Calcolo delle probabilità e Statistica

Name: Calcolo delle probabilità e Statistica
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Author: settebbello

Revisionato il 29/06/2026

di settebbello

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Appunti completi del corso di Calcolo delle probabilità e statistica, tenuto dal prof. Piccioni. Sapienza AA.2021/22.Gli appunti ricoprono tutto il programma: conteggio di insiemi, …

Esame Statistica e calcolo della probabilità

Facoltà Ingegneria dell'informazione

Dal corso del Prof. Piccioni Mauro

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

A.A. 2021-2022

85 pagine

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Estratto del documento

1: Contare Insiemi

Spazio dei campioni: è l'insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento. Evento: è un sottoinsieme dello spazio di campioni.

Definizione naive della probabilità:

La probabilità di un evento A, P(A) = _{#casi favorevoli ad A}/^{#casi possibili}

Questa definizione fa una grande assunzione: che tutti gli esiti siano equiprobabili e che lo spazio degli esiti sia finito.

Principio di Enumerazione

Se abbiamo un primo esperimento con m₁ possibili esiti e un secondo esperimento tale che per ogni esito del primo ci sono m₂ possibili esiti, tale che per ogni esito ci sono m_r possibilità per l'r-esimo esperimento, allora ci sono m₁ ⋅ m₂ ⋅ ... ⋅ m_r possibili esiti.

Es. per un gelato ci sono n coni e 3 gusti possibili:

3 ⋅ 2 = 6 possibili esiti

Es. probabilità di un full, in una mano da 5 carte

S = \(\binom{S}{5}\)

Coefficiente Binomiale

\(\binom{n}{k}\) = \(\frac{m!}{(m-k)!k!}\) - 0 ≤ k ≤ m

Per scegliere un sottoinsieme di k elementi da n dati non conta l'ordine. Deniv de:

\(\frac{m(m-1)...(m-k+1)}{k!}\) = \(\frac{m!}{(m-k)!k!}\)

1: CONTARE INSIEMI

SPAZIO DEI CAMPIONI = l'insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento.

EVENTO = è un sottoinsieme dello spazio di campioni.

DEFINIZIONE NAIVE DELLA PROBABILITÀ

La probabilità di un evento A, P(A) = _{#CASI FAVOREVOLI AD A}/^{#CASI POSSIBILI}

Questa definizione fa una grande ASSUNZIONE: che tutti gli esiti sono EQUIPROBABILI e che lo SPAZIO DEGLI ESITI sia FINITO.

COUNTING: Scrivere 'CONTARE gli insiemi'

PRINCIPIO DI ENUMERAZIONE: Se abbiamo un primo esperimento con m₁ possibili esiti e un secondo esperimento tale che per ogni esito del primo ci sono m₂ possibili esiti, tale che per ogni esito ci sono m_r possibili esiti per l’r-esimo esperimento, allora ci sono m₁*m₂*...*m_r possibili esiti

ES. per un gelato ci sono 4 coni e 3 gusti possibili:

3*2 = 6 possibili esiti

Es. probabilità di un full, in una mano da 5 carte

^SC_L

COEFFICIENTE BINOMIALE: ⁿC_k = ^m!/_(m-k)!k! - 0 ≤ k ≤ m

Per scegliere un SOTTOINSIEME di k elementi da m, dove NON CONTA L’ORDINE. Derive che ^{m(m-1)...(m-k+1)}/_k! = ^m!/_(m-k)!k!.

# casi favorevoli = 13 ⁽⁴⁾C₃ . 12 ⁽⁴⁾C₂

P = ¹³C₄ ⁷C₃ . 12 ⁽⁴⁾C₂

⁵²C₅

Che succede se il coefficiente x l'ordine conta?

Tabella di compar.: scegliere k oggetti da n

con reinserimento (ripetizione): n^k
senza reinserimento (senza ripetizione): m (m-1) ...(n-k+1)
non conta l'ordine con reinserimento: ^(m+k-1)C_k
non conta l'ordine senza reinserimento: ^mC_k

Es. dividere 10 persone in un team da 6 e uno da 4

⁽¹⁰⁾C₄ = ⁽¹⁰⁾C₆ possibilità

in due team da 5

⁽¹⁰⁾C₅ / 2 possibilità

perché i due gruppi da 5 sono indistinguibili e li stiamo contando due volte.

Spieghiamo meglio la tabella di sopra

Permutazioni Semplici

ordinamenti di n elementi distinti

quante sono? m . (m-1) (m-2) ... 2 . 1 = n!

Es. anagrammi di "CUORE": P5 = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5!

Permutazioni con Ripetizione

ordinamenti di n elementi non tutti distinti

Es. anagrammi di "PICCHE" ossia tutte le lettere fossero diverse: 6! anagrammi

come PICCHE sono lo stesso anagramma

però ho due C, quindi devo dividere per il numero di modi che ho di scambiare le "C" tra loro, cioè divido per il numero di permutazioni possibili delle C: 2!

#anagrammi = ⁶! / 2!

Es. anagramma di "SASSO" → # ANAGRAMMI = ^5!/_3!

Es. anagramma di "MAMMA" → # ANAGRAMMI = ^5!/_2!3! = 10

DISPOSIZIONI SEMPLICI DI m ELEMENTI DISTINTI DI CLASSE k (0 ≤ k ≤ n)

Ogni sottoinsieme ordinato di k elementi distinti tra loro selezionati da un insieme di n elementi di partenza. Risponde alla domanda: "Quante sono le possibili sequenze ordinate di k elementi presi da n totali?"

OSS1: due disposizioni sono diverse se cambia almeno uno degli elementi oppure se gli stessi elementi compaiono in ordine differente.

D_m,k = n · (n-1) · ... · (n-k+1) = n · (n-1) · ... · (n-k) (n-k-1) ... 2 · 1 =

m!/(m-k)! =

Es. Quanti numeri di 3 cifre distinte si possono formare usando solo cifre dispari?

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