅ = ⋅

t dS t R t R

D r n D r w r D r n r

2 2 2

ˆ ˆ

ˆ

, , ,

P P P P

1 1 1 1 0

base1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∫ π πα

⋅ = ⋅ = ⋅

t dS t R t R

D r n D r n r D r n r

2 2 2

ˆ ˆ ˆ

, , ,

P P P P

2 2 2 2 0

base2 ( ) ( ) ( )

∫ ρ ρ π ρ πα

= =

r t dS r t R r t R

2 2 2

, , ,

s s P s P 0

S

12

r r r

e indicano i punti immediatamente a ridosso di rispettivamente nel mezzo 1 e nel

dove P P P

1 2

( ) ( ) S P

n r n r

ˆ ˆ

mezzo 2 e e indicano rispettivamente la normale a in diretta dal mezzo 2 al mezzo

P P

1 2

1 e dal mezzo 1 al mezzo 2.

Sulla base di questi risultati, la legge di Gauss si scrive

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ρ

⋅ + ⋅ =

t t t

D r n r D r n r r

ˆ ˆ

, , ,

P P P P s P

1 1 2 2

( ) ( )

( ) ( )

= = − n̂ r S P

n r n r n r

2 1

ˆ ˆ ˆ , essendo la normale a in diretta dal mezzo 1 al mezzo 2, si

Poiché P

P P P

ha [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

ρ

− ⋅ =

t t t

D r D r n r r

2 1 ˆ

, , ,

P P P s P

P S

D D

e detti e i campi a ridosso di un qualunque punto di , la condizione

Data l’arbitrarietà di 2 1

di interfaccia si scrive finalmente ( ) ρ

− ⋅ =

D D n

ˆ s

2 1 D può subire discontinuità nel passaggio

Questa equazione afferma che la componente normale di

da un mezzo ad un altro in presenza di densità di carica superficiale non nulla.

2.3.2 Condizioni di interfaccia per B B si procede analogamente al caso precedente,

Per determinare le condizioni di interfaccia per

C la legge di Gauss per il campo magnetico

impiegando però al cilindro ( )

∫ ⋅ =

B r t n dS

ˆ

, 0

C B

Data la somiglianza fra le leggi di Gauss non è difficile capire che le condizioni di interfaccia per

sono ( )

− ⋅ =

B B n

ˆ 0

2 1

con ovvio significato dei simboli. B è sempre continua nel passaggio da un

Questa equazione afferma che la componente normale di

mezzo ad un altro. 32

2.3.3 Condizioni di interfaccia per H

S la superficie (regolare quanto occorre) che separa due mezzi, chiamati 1 e 2.

Sia π

P S

r

, di vettore posizione , appartenente a e si scelga arbitrariamente un piano

Si fissi un punto P

π

P R P

che passi per . Su si costruisca una spezzata rettangolare orientata che racchiuda e con i lati

P

maggiori paralleli al piano tangente a , così come indicato in figura

α α

= =

H H h h R

2 rispettivamente la lunghezza dei lati maggiori (lati 1 e 3) e minori di

Siano 0 0

α <

(lati 2 e 4), essendo un parametro adimensionale positivo.

1 S

R e alla superficie piana da esso

Si applichi la legge di Maxwell-Ampere alla spezzata R

π

delimitata su ; risulta ( )

∂ t

D r

( ) ( ) ,

∫ ∫ ∫

⋅ = ⋅ + ⋅

ˆ ˆ

t d t dS dS

H r l J r k k

, ,

e ∂

t

R S S

R R

S R

k̂ , con orientazione indotta dall’orientazione scelta per .

è la normale a

dove R

Il primo membro si può scomporre in quattro contributi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

H r t d l H r t d l H r t d l H r t d l H r t d l

, , , , ,

R lato1 lato2 lato3 lato4

( ) ( )

∫ ∫

α α

= = ⋅ ⋅

H H h h H r t d l H r t d l

2

e , i termini e

Per il teorema della media, poiché , ,

0

0 lato1 lato3

( )

( )

∫ ∫

α ⋅ ⋅

H r t d l H r t d l

risultano proporzionali ad , mentre i termini e sono proporzionali

, ,

lato2 lato4

α 2

ad . ( ) ( )

∫ ∫

α +

→ ⋅ ⋅

H r t d l H r t d l

Pertanto, per 0 , i termini e sono infinitesimi del primo ordine,

, ,

lato1 lato3

( )

( )

∫ ∫

⋅ ⋅

H r t d l H r t d l

mentre e sono infinitesimi del secondo ordine e possono pertanto

, ,

lato2 lato4

essere trascurati.

