Calcolo delle Probabilità e Statistica - Appunti

CALCOLO

DELLE

PROBABILITÀ

E

STATISTICA

• Indice

1. INTRODUZIONE ................................................... pag. 1
2. IMPOSTAZIONE ASSIOMATICA ................. pag. 4
3. VARIABILI ALEATORIE ................................ pag. 15
4. DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ ................ pag. 23
5. STATISTICA INFERENZIALE ........................ pag. 45

CALCOLO

DELLE

PROBABILITÀ

E

STATISTICA

Indice

1. INTRODUZIONE.....................................................pag. 1
2. IMPOSTAZIONE ASSIOMATICA......................pag. 4
3. VARIABILI ALEATORIE.....................................pag. 15
4. DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ................pag. 28
5. STATISTICA INFERENZIALE..........................pag. 45

1. INTRODUZIONE

Lo sviluppo delle teorie sul calcolo delle probabilità prende avvio con Pascal stesso e riguardanti il gioco d'azzardo.

Le più recenti delle teorie, incluso quella che approfondiremo maggiormente, è la concezione assiomatica di probabilità.

Prima di approfondirla, però, riassumiamo le precedenti.

1.1 CONCEZIONE CLASSICA

La definizione classica di probabilità la dobbiamo a Laplace che la descrive così:

• la probabilità P(E) di un evento E è il rapporto tra gli n casi favorevoli ed il complessivo degli n casi possibili.

È chiaro che u esistono, ogni caso, incontri un h sarà quindi la probabilità e dei calcolarle. Inoltre è sempre un caso particolare. 0,1,[...] si possono definire due così estremi:

• se u = 0, allora P(E) = 0 ed E si dice evento impossibile;
• se u = n, allora P(E) = 1 ed E si dice evento certo.

La base di questa concezione è l'idea che ciascun caso di sia compatibile solo se identifichiamo in questi essi. E applicabile solo se * con gli esami più compresi.

x Esempio

Abbiamo un mazzo di 40 carte, estraiamo un qual è quindi la probabilità due su cui riguarda, due su cartoncino.

C sono 10 possibile casi di cui 12 suoi favorevoli all'evento "l'asse una figure punti".

P(E) = 12/40

1.2 CONCEZIONE FREQUENZISTA (O STATISTICA)

Questa concezione sfisse dall'osservazione pratica che contro naturale su incredibile che è converge tratti T & su gli eventi al livello pratico, tanti si verificano con la frequenza descritta con la concezione classica.

Si è quindi arrivati al concetto di frequenza relativa di un evento definito come

f_n = K

dove n è il numero di tentativi e K stabilito è il numero di casi in cui quell'evento si è effettivamente verificato.

- se K = 0 e f_n = 0, vuol dire che l'evento si è dimostrato impossibile, o che non si è verificato in quella serie di tentativi.

- se K < n e f_n ≠ 1, vuol dire che l'evento si è verificato solo in qualche occasione nella serie.

- se K = n, vuol dire anche che l'evento si è dimostrato certo e si ritiene la concezione classica della messa in funzione della concezione statistica, quindi:

1.2.1 Legge empirica del caso

In una serie di prove ripetute un gran numero di volte, si può dedurre sperimentalmente la frequenza relativa di un evento e si può stabilire col suo aiuto con sufficiente grado di approssimazione il valore della sua probabilità in seguito a casi definiti.

P(E) = lim f_n

n→∞

* Esempio

Una moneta viene lanciata 5000 volte di cui 1600 esce testa

Qual è la frequenza con cui esce testa e quindi quale possiamo dire con sicurezza che succeda lanciando la faccia?

f_n = 1600 / 5000 = 0,32

In base alla frequenza statistica possiamo dire che, su 20000 lanci, uscirà circa:

K = f_n x n = 0,32 x 20000 = 6400

volte testa.

1.3 Concezione soggettiva

Le concezioni precedenti possono essere definite oggettive e probabilisti che, cioè, possono essere oggetto di misurazione e della realtà del mercato, semplifica la moltiplicazione della probabilità che uno studente abbia in essum.

Ecco allora che nasce la concezione di probabilità soggettiva definita come segue:

la probabilità P(E) di un evento E è il grado di fiducia che un individuo assume dopo che ha fatto le sue impressioni ed opinioni, ad verificarsi dell'evento.

• il prezzo che suddetto individuo è disposto a pagare per un contratto che risulti esigibile se l'evento si verifica;
• detto meglio, la somma p che un individui pagherebbe per ricevere 1 nel caso si verifica, 0 nel caso contrario.

Avviene in questa concezione P(¹E) = 0,1 e sia che:

• se p = 0, l'individuo giudica l'evento impossibile;
• se p = 1, l'individuo giudica l'evento certo.

Questa concezione si può applicare ovunque, cosa che in effetti facciamo ogni volta che facciamo una scelta.