Calcolo numerico

Il calcolo numerico è una disciplina della matematica...

...per il quale non esistono soluzioni...

Reale Calcolato

• raggiunto

Si definisce rappresentazione Floating-point...

a = (-1)^s pN^q

per N=10

• ...0,15... (infinite rappresentazioni floating-point)

La rappresentazione è univocamente determinata...

Se si impone la seguente condizione:

N^t < p < N

Se soddisfa questa condizione...

mantissa di a, intero q, esponente di a

• ...mantissa...

Per memorizzare a è sufficiente memorizzare...

Non tutti i numeri reali sono esattamente rappresentabili su un calcolatore.

...esattamente rappresentabile...

L'insieme di numeri di macchina è così definito:

F={0}∪(-1)^s 0, d1... dt N^q:0≤d_i<N, z1≤q≤z2

• d1

N = 10

Il calcolo numerico è una disciplina della matematica, che propone e analizza metodi che permettono di ottenere una soluzione numerica di problemi matematici per i quali altri metodi di soluzione non esistono oppure sono difficili da determinare. Utilizzando macchine si utilizzano algoritmi eseguibili da un calcolatore e basati da metodi stessi.

Sarebbe di più grande errore il pensare che i risultati numerici ottenuti siano privi di errori e affetti da un conto trascurabile.

Regole che seguono i calcolatori

Si definisce rappresentazione floating-point di un numero reale è la seguente rappresentazione:

a = (-1)^s pN⁹ s ϵ {0,1} p ϵ:20 reale, 9 intero.

dove N rappresenta la base del sistema di numerazione. Se N = 10 il sistema di numerazione si dice decimale, se N = 2 il sistema si dice binario.

Es

a = 0,015∙10^-2, per N = 10

a = 0,15 10^-1 etc.. (infinite rappresentazioni floating-point)

La rappresentanza è univocamente determinata. Se si impone la seguente condizione:

N^t-1 ≤ p < N^t

Se soddisfa questa condizione, la rappresentazione si dice normalizzata e il numero reale non negativo a si definisce mantissa di a, l’intero 9 si definisce l’esponente di a.

Es

a = 12,4 = 0,124, 10³ mantissa = 0,124, esponente = 2

a = 1,3∙10 mantissa = 0,13 esponente = 1

Per memorizzare a è sufficiente memorizzare s, p, 9. Poiché un calcolatore presenta uno spazio finito di memoria, può memorizzare solo mantisse con un numero finito di cifre ed esponenti di un certo intervallo prescritto con al massimo t cifre ed esponenti compresi x ≤ 9 ≤ y.

Non tutti i numeri reali sono esattamente rappresentabili su un calcolatore. Si definiscono numeri di macchina numeri con mantissa ed esponente esattamente rappresentabile negli spazi a loro riservati dal calcolatore.

L’insieme di numeri di macchina z è così definito:

F = {0} U (-1)^s {0,diaz...} a.t | 9 | 0 ≤ 9 < N 9 ꭓ 9 ϵ [_,_]

0,t...at rappresentano le cifre della mantissa minori o uguali a N-1.

Es

Se N = 10, a t ϵ { 0,1,2,...,9 }

ESN:10, t:3, L: -127, U: 128

• a: 1,38291 • 10^0 è un numero di macchina?
• a = 0,138291 • 10^1

la mantissa ha t:3, quindi max = numero di macchina

La limitazione inferiore L_sq comporta che il più piczero numero positivo rappresentabile sia (m = 0,10000 • N^L, t cifre.

Si definisce regione di underflow l'insieme dei numeri reali diversi da zero e appartenenti a (-m, m).

La limitazione superiore U_sq comporta che il più grande numero positivo rappresentabile sia (M = 0,(N-1)(N-1)(N-1) • N^U), t cifre.

Si definisce regione di overflow l'insieme dei numeri appartenenti a (-∞, -M) ∪ (M, +∞)

(-m, m) = 0

(-∞, -M) ∪ (M, +∞) = inf

ES

• Si consideri M M
• M + M₁ ≥ 1, dove M = M₂
• Se poniamo però considerare M + M₁ = 3/2, max m. overflow

ES

• Si consideri R = 1/(x₁² + kx₂²)
• N: 10
• x₁ = 10^-100
• x₂ = 10^-50
• U: 128

Si evita l'overflow

√(x₁^(x₂/x₁)) = 1 x₁ √(1 - (x₂/x₁)), se x₁ > |x₂|

Si esamina ora come vengono rappresentati i numeri reali la cui mantissa ha più di t cifre.

Bisogna approssimarli con la tecnica "rounding to even" la mantissa viene approssimata con la mantissa di macchina più v