Calcolo delle probabilità e statistica

Variabile casuale univariata: legge di probabilità e supporto, variabili casuali identicamente distribuite. ................ 6

Funzione di ripartizione di una variabile casuale......................................................................................................... 7

Variabili casuali con legge di probabilità di tipo discreto e funzione di massa di probabilità ..................................... 7

Variabili casuali univariate con legge di probabilità di tipo continuo e funzione di densità di probabilità ................. 8

I principali indici di posizione (valore atteso, moda, mediana, quantili) e la diseguaglianza di Markov. .................... 9

Gli indici di variabilità (varianza, scarto quadratico medio) e la diseguaglianza di Cebyshev ................................... 11

Momenti e funzione generatrice dei momenti di una variabile casuale ................................................................... 12

Trasformazioni di variabili casuali ............................................................................................................................. 13

Distribuzione uniforme discreta e distribuzione degenere ....................................................................................... 14

Distribuzione binomiale e distribuzione di Bernoulli (o binomiale elementare) ....................................................... 15

Distribuzione ipergeometrica .................................................................................................................................... 16

Distribuzione geometrica .......................................................................................................................................... 16

Distribuzione di Poisson ............................................................................................................................................ 17

Distribuzione uniforme continua ............................................................................................................................... 18

Distribuzione esponenziale ........................................................................................................................................ 19

La funzione tasso di guasto e le leggi di Weibull ....................................................................................................... 19

La distribuzione normale ........................................................................................................................................... 19

Variabili casuali bivariate e multivariate con componenti indipendenti ................................................................... 20

Legge di probabilità di massimo, minimo e somma di variabili casuali indipendenti ............................................... 21

La distribuzione della media campionaria di normali indipendenti e identicamente distribuite .............................. 21

Distribuzioni marginali di una variabile casuale con legge discreta .......................................................................... 22

Le leggi condizionali ................................................................................................................................................... 22

Proprietà additive ...................................................................................................................................................... 23

1

2

Esperimenti casuali e spazio campionario

Un esperimento casuale è un fenomeno o esperimento in riferimento al quale le conoscenze inducono

a ritenere possibile una pluralità di esiti. Non è quindi possibile stabilire con certezza quale risultato si

osserverà prima di eseguire l’esperimento.

Lo spazio campionario (o fondamentale) Ω di un esperimento casuale è l’insieme formato da tutti i

suoi possibili risultati chiamati eventi elementari e supposti disgiunti in senso insiemistico.

Due esempi di esperimento casuale sono il lancio di una moneta e il lancio di un dado.

Eventi e classe degli eventi

Si chiama evento ogni sottoinsieme di Ω, di conseguenza è un evento ogni elemento di (insieme

delle parti di Ω). Si può definire l’evento anche come collezione di eventi elementari che si realizza se e solo

se si realizza uno degli eventi elementari che lo definiscono.

Nell’esperimento del lancio di un dado, un esempio di evento è “esce un numero dispari”, formato dagli

eventi elementari “esce il numero 1”, “esce il numero 3” ed “esce il numero 5”.

Con evento certo s’intende l’evento definito da tutti gli eventi elementari dell’intero spazio

fondamentale e si indica anch’esso con ; con evento impossibile s’intende una collezione di eventi

elementari che non appartengono a e si indica con il simbolo .

Sempre nel lancio del dado l’evento certo è “esce un numero compreso tra 1 e 6”, mentre un possibile

evento impossibile è “esce il numero 7” poiché non appartiene a Ω.

Essendovi una stretta analogia tra eventi dello spazio fondamentale e sottoinsiemi di un dato insieme

ambiente, si possono definire delle operazioni logiche su eventi. Se allora viene chiamato evento

complementare di in ; se si definisce evento unione, e viene indicato con , quell’evento

che si realizza se e solo se si realizza uno fra gli eventi elementari di oppure di ; se si chiama,

invece, evento intersezione quell’evento che si realizza se e solo se si realizza un evento elementare che

definisce sia che e si indica con . Se si verifica che , allora gli eventi e si dicono

incompatibili. Si può infine definire l’evento differenza che si verifica se si realizza un evento

elementare di , ma non di .

ℱ

Una classe di eventi è una “famiglia” di eventi associata a Ω che contiene gli eventi di Ω più altri in

ℱ

modo tale che sia chiusa rispetto alle operazioni insiemistiche. Inoltre una classe di eventi viene chiamata

σ-algebra se:

 ℱ

 ℱ ℱ

 ℱ ℱ

Conseguenze immediate della σ-algebra sono:

 ℱ

 ℱ ℱ ℱ

Se allora (De Morgan)

 ℱ ℱ

Se allora ℱ

Se Ω ha cardinalità finita o numerabile, allora si considera come σ-algebra . Se si considera il

ℱ

lancio di una moneta, la classe degli eventi di è .