Il primo termine del secondo membro si può scomporre in due contributi

( ) ( ) ( )

∫ ∫ ∫

⋅ = ⋅ + ⋅

ˆ ˆ ˆ

J r t k

dS J r t k

dV J r t k

dS

, , ,

e e s

S S l l

R R 12 12

π

S

l la porzione di intercettata dal piano .

essendo 12 ( )

α +

→ ⋅ ˆ

J r t k

dS

, è un

Sempre impiegando il teorema della media, si dimostra che, per ,

0 s

l

12

( )

∫ ⋅ ˆ

J r t k

dV

infinitesimo del primo ordine, mentre è un infinitesimo del secondo ordine e può

,

e

S l

R 12

pertanto essere trascurato. ( )

∂ t

D r ,

α +

→ ⋅ ˆ dS

k

Ragionando in modo analogo si dimostra che, per è un infinitesimo del

,

0 ∂

t

S R

secondo ordine. 33

α +

→ 0 , si ha dunque

Per ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∫ α

⋅ = ⋅ = ⋅

t d t H t H

H r l H r w r H r w r

ˆ ˆ

, , ,

P P P P

1 1 1 1 0

lato1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∫ α

⋅ = ⋅ = ⋅

t d t H t H

H r l H r w r H r w r

ˆ ˆ

, , ,

P P P P

2 2 2 2 0

lato3 ( ) ( )

∫ α

⋅ = ⋅

ˆ ˆ

t dS t H

J r k J r k

, ,

s s P 0

l

12

r r r

e indicano i punti immediatamente a ridosso di rispettivamente nel mezzo 1 e nel

dove P P P

1 2 ( )

( ) R

w r w r

ˆ ˆ

mezzo 2 e e sono i versori paralleli ai lati 1 e 3 di .

P P

1 2

Sulla base di questi risultati, la legge di Maxwell-Ampere si scrive

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⋅ + ⋅ = ⋅ ˆ

H r t w r H r t w r J r t k

ˆ ˆ

, , ,

P P P P s P

1 1 2 2

( ) ( )

( ) = = −

w r w r w r

2 1

ˆ ˆ ˆ , si ha

Poiché P P P

[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

− ⋅ = ⋅ ˆ

H r t H r t w r J r t k r

ˆ

, , ,

P P P s P P

2 1

( ) ( )

( ) S P

k̂ r ŵ r ŵ r

e sono ortogonali e che è parallelo alla tangente di in ,

Osservando che P P

P

risulta ( ) ( ) ( )

= ×

ˆ

w r k r n r

ˆ

ˆ P P P

( ) S P

n̂ r è la normale a in , si ricava

dove P [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⋅ × − = ⋅

ˆ ˆ

k r n r H r t H r t k r J r t

ˆ , , ,

P P P P P s P

2 1

Per una nota proprietà del prodotto misto

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

− ⋅ × = ⋅ × − = ⋅

ˆ ˆ ˆ

H r t H r t k r n r k r n r H r t H r t k r J r t

ˆ ˆ

, , , , ,

P P P P P P P P P s P

2 1 2 1

Dal momento che il ragionamento svolto (e quindi questa relazione) è valido comunque si scelga

π k̂

(ossia qualunque sia il versore ), si conclude

piano [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

× − =

t t t

n r H r H r J r

ˆ , , ,

P P P s P

2 1

P S

H H

e detti e i campi a ridosso di un qualunque punto di , la condizione

Data l’arbitrarietà di 2 1

di interfaccia si scrive finalmente ( )

× − =

n H H J

ˆ s

2 1 H

Questa equazione afferma che la componente tangenziale di può subire discontinuità nel

passaggio da un mezzo ad un altro in presenza di densità di carica superficiale non nulla.

34

2.3.4 Condizioni di interfaccia per E E

Per determinare le condizioni di interfaccia per si procede analogamente al caso precedente,

R la legge di Faraday-Neumann

impiegando però alla spezzata ( )

∂ t

B r

( ) ,

∫ ∫

⋅ = − ⋅

t d dS

E r l n

ˆ

, ∂

t

R S R

Data la somiglianza fra le leggi di Faraday-Neumann e quella di Maxwell-Ampere, non è difficile

E

capire che le condizioni di interfaccia per sono

( )

× − =

n E E 0

ˆ 2 1

con ovvio significato dei simboli. E

Questa equazione afferma che la componente tangenziale di è sempre continua nel passaggio da

un mezzo ad un altro. 35

Capitolo 3

Le onde elettromagnetiche

3.1 Equazione delle onde

Si ipotizzi che il mezzo sia un dielettrico ideale.

