Calcolo numerico

RAPPRESENTAZIONE IN VIRGOLA MOBILE E PRECISIONE FINITA

• esponente e frazione di un numero reale non nullo

d

segno I

innescante.ae a

Dsp g p Hic

Un pb

base frazione

d x È's Hap

pt piegar

Eletta g

il

di

intera intero

Parte lei E

piùgrande numero

di 0

Scrittura base

posizionale c

c

p c 0

f con

in

le cifre

come 4,4

ottengo

D L ti

ti

i Oc c

s Pei

ciclisti

2 G cincin

tie

3 ti

lbl.it

p ti 0 cincin

4 al

altrimenti

se vado 2

ti.in ieri

i

stop e

p

• numeri in virgola mobile, precisione def

intero

intero

p DEI

insieme

72 mobile

9 virgola

NUMERI

m

e in

normalizzati base p in

e precisione

in pbo.cn

U te

ftp.m indica

EIR L

0 Ispesso

X

X M

1 cm si con

11

cifre

b 70

p

E c

i G

i base

2

se 0,1 fm in

ftp.m

è simmetrico ftp.m

XE

rispetto E

se

0

a

di

sottoinsieme

è un proprio

ordinato

numerabile ed

è Qualunque intorno di 0 contiene almeno un punto appartenente

di accumulazione

Zero punto

è all’insieme

un 1nF

ftp.m ftp.m

no no

sua Fb

di intero

Fino be

elementi 1

positivi

Insieme rob

10bar 10

13 0,2 0,9

DEIR

ordinati d

te minB.cm

Bb ndo graficamente

c

se e

sono di

di

di ipunti

punti di maeda

sx Bd

Bd Dx

13 sono e sono

i min a

elementi

due

dstanza tra consecutivi Bb 10

in

• funzioni successore e predecessore

Il Helen

def

d

ftp.m

primodem d

di Dx

f sms

successore sono non

a d F m

9 Il d

di ftp.m

primodem d se

g g

predecessore dell'altra

l'inversa

è

una

• TEO: distribuzione degli elementi di F(β,m)

5 g

s

p p m

n

pY

ftp.n pb pb

ti 615

3 g g

Dim p

p

• Insieme dei numeri in virgola mobile con esponente limitato ed elementi normalizzati

ftp.m.bn.nibnae elevi

costituito da tutti limitato

da

0

è gli esponente

e con

• Insieme dei numeri in virgola mobile con esponente limitato ed elementi denormalizzati

null

clem di

tenormalizzati

dem bum

esponente

con minore

non

bnm.ba

Fd telemdenormzlizzati

F

p p bnan bnae

m m dem

ftp.m costituito

di da

èsottoinsieme un

tutti reali

da te

limitato X

esponente e nun

Pb

fr oca cm

a ftp.m

c

Relazione ftp.mibm.n.bnae ftp.mibm.n.bmae le della

ha bum

7

E cifre

Oss 3 G cm

esponente

se

ftp.mibm.n.bmae sono

bum

ha

di dem

Se demormalizzato

3 c cn

frazione 3 pc

esponente non

le della

cifre Frazione PERCHÉ

di 5

sono ftp.m

ftp.njc

In non

generale

• Funzione arrotondamento: è una funzione che uso per approssimare i numeri reali

◦ Def: elementi adiacenti a x-> sono due elementi consecutivi di M tra i quali è compreso x

prendo 3 61,3

1

p o.c.ca p 0.4 Ec e

e

cm

◦ Def: arrotondamento di x in M-> rd(x), è definito come l’elemento di M più vicino a x

‣ Se x è equidistante dai due elementi di M ad esso adiacenti->ambiguità-> slz: procedure RTTE/RTTA

Nè di salato

RT all'elemento cifra

la

TE cm quella

con par

approssima

deve pari

p essere limitato

M esponente esponente

insieme con

non

con oppure

ed elementi

limitato demormalizzati

da Nè della

lontano

all'elemento calcolatrice

Rita quello

0

più

approssima

◦ Proprietà rd(x)

‣ Non è invertibile

‣ È dispari -> rd(-x) = -rd(x)

‣ Debolmente crescente -> x>y => rd(x)>=rd(y)