Misura di probabilità, spazio probabilizzato, spazio probabilizzabile e assiomi di

Kolmogrov ℱ ℱ

Una misura di probabilità su una σ-algebra di sottoinsiemi di Ω è una funzione tale

che  ℱ assioma di non negatività;

 assioma di normalizzazione;

3

 ℱ

se allora

assioma di σ-additività.

L’assioma si non negatività, quello di normalizzazione e quello di additività sono detti assiomi di

Kolmogrov. ℱ ℱ

Si chiama spazio probabilizzato la terna dove Ω è lo spazio campionario, è una σ-algebra di

ℱ ℱ

parti di Ω e è una misura di probabilità per . La coppia si chiama, invece, spazio probabilizzabile.

Teoremi elementari del Calcolo delle Probabilità

1. Dimostrazione:

Poiché e , gli eventi e sono incompatibili, pertanto per il terzo assioma si

ha che

da cui .

2. Dimostrazione:

Poiché e cioè è una partizione di Ω, si ha che

da cui .

3. Dimostrazione:

per definizione (assioma di non negatività), mentre per il teorema precedente (2) si

ha che

Se, per assurdo, fosse allora in contrasto col primo assioma.

4. Dimostrazione:

e

per il terzo assioma si ha

e dato che sicuramente per il primo assioma, allora posso dedurre che

.

5. Dimostrazione:

Poiché si ha che:

In generale questo risultato si può estendere a più eventi (formula di Poincarè):

6. diseguaglianza di Boole

Dimostrazione:

Per Poincarè si ha che 4

7.

Dimostrazione:

Per il terzo assioma, poiché , si ha

Probabilità condizionale e formula della probabilità composta

Dati due eventi e , con , l’evento si traduce con “ si verifica condizionatamente al

fatto che si è verificato” e la sua probabilità, chiamata probabilità condizionale di dato , è definita

ponendo

Infatti se si è verificato, l’unica parte di che può ancora realizzarsi è quella comune ad e tutto ciò

che è incompatibile con non ha più alcuna probabilità di realizzarsi. Il parametro a denominatore

permette di ristabilire le proporzioni, assicurando la normalizzazione. In altri termini lo spazio

fondamentale passa da Ω ad .

Diretta conseguenza della formula della probabilità condizionale è la formula della probabilità

composta o formula di moltiplicazione

estendibile al caso di tre eventi

con .

Formula della probabilità totale ℱ

Sia partizione di Ω costituita da un numero finito di eventi di non trascurabili, si

definisce formula della probabilità totale la seguente

Dimostrazione:

dal momento che gli eventi sono disgiunti e tali che (cioè sono una partizione

dello spazio campionario) si ha per il “teorema” numero (7)

per la formula della probabilità composta.

Eventi indipendenti

Due eventi sono detti (stocasticamente) indipendenti se

Se, ciò non succede, allora gli eventi si dicono dipendenti. Se due eventi , sono indipendenti, allora

anche , e sono indipendenti.

In generale se ho gli eventi con , essi si dicono (mutuamente) indipendenti se

5

Come esempio si consideri un circuito costituito da 6 componenti elettronici indipendenti tra loro. La

probabilità di rottura in un certo intervallo di tempo è 0,5 per il primo componente, 0,2 per il secondo e 0,1

per i restanti quattro. Si consideri inoltre l’evento “il componente si rompe nell’intervallo di tempo

prefissato” e l’evento “il circuito s’interrompe nell’intervallo di tempo prefissato”. Gli eventi sono

indipendenti.

Se i componenti sono collegati in serie, il circuito s’interrompe se almeno uno dei componenti si guasta,

quindi la probabilità che il circuito si blocchi è

Se invece i componenti sono collegati in parallelo, il circuito s’interrompe se tutti i componenti si

guastano, quindi in questo caso è

Comunque per garantire la mutua indipendenza non è necessario che gli eventi siano a due a due

indipendenti.

Teorema di Bayes

ℱ

Sia uno spazio probabilizzato e una partizione di Ω tale che .

ℱ,

Per ogni evento non trascurabile si ha che

La quantità è chiamata verosimiglianza di .

Variabile casuale univariata: legge di probabilità e supporto, variabili casuali

identicamente distribuite.

Intuitivamente, una variabile casuale &eg