Calcolo II - integrali indefiniti

Integrali

Il problema di cui ci occupiamo in questo capitolo riguarda, oltre una funzione y=f(x),la determinazione di una funzione che ammessa come derivata f(x) e che verrà definita primitiva di f(x).Per esempio, considerando la funzione 3x², alla domanda"qual è la funzione di cui si può considerare 3x² la sua derivata?" possiamo rispondereche essa è la derivata di x³ che perciò, ma, è la sua primitiva.Oltre a x³ anche le funzioni x³+5, x³-1 ed in generale x³+k(con k una costante generica) hanno come derivata 3x².Quindi sono tutte funzioni primitive di 3x².Possono ed esistono più funzioni primitive di una funzione data.Il problema vero è quello di determinare tutte le funzioni la cui derivatasia uguale ad una funzione assegnata f(x).Tutte queste funzioni vengono definite primitive di f(x).Dunque se F(x) è una primitiva di f(x), F(x)+C è la primitiva più generale e rappresentatutte e sole le funzioni la cui derivata è uguale a f(x).Questa primitiva generale prende il nome di integrale indefinito di f(x)e viene rappresentato come di seguito:

∫f(x)dx

Da quello che è detto precedentemente, la primitiva generale è

∫f(x)dx = F(x) + C

Gli integrali indefiniti godono di alcune importanti proprietà:

1a proprietà: una costante moltiplicativa si può trasporre dentro ofuori dal segno di integrale indefinito.

INTEGRALI

Il problema di cui ci occupiamo in questo capitolo riguarda, oltre una funzione, la determinazione di una funzione che ammette come derivata f(x) e che verrà definita primitiva di f(x).

Per esempio, considerandola funzione 3x², alla domanda: “qual è la funzione di cui si puòconsiderare 3x² la sua derivata?”, possiamo rispondere che essa è la derivata di x³ che, quindi, è la sua primitiva.

Oltre a x³ anche le funzioni x³+5, x³-1 ed in generale x³+k (con k una costante generica) hanno come derivata 3x²; quindi sono tutte funzioni primitive di 3x².

Possono ed esistono più funzioni primitive di una funzione data. Il problema vero è proprio quellodi determinare tutte le funzioni la cui derivata sia uguale ad una funzione assegnata f(x). Tutte queste funzioni vengono definite primitive di f(x). Dunque F(x) è una primitiva di f(x).

F(x)+C è la primitiva più generale e rappresenta tutte e sole le funzioni la cui derivata è uguale a f(x).Questa primitiva generale prende il nome di integrale indefinito di f(x) e viene rappresentato come di seguito:

∫f(x)dx

Da quello che si è detto precedentemente, la primitiva generale è:

∫f(x)dx = F(x)+C

Gli integrali indefiniti godono di alcune importanti proprietà:

1^a proprietà: una costante moltiplicativa si può trasportare dentro o fuori dal segno di integrale indefinito.

1^a proprietà:

∫k·f(t)dt = k·∫f(t)dt con k ∈ ℜ

2^a proprietà:

L'integrale di una somma algebrica di due più funzioni è uguale alla somma algebrica degli integrali delle singole funzioni.

∫[f₂(x) + f₂(x)]dt = ∫f₂(x)dt + ∫f₂(x)dt

3^a proprietà:

L'integrale indefinito è un operatore lineare, ovvero l'integrale di una combinazione lineare di funzioni è la combinazione lineare degli integrali delle funzioni.

∫[k₂f₂(x) + k₂f₂(x)]dt = k₁∫f₂(x)dt + k₂∫f₂(x)dt

Una volta introdotto l’argomento ora ci si sofferma sulle integrate immediate, che hanno le stesse funzioni delle derivate immediate.

1^a

∫x^ddx = ^xd+1⁄_d+1 + C con d ∈ ℜ - {-1}

Ad esempio

∫x²dx = ^xx+1⁄₂ + C = ^x3⁄₃ + C

2^e

∫¹⁄_xdx = log|x| + C

Esempio:

∫ 2x+5 dx = ∫(2x + ⁵⁄_x)dx = 2∫x dx + 5∫¹⁄_x dx = x² + 5·log|x| + C

3^c) ∫ [()]^d ⋅ '() dt = [()]^d+1 / (d + 1) + C   con d ∈ ℝ - {-1} 4^c) ∫ f'() / f() dt = log |f()| + C Esempio: ∫ (2 + 1) / (² + ) dt Il numeratore è la derivata del denominatore: f() = ² +   →   f'() = 2 + 1 quindi: ∫ (2 + 1) / (² + ) dt = log |² + | + C 5^c) ∫ cos dt = sin + C 6^c) ∫ sin dt = -cos + C 7^c) ∫ 1 / cos² dt = Tg + C 8^c) ∫ 1 / sin² dt = -cotg + C 9^c) ∫ 1 / √1 - ² dt = arcsin + C 10^c) ∫ 1 / 1 + ² dt = arctg + C 11^c) ∫ e^x dt = e^x + C

12^e ∫e^x dx = ^ex⁄_loge + C

Esercizi sugli integrali immediati

1. ∫x³ dx = ^x3+1⁄₃₊₁ + C = ^x4⁄₄ + C
2. ∫x⁵ dx = ^x5+1⁄₅₊₁ + C = ^x6⁄₆ + C
3. ∫√x dx = ∫x^1⁄2 dx = ^x1⁄2+1⁄_1⁄2+1 + C = ^x3⁄2⁄_3⁄2 + C = ^2⁄3√x³ + C
4. ∫√3x² dx = ∫x dx = ^x3⁄2+1⁄_3⁄2+1 + C = ^x5⁄3⁄_5⁄3 + C = ^3⁄5x^5⁄2 + C
5. ∫¹⁄_x³ dx = ∫x^-3 dx = ^x-3+1⁄_-3+1 + C = ^x-2⁄_-2 + C = -¹⁄_2x² + C
6. ∫( ¹⁄_3x + 3 ) dx = ∫¹⁄_3x dx + ∫3 dx =

7)

∫ \dfrac{x^2 + x^3}{x^5} dx = ∫ \dfrac{x^2}{x^5} dx + ∫ \dfrac{x^3}{x^5} dx = ∫ \dfrac{1}{x^3} dx + ∫ \dfrac{1}{x^2} dx =

= ∫ x^{-3} dx + ∫ x^{-2} dx = \dfrac{x^{-3+1}}{-3+1} + \dfrac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = - \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{x} + C

8)

∫ \dfrac{2x + 1}{x^3} dx = ∫ \dfrac{2x}{x^3} dx + ∫ \dfrac{1}{x^3} dx = ∫ \dfrac{2}{x^2} dx + ∫ x^{-3} dx =

= 2∫ x^{-2} dx + ∫ x^{-3} dx = 2 \dfrac{x^{-2+1}}{-2+1} + \dfrac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{2x^2} + C

9)

∫ x^2 (1 - x + 2x) dx = ∫ (x^2 - x^3 + 2x^3) dx = ∫ \dfrac{x^{2+1}}{2+1} + ∫ (-x^2) + ∫ x^3 + ∫ \dfrac{x^{4+1}}{4+1} =

= \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^4}{4} + \dfrac{x^5}{5} + C = \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^4}{2} + \dfrac{x^5}{5} + C = \dfrac{x^5}{5} - \dfrac{x^4}{2} + \dfrac{2x^3}{3} + x + C

10)

∫ (x + \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{2}{x^3}) dx = ∫ x dx + ∫ \dfrac{1}{x^2} dx + ∫ \dfrac{-2}{x^3} dx =

= \dfrac{x^{2+1}}{2+1} + ∫ x^{-2} dx - 2∫ x^{-3} dx =

= \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^{-2+1}}{-2+1} - 2 \dfrac{x^{-3+1}}{-3+1} + C =

= \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} + C

N)

∫ 2(2x+1)^2 dx

Se si considera f(t) = 2x+1 si puɂ vedere come la derivata prima

e uguarle f(x) = 2; quindi l'integrale sara della forma

∫ f'(x) ⋅ f(x) dx

∫ 2(x+1)² dx = 2+1

= (2x+1) + C = (2x+1)³ + C

2+1 3

12) ∫ 1 dx

(x+1)²

In questo caso considerando f(x) = x+1

la rispettiva derivata è

f'(x) = 1 quindi:

∫ 1 dx = ∫ (x+1)^-2 dx = (x+1)^-2+1 + C = (x+1)^-1 + C =

(x+1)²

= - 1 + C

x+1

13) ∫ x² √x³+1 dx

Se si considera f(x) = x³+1 la sua derivata

è f'(x) = 3x² quindi...