‣ rd(x)=x SSE x€M

‣ Se M=F(β,m) allora rd(x)=0 SSE x=0

• funzione errore

◦ Il

HEIR

Errore assoluto δ(x)=rd(x) - x dispari

◦ Errore relativo

‣ ε(x)=[rd(x)-x]/x Xx EIR

0 Hear

‣ η(x)=[rd(x)-x]/rd(x) rda

EIRE o

• TEO: stime delle funzioni errore in F(β,m)

p'S 1

ftp.m

M 1 0

lscxilezpb.vn

lente Ip

tmall.fr

oss ftp.m.bninibnae 0 ftp.m.bninibnae

se 9mm in e sig

te

le stime del valide

fumi

E

se sono

te

le stime del valere

e possono nove

n

• Precisione di macchina: serve per limitare superiormente il valore assunto dall’errore relativo. Mi dice con che precisione

dell’insieme M posso approssimare i numeri reali

È

a

quindi scxilEulrdlHl

lscxileulxlqp.ae

lente

Invitta

◦ Tanto più la precisione di macchina è piccola quanto più è stringente la limitazione dell’errore relativo commesso

arrotondando i numeri reali

Note

• Errore relativo: è limitato

◦ Per ogni x reale non nullo, l’errore relativo commesso approssimando x con rd(x) non supera la precisione di

macchina

• Errore assoluto: non è limitato

◦ Questa differenza con l’errore assoluto è dovuta alla struttura di F(β,m) e rende naturale misurare l’errore commesso

approssimando un numero reale con un numero in virgola mobile e precisione finita con una funzione errore relativo

• TEO: arrotondamento e perturbazioni

◦ Perturbazione additiva di x Idl

dldlEulxl 1scx

3DEIR x

kI

t.c.ro

◦ Perturbazione additiva di rd(x) EH

e 0

per

0 p

e per

e

◦ Perturbazione moltiplicativa di x e perduto

Miei

IRt.c.ro eIEu

cxI

J lr

ec x

e

◦ Perturbazione moltiplicativa di rd(x)

rolle

EEIRt.c.x lr.it then

J

• Funzioni predefinite

◦ Operazioni aritmetiche

rdk.si 5

fard

3 g sa

rd

3,03 rolls

5 03

◦ Funzioni elementari(trigonometrica, esponenziale, log..)

predefinita

funzione

FTA roll funzione vera

◦ Confronti true

t.tl

7 4,7 11

false

p

• Proprietà pseudosomma 5

commutativa 3 3 3

associativa s g

NOI è ha

Debolmente monotona Eh

3,75 02

27

2 g

si

lo L 2 anche

è sto può

0

unico se

zero ma

non p

non essere

è 0

g

l'opposto unico

• Proprietà pseudoprodotto 5

commutativa 3203 3

associativa 3

NOI è ha

Debolmente monotona Eh L

3,75 2 9,0279

si

l'unità anche

02 sto

è 5 2 1

9 può

se

ma

non unica 1

non essere 1

l'inverso 00

te

OEM 9

essere

non unico

o

puo

• funzione SEN

ha rd

3 p 9

0 seni

i 5

0 senni 0

p

in

unico

un

• teorema esistenza zeri verificato

che fin fig

detto fioco

è ti 0 è

non sia ma non

fiato

detto

che te

32

• errore relativo per le funzioni predefinite: il valore assoluto dell’errore relativo commesso approssimando il risultato di un

operazione aritmetica con il valore ottenuto dalla funzione predefinita non supera la precisione di macchina

rd

f IEI

fig

s su

errore è

approssimando con

commesso numero reale

• Procedura di trasformazione: procedimento per trasformare una procedura che usa il tipo con una

virgola mobile e precisione finita

procedura che usa il tipo numero in e informazioni sul relativo errore commesso

A. Sostituire a ciascuna costante a valore in R il suo arrotondato in M

B. Sostituire a ciascuna operazione aritmetica o funzione elementare la corrispondente funzione predefinita

aggiungendo, se è il caso, opportune precedenze tra operatori

• Esempio: a volte è utile introdurre F(x1, x2)=x1/x2

flu E 4M

X

X

PERCHE

f f

xn.x.I Kte

rdkd.ro caeeDxD flxs.xr

leedxs

lxz trovo e

e

f

fila elite

elite

erede Creed xD

te

• nota: nel calcolo numerico in generale riusciamo a determinare informazioni sul massimo errore che si rischia di

commettere e non sull’errore effettivamente commesso

• procedura migliore di arrotondamento

fix f rolle

rdflrdlxidpcxs.in

• Algoritmo φ per approssimare f(x)