Le equazioni di Maxwell possono allora essere scritte nella forma

( )

ρ t

r

( ) ,

∇ ⋅ =

t

E r 0

, ε

( )

∇ ⋅ =

H r t

, 0 ( )

∂ t

H r

( ) ,

µ

∇ × = −

t

E r , ∂

t ( )

∂ t

E r

( ) ( ) ,

ε

∇ × = +

t t

H r J r

, , ∂

0 t

L’obiettivo che si persegue è quello di ottenere da questo sistema di equazioni nelle due incognite

( )

( ) ( )

E r t H r t E r t

e , una equazione nella sola incognita e una equazione nella sola

vettoriali , , ,

( )

H r t

,

incognita .

Applicando l’operatore rotore ad ambo i membri dell’equazione di Maxwell-Ampere, si ottiene

( ) ( ) ( )

ε

∇ × ∇ × = ∇ × + ∇ ×

t t t

H r J r E r

, , ,

0 t

Per l’identità vettoriale ( )

∇ × ∇ × = ∇ ∇ ⋅ − ∇ 9

U U U

2

∇ = ∇ + ∇ + ∇

U U x U y U z

2 2 2 2

9 ˆ ˆ ˆ

Per definizione x y z 36

e per la legge di Faraday-Neumann, si ha ( )

∂ t

H r

2

( ( )

) ( ) ( ) ,

εµ

∇ ∇ ⋅ − ∇ = ∇ × −

t t t

H r H r J r

2

, , , ∂

0 t 2

( ) ( )

∇ ⋅ =

H r t H r t

, si ottiene l’equazione cercata per

Poiché , 0 ,

( )

∂ t

H r

2

( ) ( )

,

εµ

∇ − = −∇ ×

t t

H r J r

2 , ,

∂ 0

t 2

Applicando l’operatore rotore ad ambo i membri dell’equazione di Faraday-Neumann, si ottiene

( ) ( )

µ

∇ × ∇ × = − ∇ ×

t t

E r H r

, ,

t

Per l’identità vettoriale precedente e per la legge di Maxwell-Ampere, si ha

( ) ( ) ( )

∂ ∂

∂ ∂ ⎤

⎡ t t t

E r J r E r

2

( ( )

) ( ) ( ) , , ,

µ ε µ εµ

= − −

∇ ∇ ⋅ − ∇ = − +

t t t

E r E r J r

2 0

, , , ⎥⎦

⎢⎣ ∂ ∂

∂ ∂

0

t t t t 2

( )

ρ t

r ( )

( ) ,

∇ ⋅ =

t

E r E r t

0

Poiché , , si ottiene l’equazione cercata per ,

ε ( ) ( )

( ) ρ

∇ ∂

∂ t t

r J r

t

E r

2

( ) , ,

,

εµ µ

∇ − = +

t

E r

2 0 0

, ε

∂ ∂

t t

2

E’ fondamentale fare presente che la coppia di equazioni

( ) ( ) ( )

ρ

⎧ ∂ ∇ ∂

E r r J r

t t t

2

( ) , , ,

εµ µ

∇ − = +

E r t

2 0 0

⎪ ,

⎪ ε

∂ ∂

t t

2

⎨ ( )

∂ H r t

2

⎪ ( ) ( )

,

εµ

∇ − = −∇ ×

H r J r

t t

2 , ,

⎪ ∂

⎩ 0

t 2

non è equivalente alle equazioni di Maxwell; per come sono state ricavate (prendendo i rotori delle

equazioni di rotore), ci sono soluzioni di queste equazioni che non soddisfano le equazioni di

Maxwell. Affinché ci sia equivalenza è necessario affiancare alla coppia di equazioni trovata le due

leggi di Gauss (equazioni alle divergenze) ( )

ρ t

r

( ) ( )

,

∇ ⋅ = ∇ ⋅ =

t

E r H r t

0

, , 0

ε

Un’equazione del tipo ( )

∂ t

U r

2

( ) ( )

,

α

∇ − =

t t

U r f r

2 2

, ,

t 2

37

( ) equazione di Helmholtz

f r t

con assegnata, prende il nome di e le sue soluzioni rappresentano

,

onde, cioè sono “segnali” che si muovono (propagano) nello spazio.

( )

( )

E r t H r t

, ,

e sono pertanto entrambi soluzione di un’equazione di Helmholtz e si

I campi onde elettromagnetiche

propagano come onde ( ).

