Calcolo delle probabilità e statistica

Calcolo delle probabilità e statistica

Esperimenti casuali e spazio campionario

Un esperimento casuale è un fenomeno o esperimento in riferimento al quale le conoscenze inducono a ritenere possibile una pluralità di esiti. Non è quindi possibile stabilire con certezza quale risultato si osserverà prima di eseguire l’esperimento.

Lo spazio campionario (o fondamentale) Ω di un esperimento casuale è l’insieme formato da tutti i suoi possibili risultati chiamati eventi elementari e supposti disgiunti in senso insiemistico. Due esempi di esperimento casuale sono il lancio di una moneta e il lancio di un dado.

Eventi e classe degli eventi

Si chiama evento ogni sottoinsieme di Ω, di conseguenza è un evento ogni elemento dell'insieme delle parti di Ω. Si può definire l’evento anche come collezione di eventi elementari che si realizza se e solo se si realizza uno degli eventi elementari che lo definiscono.

Nell’esperimento del lancio di un dado, un esempio di evento è “esce un numero dispari”, formato dagli eventi elementari “esce il numero 1”, “esce il numero 3” ed “esce il numero 5”.

Con evento certo s’intende l’evento definito da tutti gli eventi elementari dell’intero spazio fondamentale e si indica anch’esso con Ω; con evento impossibile s’intende una collezione di eventi elementari che non appartengono a Ω e si indica con il simbolo ∅.

Sempre nel lancio del dado l’evento certo è “esce un numero compreso tra 1 e 6”, mentre un possibile evento impossibile è “esce il numero 7” poiché non appartiene a Ω.

Essendovi una stretta analogia tra eventi dello spazio fondamentale e sottoinsiemi di un dato insieme ambiente, si possono definire delle operazioni logiche su eventi. Se A allora viene chiamato evento complementare di A in Ω; se B si definisce evento unione, e viene indicato con A ∪ B, quell’evento che si realizza se e solo se si realizza uno fra gli eventi elementari di A oppure di B; se si chiama, invece, evento intersezione quell’evento che si realizza se e solo se si realizza un evento elementare che definisce sia A che B e si indica con A ∩ B. Se si verifica che A ∩ B = ∅, allora gli eventi A e B si dicono incompatibili. Si può infine definire l’evento differenza che si verifica se si realizza un evento elementare di A, ma non di B.

Una classe di eventi è una “famiglia” di eventi associata a Ω che contiene gli eventi di Ω più altri in modo tale che sia chiusa rispetto alle operazioni insiemistiche. Inoltre una classe di eventi viene chiamata σ-algebra se:

• Ω ∈ σ
• Se A ∈ σ allora A^c ∈ σ
• Se {A_n} ⊆ σ, allora ∪A_n ∈ σ

Conseguenze immediate della σ-algebra sono:

• ∅ ∈ σ
• Se {A_n} ⊆ σ, allora ∩A_n ∈ σ
• Se A₁, A₂, ..., A_n ∈ σ, allora (De Morgan) (A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ A_n)^c = A₁^c ∩ A₂^c ∩ ... ∩ A_n^c

Se Ω ha cardinalità finita o numerabile, allora si considera come σ-algebra P(Ω). Se si considera il lancio di una moneta, la classe degli eventi di Ω è {∅, {T}, {C}, Ω}.

Misura di probabilità, spazio probabilizzato, spazio probabilizzabile e assiomi di Kolmogrov

Una misura di probabilità su una σ-algebra σ di sottoinsiemi di Ω è una funzione P tale che:

• P(A) ≥ 0 per ogni A ∈ σ (assioma di non negatività);
• P(Ω) = 1 (assioma di normalizzazione);
• Se {A_n} ⊆ σ è una famiglia di eventi mutuamente disgiunti, allora P(∪A_n) = ∑ P(A_n) (assioma di σ-additività).