◦ Accurato: i valori che restituisce sono con buone approssimazioni

relativo

fix Ile 041 piccola

è

piccolo

errore

e se una

di fix

moltiplicativa

perturbazione

◦ Stabile Here

f risultano

04 piccoli

tede piccola

Inter 0cal

e è

se una

delvalore 7

d

moltiplicativa

perturbazione

punto vicino a

un

in

• calcolo ben condizionato

f fix risulta

Ile

Intendi il

punto

e piccolo a

se vicino

in ogni

t valore di f perturbazione

è piccola

una

piccola

la

con di

moltiplicativa fa

• TEO: l’algoritmo stabile insieme al calcolo ben condizionato da un algoritmo accurato

filtrate eritrei

04 after fui

in ben

algoritmo calcolo

condir

stabile li

analizzo l'errore piccoli

ev

Inter net l'errore

è

et piccolo

me Neve erte

• funzione di condizionamento

fa

flirtele

I

ix e

• TEO: Lagrange

◦ Se la derivata prima è continua

f l

fine

Inter a ex Oa

Xe He x

con piccolo

Oexperché

i

f'iot I

eI

Cine http 419

aeel.co e

a di condizionamento KK

Numero

• Nota: studiare il condizionamento significa vedere quanto è piccola la funzione di condizionamento(ovvero trovare una

limitazione superiore)-> si ha un algoritmo ben condizionato quando k(x) è piccolo

• Stabilità funzioni predefinite: gli algoritmi che utilizzano una sola funzione predefinita sono stabili

• Algoritmi non stabili: la composizione di algoritmi stabili non sempre genera algoritmi a loro volta stabili

• condizionamento delle operazioni aritmetiche

◦ Addizione e er

xs.xaier.ee

◦ Moltiplicazione latere

e

e er

sia

◦ Divisione Ieri

e

xs.x.ie

◦ Nota: il calcolo della moltiplicazione e della divisione è sempre ben condizionato erI

ereal

le.lt le.lt

erI

E

Cles e

Moltiplicazione e e

x lettesi

E

Divisione ei

x er e

◦ Per la somma dipende dagli addendi

‣ Addendi con lo stesso segno leale le.lt eal

Ieri

I

e

entries

‣ Addendi con segno opposto: il condizionamento è tanto peggiore quanto il rapporto x1/x2 è vicino a -1

1

nth

X xD e I

caso ti

I io

L

ii

• TEO: esistenza degli zeri

f 3

7cal f

b

LE d

continua lo

b 112 a

a zero

se

• Metodo bisezione: per approssimare lo zero-> è un metodo iterativo che ottiene il risultato costruendo una successione

f feb

te 7cal

continua

b

a 0

112 iterazioni

contatore

k Kinect

a

a b

b

X aItro

Procedimento lo

fix Xkè

_0

se zero

flxrdflbr.tl br

ben

Xx

se anni

f film ben Xx

an an

q

se sarei

iv antiebrei

v Ken due

fini termina

Kk

se successioni

successione e genera

non

intervalli b

di In an

successione 7

d

almeno

contiene percostruzione zero

uno

c In

Inn Il

misto

In In

In

mis Mis misura

allora la

Iim intervalli

di individua

In 0

mis successione d

tendente f

incertezza zero

zero

v o con u

a

reali medi

di d In

Xv che punti

numeri

successione sono

◦ F)

Oss: le successioni ak, bk e xk sono convergenti e hanno tutte lo stesso limite(che corrisponde allo zero di

1in Iim

bn br

B L

mista B

area Bea

a

an

ma

no

liman link

imbr.eaklxxcbx dei due

te carabinieri

a.BE L

se

Criterio di arresto: per evitare che la procedura si ripeta all’infinito, è definito da una condizione sugli elementi della

successione calcolati dalla procedura e la costruzione della successione viene interrotta quando la condizione risulterà

soddisfatta ‣ Proprietà calcolabile:

1. Deve essere per ogni iterazione la procedura deve essere in grado di verificare se la

condizione è soddisfatta

efficace:

2. Deve essere la condizione deve essere verificata dopo un numero finito di iterazioni

3. Se la condizione è soddisfatta la procedura deve restituire un elemento che approssima l’oggetto

richiesta

cercato con l’accuratezza dall’utilizzatore(condizione verificabile)