3.2 Equazione di D’Alembert

Supponiamo che in una zona occupata da un dielettrico ideale non siano presenti sorgenti e il campo

elettrico sia del tipo ( ) ( )

=

t E z t

E r x

ˆ

, ,

x

Tale campo deve soddisfare l’equazione ( )

∂ t

E r

2

( ) ,

εµ

∇ − =

t

E r 0

2 , ∂

t 2

ovvero deve risultare ( ) ( ) ( ) ( )

⎡ ⎤ ∂ ∂

∂ ∂

E z t E z t E z t E z t

2 2 2 2

, , , ,

εµ εµ

= ⇒ =

x x x x

x 0

ˆ

⎢ ⎥⎦ ∂ ∂

∂ ∂

z t z t

2 2 2 2

⎣ D’Alembert .

Quest’ultima equazione scalare prende il nome di equazione di

Per risolverla si operi il cambiamento di variabili

1 1

ξ η

= − = +

z t z t

εµ εµ

Allora, facendo uso del teorema di Schwarz, risulta

( ) ( ) ξ η

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

∂ ∂

⎡ ⎤

E z t E z t E E E E

2 , , = + = + =

=

x x x x x x

⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦

⎢ ⎥⎦ ξ η ξ η

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

z z z z z z z

2 ξ η ξ η

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

E E E E E E E

2 2 2 2 2 2 2

= + + + = + +

x x x x x x x

2

ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

z z z z

2 2 2 2

( ) ( ) ⎡ ⎤

ξ η

⎡ ⎤

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ⎡ ⎤

E z t E z t E E E E

2 , , 1 1

+ = − + =

=

=

x x x x x x

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ξ η ξ η

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ εµ εµ

t t t t t t z

⎣ ⎦

2 ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤

ξ η ξ η

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

E E E E

2 2 2 2

1

= − − + + =

x x x x

⎢ ⎥

ξ η ξ η ξ η

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

εµ t t t t

2 2

⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

E E E E E E E

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

= − − + = − +

x x x x x x x

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎦

2

ξ η ξ η ξ η εµ ξ η ξ η

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

εµ εµ εµ εµ εµ

2 2 2 2

⎢ ⎥ ⎣

⎣ ⎦

Sostituendo queste espressioni nell’equazione di D’Alembert, si ottiene

38

⎡ ⎤

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

E E E E E E E

2 2 2 2 2 2 2

1

εµ

+ + = − + ⇒ =

x x x x x x x

⎢ ⎥

2 2 0

ξ η ξ η εµ ξ η ξ η η ξ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2 2 2 2

⎣ ⎦

∂ E

2 =

x 0

Dalla condizione si ricava

η ξ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

E E ( ) ( ) ( )

ξ ξ η

= ⇒ = ⇒ = +

x x f E f g

0

η ξ ξ x

∂ ∂ ∂

f g

e funzioni arbitrarie purché derivabili due volte, ossia

essendo ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1 1

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= − + +

E z t f z t g z t

( , ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

x εµ εµ

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

f g

Le funzioni e sono specificate dalle condizioni al contorno e dalle condizioni iniziali.

⎛ 1 ⎟

⎜ −

f z t

Facciamo vedere che rappresenta un’onda progressiva.

⎜ εµ ⎠

A tal fine si consideri il valore ⎞

⎛ 1 ⎟

= −

f f z t

* ⎟

⎜ εµ

0 0 ⎠

f t)

Tale valore di si presenta in corrispondenza di ogni coppia (z, tale che

1 1

− = −

z t z t

εµ εµ

0 0

∆ = − f

t t t *

, il punto si è spostato di un tratto

Questo significa che nell’intervallo 0

( )

1 1

∆ = − = − = ∆

z z z t t t , ossia che esso si muove con velocità

εµ εµ

0 0 ∆

z 1

= = >

v 0

∆ εµ

t ⎛ ⎞

1

⎜ ⎟

f f z t

*

Data l’arbitrarietà di , si conclude che tutti i punti della funzione si muovono

⎜ ⎟

εµ 0

⎝ ⎠

v progressiva).

con velocità positiva (onda ⎞

⎛ 1 ⎟

⎜ +

g z t

In modo analogo si dimostra che rappresenta un’onda che si propaga in direzione

⎜ εµ ⎠

⎛ 1 ⎟

⎜ − regressiva).

f z t (onda

opposta a quella di ⎟

⎜ εµ 0 ⎠

⎝ 39

Osserviamo che la velocità di propagazione dipende solo dalle caratteristiche del mezzo. Nel vuoto

la tale velocità vale 1 m

≅ ⋅ 8

2

.

