Calcolo II - integrali indefiniti

Integrali

Il problema di cui ci occupiamo in questo capitolo riguarda data una funzione f(x), la determinazione di una funzione che assumette come derivata f(x) e che venne definita primitiva di f(x).

Per esempio, considerata la funzione 3x², elle domandato "può è la funzione che può concorrere 3x² ha sua derivata, ci rispondiamo che essa è la derivata di x³ e che quest'ultima è la sua primitiva.

Oltre a x³ anche le funzioni x³+5, x³-7 ed in generala x³+k (con k una costante generica) hanno come derivata 3x².

Quindi sono tutte funzioni primitive di 3x².

Possono ed esistono più funzioni primitive di una funzione data.

Il problema sarà quello di determinare tutte le funzioni la cui derivata sia uguale ad una funzione assegnata f(x); tutte queste funzioni vengono definit primitive di f(x).

Dunque se F(x) è una primitiva di f(x), F(x)+C è la primitiva più generale e rappresenta tutte e sole le funzioni la cui derivata è uguale a f(x); questa primitiva generale prennde il nome di integrale indefinito di f(x) e venne rappresentato come da seguito:

∫f(x)dx

Da questo che x detto precedentemente la primitiva generale di:

∫f(x)dx=F(x)+C

Gli integrali indefiniti godono di alcune importante proprietà:

1^a proprietà: una costante moltiplicativa si può trasportare dentro a fuori dal segno di integrale indefinito.

2^a proprietà:

L'integrale di una somma algebrica di due o più funzioni è uguale alla somma algebrica degli integrali delle singole funzioni.

3^a proprietà:

L'integrale indefinito è un operatore lineare, ovvero l'integrale di una combinazione lineare di funzioni è la combinazione lineare degli integrali delle funzioni.

Una volta introdotto l'argomento ora ci si sofferma sulle integrali immediate, che hanno lo stesso funzioni delle derivate immediate.

1^a

Ad esempio

2^a

Esempio

12)

_∫ ¹/ _(x+1)² dx

In questo caso considerando f(x)= x+1 la rispettiva derivata è

f'(x)=1

quindi

_{∫ (x+1)^-2} dx = _(x+1)^-1 / _-2+1 +C = _(x+1)^-1 / _-1 +C =

=- ₁ / _x+1 + C

13)

_∫ x² _(x³+1)^-1/2 dx

Se si considera f(x)= (x³+1) la sua deriv siamo f'(x)= 3x² .

Generaldo l'integrale non c'è presenza del termine x² manca il 3.

In questo caso si moltiplica e divide per 3 per potare avere la derivata f'(x)

_∫x² _(x³+1)^-1/2 dx = ₁ / _{3 ∫} 3x²_(x³+1)^-_1/2 dx =

= ₁ / _{3 ∫} (x³+1)^-_1/2 dx = ₁ / _{3 (x³+1)^1/2} / _3/2 = = ₁ / ₃ . ₂ / ₃ (x³ +1)^_3/2 = ₂ / ₉ (x³+1)^3/2 +C

14)

_∫ (5mx+1) cosx dx

Con f(x) = 5mx+1 la rispettiva derivata è f'(x)=5 cos x

Essa è presente nell'integrale e si ricade nel seguente integrale

_∫ f'(x) f₁ dx = f(x)¹⁺¹ / ¹⁺¹ + C = (5mx+1)² / ₂ + C

33)

∫ x₄¹

f(x) = x⁴

∫          dt = x^{-4 + 1} + C = x^-3 + C =                                                                                                                                                                              x^{-4 + 1} + C = x^-3 + C = 1/_{3x³ + C}                                                                                                        

34)

∫         x^1/3 + x^-3 dt = ∫

x^{-3 + 1}/1

-      dt = ∫

x^-2

∫          x + x                                                                                                       

x^-2 + 1 + C =          _{x + C}

35)

∫ sinus(x) dt

∫

f(x)

sin (f(t))

x

f' (t)

nella' integrate

∫          dt

ospital' integrando

f(x)

-20) (

36)

l/x - 3

x^-2

nel' integrando

∫ (/1) 1

integrando

x

-)=

log(| x⁴ log ;

f&‌∫ check-boxlog.filterable-pammake-f.

34)

e^{x 1}

∫          ^{1/ex1sup class="alt" e x>} 

l(x)

+ i s↿

^x integral e^{3x3x sup>&sup> integr+x}