L’insieme di questi assiomi è noto come assiomi di Kolmogrov. Si chiama spazio probabilizzato la terna (Ω, σ, P) dove Ω è lo spazio campionario, σ è una σ-algebra di parti di Ω, e P è una misura di probabilità per σ. La coppia (Ω, σ) si chiama, invece, spazio probabilizzabile.

Teoremi elementari del calcolo delle probabilità

1. Dimostrazione: Poiché A e A^c sono incompatibili, pertanto per il terzo assioma si ha che P(A ∪ A^c) = P(A) + P(A^c), da cui P(A^c) = 1 - P(A).

2. Dimostrazione: Poiché {A_i} è una partizione di Ω, si ha che Ω = ∪ A_i, da cui P(Ω) = ∑ P(A_i).

3. Dimostrazione: Per definizione (assioma di non negatività), mentre per il teorema precedente (2) si ha che P(A) ≤ 1. Se, per assurdo, P(A) > 1, allora in contrasto col primo assioma.

4. Dimostrazione: Poiché A ⊂ B, per il terzo assioma si ha P(B) = P(A) + P(B ∩ A^c) e dato che P(B) ≥ P(A) sicuramente per il primo assioma, allora posso dedurre che P(B) = P(A) + P(B ∩ A^c).

5. Dimostrazione: Poiché A ∪ B = B ∪ A, si ha che: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B). In generale questo risultato si può estendere a più eventi (formula di Poincaré): P(A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ A_n) = ∑ P(A_i) - ∑ P(A_i ∩ A_j) + ...

Probabilità condizionale e formula della probabilità composta

Dati due eventi A e B, con P(B) > 0, l’evento A|B si traduce con “A si verifica condizionatamente a B” e la probabilità condizionata è definita come P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B).

Formula della probabilità totale

Se {B_i} con i=1,2,...,n è una partizione di Ω, allora per ogni evento A si ha: P(A) = ∑ P(A|B_i)P(B_i).

Eventi indipendenti

Due eventi A e B sono detti indipendenti se P(A ∩ B) = P(A)P(B). Questo concetto si estende a una famiglia di eventi, che sono indipendenti se la probabilità dell'intersezione è il prodotto delle probabilità dei singoli eventi.

Teorema di Bayes

Il teorema di Bayes consente di aggiornare la probabilità di un evento A dato che un altro evento B è accaduto. È espresso come: P(A|B) = [P(B|A)P(A)] / P(B).

Variabile casuale univariata

Una variabile casuale univariata è una funzione che associa ad ogni esito ω in Ω un numero reale. La legge di probabilità di una variabile casuale X è la funzione che assegna a ciascun valore x la probabilità P(X = x). Le variabili casuali si dicono identicamente distribuite se condividono la stessa legge di probabilità.

Funzione di ripartizione di una variabile casuale

La funzione di ripartizione di una variabile casuale X è definita come F(x) = P(X ≤ x) per ogni x ∈ R. Essa descrive la probabilità che la variabile casuale assuma valori minori o uguali a x.

Variabili casuali con legge di probabilità di tipo discreto

Una variabile casuale discreta ha una funzione di massa di probabilità (PMF) p(x), che indica la probabilità che la variabile assuma un determinato valore x. La somma delle probabilità per tutti i valori possibili è 1.

Variabili casuali univariate con legge di probabilità di tipo continuo

Una variabile casuale continua possiede una funzione di densità di probabilità (PDF) f(x) tale che l'integrale della densità su tutto lo spazio è 1. La probabilità che una variabile continua assuma un valore specifico è zero, ma si considerano intervalli per calcolare le probabilità.

I principali indici di posizione

Gli indici di posizione di una variabile casuale sono:

• Valore atteso (o media): rappresenta il centro di massa della distribuzione.
• Moda: il valore che ha la massima probabilità (discreto) o densità (continuo).
• Mediana: il valore che divide la distribuzione in due parti uguali.
• Quantili: valori che dividono la distribuzione in parti di probabilità uguali. La diseguaglianza di Markov fornisce un limite superiore alla probabilità che una variabile casuale superi un certo valore.