• Criterio di arresto di tipo assoluto: se l’utilizzatore misura l’accuratezza con l’errore assoluto

f

fled mistral

5 S

diventa Xx

p p oppure assoluto

dell'errore

Il deve

l'errore così

IX di Ls essere

Emis misura con

furto la

criterio arresti costruzione

se n

ma f

di

20

criterio b

a esso

a

sia

se zero

ma in

ve

allora la costruzione

arresta

dic s

IX

• Trovare il numero di iterazioni k

◦ se la procedura termina trovando uno zero è difficile trovare k mentre se termina perché l’ultimo intervallo costruito

ha misura minore di δ è più semplice: la

s

In Igf

misto procedura

k log

mis e si

misto

arresta dopo i

eseguito

aver iterazioni

Igf

misto

µ log ilp.ci

così ke

perché di

intero

piccolo L i

• Criterio di arresto di tipo relativo: se l’utilizzatore misura l’accuratezza con l’errore relativo

termina

la

taxi Ibm procedura

E E

0 min se

mia miµ

utilizzabile nullo

lo b

Io

è è 0

Sse a

zero in

n

da

modo lire

tre

mie o

avere

◦ Oss: le tre proprietà sono verificate ritmo mmm

0 0

o

b

a msn.de

m

miste misto

e 0

2km

Mr amistà

IN KII E

mr c

Mr

• Numeri in virgola mobile e precisione finita

D mobile

reale Finita

ntstyon.vn virgola

Tipo egro

nvm Ln Pr

Jr

b

In an 2

B

X art

fine Yun Bnl

I

1Lui

Ibn

12kt

min min

Mr Mr

quindi frolla

b Jo

I lbDXn

a ro

rd

sr dktzI

antzbn

Errore litio fisse

1

413 rte

c f Sr dello

7

Ye

1 stesso

e sono segno

f

Ye hanno

1

e opposto

segno

• Oss: da

lo Jo che

lo b

potenzialmente 7

è a

cerco in

zero arresta certo che

la Msn è Se zero

procedura 0

si se uno

non sia

ma d f

di

Criterio assoluto

arresto

rolls CS

04 Pr L

Pr il verificato

criterio Jr

Jr contiene L

s

è

se e se

mis zero

f allora

di µ

Lines

21

15 accurata

pre

E approx

Jr

mis

relativo

di

Criterio arresto roll a

E

0 d

Pr LE

µ Mie

Per rd Klan

Ln

Bn

Ln

04

de Pr Bn net Br E

E Ln

Ln Brodie

Pr Pr

Elian

r n

ovvero ce

r

Nn

Jr

il contiene

criterio verificato

è zero

uno

se e

p

µ accurata

ac

E e papera

• Metodi ad un punto: è un metodo iterativo che genera una successione xk convergente il cui limite è un punto unito della

funzione h nell’intervallo [a, b]

◦ Punto unito di una funzione h: 412

punto

r un.to

h è

LEI

1

112 2

CIR se

con un ovvero

tra h del

la bisettrice cartesiano

punti di intersezione e

sono i piano

◦ Procedimento

h TEL b

continua a

b 112

a

8

X K

e risultato

il

fine Xx

b è

Xu a in

se e L lire

b Xke

E k KM

a

se

‣ Dim: della

Iim tv

I

d successione

Sia htt di

412 la continuità 4

him

La a

successione per

converge

la hlxd.hu

identica

X è

Ma x

successione a

4

anche 2 d

questa L quindi

a

converge

◦ Utilità: F h

sia la funzione della quale si vuole approssimare uno zero, se una funzione continua è tale che l’insieme

F h

degli zeri di è uguale all’insieme dei punti uniti di allora è ragionevole tentare di utilizzare il metodo ad un punto

h F F h

definito da per approssimare gli zeri di (assegnata esistono infinite funzioni che hanno la proprietà richiesta)

• Teorema di convergenza

• Criterio di scelta del valore iniziale per metodi ad un punto

Ip intervallo

b

a un

h derivata

b continua

112

a con prima

del di

te verificate

e sono

convergenza

ts def l'y del

2

l'estremo

X di ad

b verifica

più

a

come vicino

d

te convergenza

Dim d 1 21 d

centro

intorno chiuso di L

I e raggio

def ha I b

La

8

è

come

per si

21

141 41211

141 di

sia 30EUR

te