Calcolo numerico

Il calcolo numerico

Il calcolo numerico è una disciplina della matematica che propone e analizza metodi che consentono di ottenere una soluzione numerica ai problemi matematici, per i quali metodi di soluzione analitica non esistono oppure sono difficili da utilizzare. Nel calcolo numerico si utilizzano algoritmi eseguibili da un calcolatore e basati sui metodi stessi.

Uno dei più grandi errori è pensare che i risultati numerici ottenuti siano privi di errori o affetti da un errore trascurabile.

Regole che seguono i calcolatori

Si definisce rappresentazione floating-point di un numero reale la seguente rappresentazione:

a = (-1)^s p.N_β

s ϵ {0,1} p ϵ [0,2] β ≥ 0 reale, q intero.

dove N rappresenta la base del sistema di numerazione. Se N = 10 il sistema di numerazione si dice decimale, se N = 2 il sistema si dice binario.

Esempi:

• 0.315 10^-2 per N = 10
• 0.13 10^-1 etc... (infinite rappresentazioni floating-point)

La rappresentazione è univocamente determinata se si impone la seguente condizione:

N^-1 ≤ p < 1

Se soddisfa questa condizione la rappresentazione si dice normalizzata, a un numero reale non nullo p si definisce mantissa di a l'intero q e si dice esponente di a.

Esempi:

• a = 12,4 → 0,124. 10²
• mantissa = 0,124, esponente = 2
• a = 0,13 10¹
• mantissa = 0,13, esponente = 1

Per memorizzare a è sufficiente memorizzare s, p, q. Poiché in calcolatori presente uno spazio finito di memoria, può memorizzare solo mantisse le cui d. imp e finita e esponente compreso in un certo intervallo. problemi con al risoluzione se x < y e conformità con i numeri.

Non tutti i numeri reali sono esattamente rappresentabili su un calcolatore. Si definiscono numeri di macchina numeri con mantissa ed esponente esattamente rappresentabile negli spazi a loro riservati dal calcolatore.

Insieme di numeri di macchina

È così definito:F = {0} ϵ ∪ (-1)^s 0, d₁ d₂ ... d_t N^e 0 ≤ d_i < N, a₁ = d₁ ≠ 0, L_sup(U)

dove a_i rappresentano le cifre della mantissa minori o uguali a N - 1.

Esempi:

• N = 10, a_i ϵ {0,1,2,...,9}

ES

N=10, t=3, L=-127, U=+128

a=1,53291.10⁴ è un numero di macchina?

a=0,153291.10⁵

La mantissa ha t=3, quindi max 3 numeri di macchina

La limitazione inferiore (L=9) comporta che il più piccolo numero positivo rappresentabile sia m=0,10000...N^L

Si definisce regione di underflow l'insieme dei numeri reali diversi da zero appartenenti a (-m,m)

La limitazione superiore (9^u) comporta che il più grande numero positivo rappresentabile sia M=0,(N-1)(N-1)(N-1)...N^U

Si definisce regione di overflow l'insieme dei numeri appartenente a (-∞,M)∪(M,+∞)

(-m,m)=0

(-∞,M)∪(M,+∞)=inf

ES

Si consideri M₁ - M₂ dove M₁ A₁ M₂ A₂ =1/2 1/4 A. Se prima può consider R=1-M=3/2 Max m overflow

ES

Si considera R=1/x₁² + kx₂²

N:10

x_i:10^±100

x₂:10^±90

U: +128

Si evita l’overflow

|_xⁱ|t(x_i/x_i)

=1|sub>x₁| |1/x₂ (x_i/x_i)| se |x₁|≥|x₂|

Si esamina ora come vengono rappresentati i numeri reali. La cui mantissa ha più di t cifre. Bisogna compenderlo con la tecnica “rounding to even” la mantissa p viene approssimata con la mantissa di macchina più vicina e se p è equidistante da due mantisse viene approssimato con quella che ha l’ultima cifa pari.

ES

t=3

N=10

p=0.1581 → 0.1531≠1 + 2^10-3 = 0.1528 0.0005=0.1586 si tiene l’ultima cifra 0.158 p=0.1581 ^a 2*10^-3 0.1581 0.0005=0.1586 = si tiene l’ultima cifra 0.158

V = e^x-1

e^x - x_{m ben condizionato}

|y| |x| K >> 1 => mal condizionato

Si definisce numero di condizionamento del problema il più piccolo valore di K(f,x) per cui v’è la disuguaglianza

λ1, λ2 ∈ ℝ |y = x ◦ x2 |ȳ = y1̄ ◦ x2

|y-ȳ|/|y|

x1 → x1 = x1 ∙ (1 ± ε1) |ε1 + |

x̄1 → x1 = x1̄

x2 → x2 = x2(1 ± ε2) |x2 = x2 - x4

x̄2 → x2̄ = x̄2

|y-ȳ| |x1-x1̄| ◦ (x1 ∼ x2₂) ◦ x1 ∙ (±∑) ◦ x2 x |

ijij

≤ |x1±|ε1| ± |ε2|

|x1±|

≤

|x1±|

|x1±|

L_j(x) interpola i dati (x₁, 0), ..., (x_j, 1), (x_j+1, 0), ..., (x_n+1, 0).

Assegnati i dati (x_i, y_i), i = 1, 2, ..., n + 1 è immediato verificare che il polinomio di grado m così definito

p_m(x) = ∑_i=1^m+1 y_i ℓ_i(x)

soddisfa le condizioni di interpolazione. Infatti

f_m(x) = ∑_i=1^m+1 y_i c_i(x) c_i(i, i) y

nodi numerati del polinomio di grado m interpolante m + 1 punti, segue che errore polinomio interpolante 1.

si definisce rappresentazione di Lagrange il polinomio per interpolante i dati (x_i, y_i), i = 1, 2, ..., n + 1 con la seguente espressione

p_m(x) = ∑_i=1^m y_i ℓ_i(x)

i polinomi L_j(x) di grado n sono detti polinomi fondamentali di Lagrange associati ai nodi.

1. (-1, -1), 2, 1 )

2. (2, 2) . Rappresentazione di Lagrange

L₁(x) = (x - 2)(x - 1)(x + 1) / (x₁ - x₂)(x₁ - x₃)(x₁ - x₄) * x₁ + (x - 1)(x - 2)(x - 2) / (-1)

L₂(x) = (x - 3)(x - 2)(x - 4) / (x₁ - x₂)(x₁ - x₄) * x₁ + (x - 1)(x - 2)(x - 2) /

L₃(x) = (x - 2)(x - 1)

L_i(x) = ...

y₁ ℓ₁(x) + y₂ ℓ₂(x) + y_i ℓ₃(x) + y_i ℓ_i(x)

La rappresentazione di Lagrange:

- Fornisce una dimostrazione di esistenza del polinomio interpolante;- Rappresenta la base per costruzioni di formule di integrazione e soluzione %cproblemi differenziali.

cf = 0

se vuole aggiungere un modo occorre ricalcolare tutti i polinomi L_j!