Gli indici di variabilità

Gli indici di variabilità includono:

• Varianza: misura la dispersione dei valori rispetto alla media.
• Scarto quadratico medio: la radice quadrata della varianza.
• La diseguaglianza di Cebyshev: fornisce un limite inferiore alla probabilità che una variabile casuale si discosti dalla media di una certa quantità.

Momenti e funzione generatrice dei momenti di una variabile casuale

I momenti di una variabile casuale descrivono la forma della sua distribuzione. La funzione generatrice dei momenti è uno strumento che aiuta a determinare tutti i momenti di una distribuzione.

Trasformazioni di variabili casuali

Le trasformazioni di variabili casuali si riferiscono alla modificazione delle variabili, spesso per ottenere nuove variabili con caratteristiche desiderate.

Distribuzione uniforme discreta e distribuzione degenere

La distribuzione uniforme discreta assegna probabilità uguali a tutti i valori discreti in un insieme finito. La distribuzione degenere è quella in cui tutta la probabilità è concentrata in un unico valore.

Distribuzione binomiale e distribuzione di Bernoulli

La distribuzione binomiale descrive il numero di successi in una sequenza di prove di Bernoulli indipendenti. Una variabile di Bernoulli è un caso speciale con due possibili esiti (successo e fallimento) in una singola prova.

Distribuzione ipergeometrica

La distribuzione ipergeometrica modella il numero di successi in un campione prelevato senza reintegro da una popolazione finita.

Distribuzione geometrica

La distribuzione geometrica descrive il numero di prove necessarie per ottenere il primo successo in una sequenza di prove di Bernoulli indipendenti.

Distribuzione di Poisson

La distribuzione di Poisson è utilizzata per modellare il numero di eventi in un intervallo di tempo o spazio quando tali eventi si verificano con una certa media conosciuta ma sono indipendenti l'uno dall'altro.

Distribuzione uniforme continua

La distribuzione uniforme continua assegna probabilità uguali a tutti gli intervalli di uguale lunghezza all'interno di un intervallo continuo specificato.

Distribuzione esponenziale

La distribuzione esponenziale modella il tempo tra eventi in un processo di Poisson continuo.

La funzione tasso di guasto e le leggi di Weibull

La funzione tasso di guasto descrive la frequenza degli eventi di guasto. Le leggi di Weibull sono un'ampia classe di distribuzioni continue utilizzate in analisi di affidabilità e gestione dei rischi.

La distribuzione normale

La distribuzione normale è una distribuzione continua caratterizzata dalla classica “curva a campana” ed è fondamentale in statistica data la sua prevalenza nelle variabili naturali e nei processi casuali.

Variabili casuali bivariate e multivariate con componenti indipendenti

Le variabili casuali bivariate e multivariate descrivono più variabili casuali considerate congiuntamente. Quando le componenti di tali variabili sono indipendenti, le probabilità congiunte si possono calcolare come prodotto delle probabilità marginali.

Legge di probabilità di massimo, minimo e somma di variabili casuali indipendenti

La legge di probabilità di massimo, minimo e somma di variabili casuali indipendenti permette di determinare la distribuzione di queste statistiche derivate.

La distribuzione della media campionaria di normali indipendenti e identicamente distribuite

La distribuzione della media campionaria di variabili normali indipendenti e identicamente distribuite segue la distribuzione normale, il che è alla base del teorema del limite centrale.

Distribuzioni marginali di una variabile casuale con legge discreta

Le distribuzioni marginali descrivono le probabilità delle singole variabili in un insieme di variabili casuali congiunte, eliminando l'influenza delle altre variabili.

Le leggi condizionali

Le leggi condizionali descrivono la probabilità di un evento dato che un altro evento si è verificato, essenziale per l'analisi di dipendenze tra eventi.

Proprietà additive

Le proprietà additive delle probabilità si riferiscono a come le probabilità di unione e intersezione di eventi possono essere sommate e sottratte per trovare probabilità aggregate.