∫ x² √x³+1 dx = ∫ 1 3x² √x³+1 dx =

1 3 (x³+1)³

= ... 1

3 (x³+1)^3/2 = 1 (x³+1)

3/2 = 1 3

3 = 1/3 - 2/9 ) 2

= (x³+1)^1/3 dx + c

= 2/9

(x³+1)1/3

...

15)

∫ log²(x) . ₁/^x dx

Se ρ(x) = logx la derivata prima

ρ'(x) = ₁/^x

∫ ρ(x) . ρ'(x) dx

∫ log²(x) . ₁/^x dx = [log(x)]²⁺¹ / 2+1 + C = [log(x)]³ / 3 + C

16)

∫ cosx . √sinx dx

si considera: ρ(t) = sinx → ρ'(x) = cosx

∫ cosx . √sinx dx = ∫ (sinx)^1/2 . cosx dx = sin^1/2+1 / 1/2+1 + C = sin^3/2 / 3/2 + C

= ₂/³ (sinx)^3/2 + C = ₂/³ sinx √sinx + C

17)

∫ ₁/^x . logx dx

Se ρ(t) = logx → ρ'(t) = ₁/^x

∫ ₁/^x . logx dx = ∫ ₁/^x . (logx)^3/2 dx

(logx)^3/2+1 / 3/2+1 + C = (logx)^4/3 / 4/3 + C

= ₃/⁴ (logx)^3/4 + C = ₃/⁴ (logx)³ + C = ₃/⁴ logx √logx + C

18)

∫ cos³x . sinx dx

Se ρ(x) = sinx → ρ'(x) = cosx

-∫ ρ^-2 sinx cos³x dx = - (cosx)³⁺¹ / 3+1 + C = - ¹/₄ cos⁴(x) + C

19)

∫ sinx . cosx dx

ρ(x) = sinx → ρ'(x) = cosx

∫ sinx . cosx dx = (sinx)¹⁺¹ / 1+2 + C = (sinx)² / 2 + C

20)

∫sen x (1 + 2 cos x) dx

f(x) = 1 + 2 cos x

f'(x) = -2 sen x

∫sen x (1 + 2 cos x) dx = 1/2 ∫-2 sen x (1 + 2 cos x) dx

= -1/2 (1 + 2 cos x)⁺¹/₊₁ + C =

= -1/2 (1 + 2 cos x)²/2 + C - 1/4 (1 + 2 cos x)² + C

21)

∫e^x/2e^x+1 dx

f(x) = 2e^x+1 → f'(x) = 2e^x

∫e^x/2e^x+1 dx = 1/2 ∫2e^x/2e^x+1 dx = 1/2 (2e^x+1)^1/2+1

= + C = √(2e^x+1) + C

22)

∫5/5x+1 dx

f(x) = 5x + 1

f'(x) = 5

∫5/5x+1 dx è della forma ∫f'(x)/f(x) dx = log|f(x)| + C

∫5/5x+1 dx = log|5x+1| + C

23)

∫    ^2x⁄_x²−1   dx

f(x)=x²−1 → f'(x)=2x

∫    ^2x⁄_x²−1   dx = log | x²−1 | + c

24)

∫    ^log3x⁄_x   dx

f(x)=log x → f'(x) = ¹⁄_x

∫    ^log3x⁄_x   dx = (log x)³⁺¹⁄₃₊₁ + c = ^log4x⁄₄ + c

25)

∫    ^dx⁄_x∙log³x

f(x)=log x → f'(x) = ¹⁄_x

∫    ^dx⁄_x∙log³x = ∫    ¹⁄_x∙log³x   dx = (log x)⁻³⁺¹⁄₋₃₊₁ + c = −^log−2(x)⁄₋₂ + c = −¹⁄_2log²x + c

26)

∫ x² e^x3 dx

f(x): e^x3 → f'(x) = e^x3 3x²

Mano a 3 punti:

∫ x² e^x3 dx = ¹⁄₃         ∫    3x² e^x3 dx = ¹⁄₃ e^x3 + c

27)

∫    ^{1+cos t}⁄_{x+sin x}   dt

f(x)=x+sin x → f'(x)=1+cos x

∫    ^{(1+cos x)}⁄_{x+sin x}   dx = ∫    (1+cos x) • (x+sin x)⁻¹ dx = −log | x+sin x | + c

28)

∫^x³/_(1+x⁴) dx = ∫^x³/_1+(x⁴)² dx

f(x) = x⁴ → f'(x) = 4x³

Nell'integrale manca il 4, dunque:

∫^x³/_(1+(x⁴)²) dx = 1/₄ ∫^4x³/_1+(x⁴)² dt = 1/₄ arctg(x⁴) + C

29)

∫(4x⁴ + 3x² + 5x) dx = 4 ∙ ^x4+1/₄₊₁ + 3 ∙ ^x2+1/₂₊₁ + 5 ∙ ^x1+1/₁₊₁ + C

= ⁴/₅ x⁵ + ³/₃ x³ + ⁵/₂ x² + C = ⁴/₅ x⁵ + x³ + ⁵/₂ x² + C

30)

∫^x³+x+1/_x²+1 dx

Si scompone il numeratore con un raccoglimento parziale

= ∫^x³+x+1/_x²+1 dx = ∫^x(x²+1)+1/_x²+1 dx = ∫ x_x²+1 dx + ∫¹/_x²+1 dx

= ∫ x dx + ∫¹/_x²+1 dx = ^x²/₂ + arctg + C = ^x²/₂ + arctg + C

31)

∫(1+2x³)² dx = ∫(1 + 4x⁶ + 4x³) dx = x + ⁴/₇ x⁷ + ⁴/₄ x⁴ + C

Scomponiamo il numeratore di binomio

= x + ⁴/₇ x⁷ + ⁴/₄ x⁴ c- ⁴/₄ + x + x + C

32)

∫ 4x (x²+1) dx

f(x) = x²+1

f'(x) = 2x

In modo che nell'integrale compare un 4 finale:

∫ 4x (x²+1) dx = 2∫ 2x

(x²+1) dx = 2 - ^(x²+1)1+1/₁₊₁ + C = ^(x²+1)² + C

33)

∫ x⁴

∫ ^dt/_x⁴ = ∫ x^-4 dt = ^x-4+1/_-4+1 + C = ^x-3/_-3 + C = ^-1/_3x³ + C

34)

∫ ^1+x3/_x dt = ∫ ¹/_x + x² dt = ∫ (x^-3 + x) dt = ^x-3+1/_-3+1 + x + C = ^x-2/_-2 + x + C = ^-1/_2x² + x + C

35)

∫ ^{sin(√) dt}/_√x

∫ ^{sin(√) dt}/_√x = 2 ∫ 1/2 sin(√x) dt = -2 cos(√x) + C

36)

∫ ^x2/_1-x³ dt

∫ ^-x2/_1-x³ dt = -1/3 ∫ ^-3x2/_1-x³ dt = -1/3 log |1-x³| + C

37)

∫ ^ex/_e^x+1 dt

∫ ^ex/_e^x+1 dt = log |e^x+1| + C

37d)

∫ ^2ex/_4+3e^x dt

∫ 2e^x/(4+3e^x) dt = 2/3 ∫ 3e^x/(4+3e^x) dt = 2/3 log |4+3e^x| + C

39)

∫ ₀² e^2x / 3 - e^2x dx      f(x) = 3 - e^2x → f'(x) = - e^2x(2) = - 2 e^2x

Nell'integrale per avere la forma

∫ f'(x) / f(x) dx      manca il termine -2, quindi lo moltiplico e divido per lo stesso numero.

= ∫ (-2 . e^2x) / 3 - e^2x dx = -¹/₂ log |3 - e^2x| + C

40)

∫ -3 sin x / 3 cos x - 5 dx      f(x) = 3 cos x - 5 → f'(x) = - 3 sin x

= ∫ f'(x) / f(x) dx

= ∫ (-3 sin x) / 3 cos x - 5 dx = log |3 cos x - 5| + C

41)

∫ 5 sin x / 2 cos x + 1 dx      f(x) = 2 cos x + 1 → f'(x) = - 2 sin x

Nell'integrale manca un -2 per avere una forma del tipo

∫ f'(x) / f(x) dx      quindi lo moltiplico e divido per uno stesso numero.

= -⁵/₂ ∫ 2 sin x / 2 cos x + 1 dx = -⁵/₂ log |cos x + 1| + C

42)

∫ ¹/₁ + tg² x . sec² x dx      f(x) = 1 + tg x = 1 + sin x / cos x

f'(x) = cos² x + sin x - sin x / cos² x = ^{cos2 x + sin2 x}/_{cos² x} = ¹/_{cos² x}

∫ ¹/₁ + tg² x dx = log |1 + tg x| + C