99 10

ε µ s

0 0 c

Dal momento che la luce altro non è che radiazione elettromagnetica, la sua velocità vale

1

=

c ε µ

0 0

In un qualunque mezzo lineare, isotropo, non dispersivo, tempo-invariante

1 1

= =

v c

ε ε µ µ ε µ

r r r r

0 0

Esempio 3.2.1 ε µ

≅ ≅

Calcolare la velocità di propagazione nell’acqua ( , ).

80 1

r r

Soluzione

Si ha 1 1 1

= = ≅

v c c

ε ε µ µ ε µ 3

r r r r

0 0 40

Capitolo 4

Il regime sinusoidale permanente

4.1 Regime sinusoidale permanente ω

Il caso in cui tutti i vettori di campo e le sorgenti oscillano nel tempo ad una stessa pulsazione è

particolarmente importante perché

è un caso rilevante nelle applicazioni

-

- semplifica la trattazione dei problemi

- può essere facilmente esteso al caso generale per mezzo delle trasformate di Fourier

- permette la trattazione in modo semplice dei mezzi dispersivi nel tempo

4.2 Definizione e fasori

Si parla dunque di regime sinusoidale quando tutti i vettori di campo e le densità di carica e di

10

corrente sono del tipo ( )

ω ϕ

= +

t t

U r U r r

( , ) ( ) cos ( )

0

U r r

una qualunque funzione vettoriale di .

essendo ( )

0

Poiché, per la nota formula di Eulero, risulta { }

( ) ( ) ( )

( ) ( )

ω ϕ ω ϕ

ω ϕ ω ϕ ω ϕ

+ +

= + + + ⇒ + =

j t j t

t j t t

e cos sin cos Re e

si può scrivere { } { }

( ) ( )

ω ϕ ϕ ω

ω ϕ +

= + = =

j t j j t

r r

t t

U r U r r U r U r

( ) ( )

( , ) ( ) cos ( ) ( ) Re e Re ( ) e e

0 0 0

10 E’ sottointeso, per non appesantire la trattazione, che nel caso della densità volumetrica di carica l’equazione

vettoriale deve essere sostituita da una equazione scalare della stessa struttura.

41

U r

Nell’ultimo passaggio si è sfruttato il fatto che ( ) è una quantità reale (vettoriale).

0

Da queste considerazioni si vede come un generico campo in regime sinusoidale permanente è

ω e dal vettore di componenti complesse

completamente specificato dalla pulsazione

ϕ

= r

j fasore.

U r U r ( )

( ) ( ) e chiamato

0 U r

( )

E’ opportuno sottolineare che la notazione con cui saranno denotati i fasori ( ), è la stessa usata per

indicare i campi stazionari; tuttavia il contesto è sufficiente a chiarire di quale quantità si tratti

effettivamente.

Se dunque si suppone nota la pulsazione, esiste una corrispondenza biunivoca tra fasore e campo

sinusoidale ( ) ϕ

ω ϕ

= + ↔ = r

j

t t

U r U r r U r U r ( )

( , ) ( ) cos ( ) ( ) ( ) e

0 0

Esempio 4.2.1

Calcolare il fasore del campo induzione magnetica in regime sinusoidale

π

⎛ ⎞

ω

= +

⎜ ⎟

t t

B r b r

( , ) ( ) cos

⎝ ⎠

6

b

con funzione assegnata.

(r )

Soluzione

Poiché π

⎧ ⎫

π π

⎧ ⎫

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ j ω

ω ω =

= + = + j t

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

t t t

B r b r b r b r

⎨ ⎬

⎨ ⎬ 6

( , ) ( ) cos Re ( ) cos Re ( ) e e

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎩ ⎭

6 6 ⎩ ⎭

evidentemente ( )

π π π

⎛ ⎞ 1

j

= = + = +

⎜ ⎟

j j

B r b r b r b r

6 3

( ) ( ) e ( ) cos sin ( )

⎝ ⎠ 2

6 6

Esempio 4.2.2

Calcolare il fasore del campo elettrico in regime sinusoidale π

⎛ ⎞

k ω

= +

⎜ ⎟

t t

E r

( , ) sin

r ⎝ ⎠

4

con k vettore reale costante assegnato.

Soluzione

Poiché π

⎧ ⎫

π π π π

⎡ ⎤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

k k k k − j ω

ω ω ω

= + = + − = − = j t

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

t t t t

E r ⎨ ⎬

4

( , ) sin cos cos Re e e

⎢ ⎥

r r r r

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ ⎦

4 4 2 4 ⎩ ⎭

evidentemente 42


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corsi di laurea magistrale in ingegneria elettronica
SSD:
Università: Genova - Unige
A.A.: 2008-2009

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher melody_gio di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Campi elettromagnetici I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Genova - Unige o del prof Bozza Giovanni.

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