Calcolo numerico

Ain CrdSul arresta las10 costruzioneD 0Srse calcolabileil criterio è sempre sul finchéefficace decrescenteAnalizzo 1014 èI sul nulladireSr èdopo77 puòsi unnonnon criterio efficaceefficace condizionesè questaIIIse siamosee inEloisadi19cheabbiamo L'Ion1f rolls arresta la1419E costruzione4 siseapprossima f1415t.c.tt ha Eh5nnbsetaIiii 3ns sicalcolabile 1415kVstudioefficace filthyIYlsdllntlfkhnu.ee il efficace 571criterio è severificata 21214condizionese• Condizionamento del calcolo di uno zero di una funzione fisolato Lbfi.IR detailsdicontinua a a112 e separazero fullf Idle ES 870continoIR piccoloI ba vicino conafix fusessegui eovverof 2 70caso TaylorÈ944intorno fixdi db te xa ha b8 aqualche zero in1Iftes s171211 s e8 dilo dadista aldi KSL Kmalzero conscostamento SeMax If◦ fTanto più la derivata prima di calcolata in α è vicina a 0 e tanto più il condizionamento è peggiorel d df0

E qcaso LÌintorno di fixd fb te dea x◦ In questo caso il condizionamento è pessimo per quanto δ sia piccolo(g potrebbe non avere zeri)l f td f2 0pcaso pe e LÌintorno tdi fix dLb t.ci xea 1g ha b8 aqualche zero inIIftes s171211 s e KM F8lo didista da aldi L Kmal conzero IH 2◦ In questo caso il calcolo di α è mal condizionato f’(α)• L’unico caso in cui il calcolo di α è ben condizionato è quello in cui è non troppo piccolo• Teorema delle funzioni implicite: stabilisce quando il luogo degli zeri di un equazione si può esplicitare rispetto ad unavariabile• Condizionamento per funzioni dipendenti da un parametroparametroflail funzione regolarefc2teIRLE io patff.ca tease fc2lt Edescrivecomelovari zerod Efunzione 2dello dalocalcolo scostamentoè2 regolare pentacolozerosiccome E10it L2 Zfc2lt fE regolarize 2xff z'coi aeflzioil0li0dfff.it oe oquindi À1012 D72

zioAllora À eLlei2 D72 zioinvertibilematrice notaA EIRb dicolonna 112 Acidulousbslz.ie sistd.eqhneariAxÈ dicolonna 112unicaMetodi per determinare la soluzione di un sistema di equazioni lineariDiretti:• determina la soluzione del sistema con un numero finito di operazioni elementari sui realiIterativi:• determina con un numero finito di operazioni elementari sui reali un elemento di una successione che convergealla soluzione del sistemaDeterminare una approssimazione accurata di x*• Note bslzd.ae Lla colonna AyèY nninvertibile IE.IRt.c.AB3a BADEIRdotato KesaAx p 0ovverop didemd linearmenteA indipendenticolonne 112 quindirighe sonoo baseunasono stahaD solabella Ax unaii indice rigaindice colonnaJCasi semplici• Verifico che la matrice sia invertibile e poi calcolo x*A haFi i iD J pdiagonale aisiinvertibilea SSE 0 Kei inavere testa trovarla richiestoX divisionièe nper noperazioniamif a triangolare haifi psitriangolare superiore s

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ilhainferiore fi pitriangolare siinvertibilea SSE Kei0 inaveresta all'indietro SIsostituzioneproceduratriangolare superiore avantisostituzioneinferiore saproceduratriangolare ines invertibileSI T matrice colonnaTc triangolare csuperiorerealid te Txnumeri cnCnnciclo 1Ken n 21 ntCn tn.nuSu tn.nXnnstar divisionislalatrovare ftp.ijrichiesto ni nè operazioni eper altrettantemoltiplicazioni sommeeaa ortogonaledelle tre proprietàVerifica una ortonormale diLe basecolonne 112di rispettoArighe sono unaoal tatascalareprodotto b baa antonecanonicoAta I atinvertibileA Aee'invertibilea attoatb Attostzax eaatAxbequ.ua che equivale ala slzi.notrovare moltiplicazioni uln2h n n sommeaeoperazioniper dif dia quellecolonnepermutazione permutazionerigheo unasonoidentitàmatricedella ortonormale di albaseAdicolonne 112 rispettorigheo son una particolariscalare matriciprodotto matricidi permutazione sonoortogonali le AvdiEIR quellecomponenti permutandose ottengonosiindicato il

diparticolareda A operazioninumerocome indalcalcolo di Avaritmetiche richiesto è zeroAtAnche diè permutazionee'invertibileaslziax Atbatb AttoeaatAxbequ.ua che equivale a dettole richieste didate unasono opmatricelatrovare dislzi.no eermutazioneperonacolonnanenzeroper operazioni di n componentiCaso generale: se A non è in uno dei casi semplici• Procedimento◦ 1) Fattorizzare A in prodotti di fattori semplici (F , .. , F ), ovvero ciascuno appartenente ai casi semplici fatti, e si1 jverifica l'invertibilità di A controllando l'invertibilità di ciascuno dei fattori◦ 2) Se qualche fattore non risulta invertibile (quindi anche A non invertibile) o si rinuncia al calcolare la soluzione delsistema oppure si calcola tanti sistemi semplici quanti sono i fattori di A:• Fattorizzazione di A in prodotti di fattori semplici: fattorizzazione LR con pivoting e QR di una matrice quadrata◦ Fattorizzazione LR◦ Fattorizzazione LR con

pivoting

Fattorizzazione QR

• Queste tre fattorizzazioni riducono l'invertibilità di A a quella del solo fattore destro

Fattorizzazione LR con pivoting: procedura EGP(Eliminazione di Guass con Pivoting): si usa per ricercare la soluzione del sistema Ax=b

AE HorizzazioneFdeterminasDP LRepoca112 pivotingconuna l'invertibilitàconsentedi di verificarecheA sla deldeterminareedeventualmente la sistbAxe

Matrice elementare di Gauss: composta da n n elementi reali, è ottenuta dalla matrice identità scegliendo:

• Un indice j in (1), .. , (n-1) che mi indica una colonna nella matrice identità
• Numeri reali λ , .. , λ che metto sotto l'(1) della colonna j della matrice identità
• Sostituisco questa colonna che ho appena creato con la colonna della matrice identità posta all'indice jest

La matrice di Gauss quindi è una particolare matrice triangolare inferiore con "1"

etP T XAsl Ast.BA Ast Dte3 Iv 3 03,3 0 3,3 poiscon edellasulla finaletermini Dmatricei chetroviamo pivotchiamanodiagonale sise leAriAa J invertire2 79p E2 2 righecerco eper uso perAAziz IPII0 eseNote:

• Prodotto tra matrici pe D c◦ Procedimento:
  ‣ Elemento in alto a Sx: termini prima riga della prima matrice per i termini della prima colonna della secondamatrice Dc
• Determinante Ddetta taA aria ariaariaanan aria ariaaria aaamara ananas atamarra 2 2area a e aiansara
• Matrice n n invertibilexdetto pinotn nrangocolletementi sulla 70diagonaleai◦ Calcolo dell’inversa di A: metodo di Gauss-Jordan, affianco la matrice A alla matrice identità e poi facendooperazioni tra le righe di A faccio in modo da avere al posto di A la matrice identità. Le operazione sule righeappena dette le devo fare anche sulle righe della matrice identità precedentemente affiancata ad A. Alla fine alposto della matrice identità di partenza