Calcolo delle probabilità e Statistica

1. Contare insiemi

Ripasso sugli insiemi alla fine del file

Spazio dei campioniL'insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento.Evento: è un sottoinsieme dello spazio di campioni.

Definizione naïve della probabilitàLa probabilità di un evento A,

P(A) = #casi favorevoli ad A --------------------------------------- #casi possibili

Questa definizione fa una grande assunzione: che tutti gli esiti siano equiprobabili e che lo spazio degli esiti sia finito.

Counting: "Senziare contare gli insiemi"

Principio di enumerazione: Se abbiamo un primo esperimento con n₁ possibili esiti e un secondo esperimento tale che per ogni esito del primo ci sono n₂ possibili esiti, idea di ogni n₂ esiti ci sono n₂ possibili esiti se fai m₁ possibilità per l-esimo esperimento, allora ci sono n₁·n₂·m₂ possibili esiti.

Es. per un gelato ci sono 4 coni e 3 gusti possibili:

3·2 = 6 possibili esiti

Es. probabilità di un full, in una mano da 5 carteS = ⁽⁵²⁾    ₅

Coefficiente binomiale: ⁽ⁿ⁾ = n!_(k) (n-k)!k!

Per scegliere un sottoinsieme di k elementi da n, dove non conta l'ordineDerive che ^{n(n-1)...(n-k+1)} = K!         ^n!         (n-k)!k!

# casi favorevoli: ¹³C₄ ⋅ 12C ₂

P = ¹³C₄ ⋅ ¹²C₂/⁵²C₅

Cosa succede al coefficiente se l'ordine conta?

Tabella dei composti: scegliere k oggetti da m

ES. dividi 10 persone in un team da 6 e uno da 4 = ¹⁰C₆ = ¹⁰C₄ posizioni ... in due team da 5 = (¹⁰C₅)/₂ ... possibilità

perché i due gruppi da 5 sono indistinguibili e li stiamo contando due volte.

SPEGHIAMO MEGLIO LA TABELLA DI SOPRA

Permutazioni semplici

ordinamenti di m elementi distinti

Quando sono? m(m-1)(m-2)...2⋅1 = m!

Es. anagrammi di “CUORE” = P₅ = 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 5!

Permutazioni con ripetizione

ordinamenti di m elementi non tutti distinti

Es. anagrammi di “PICCHE”

◈“se tutte le lettere fossero diverse: 6! anagrammi

PIC, CHE sono lo stesso anagramma

“Poi” ho 2 C, quindi devo dividere per il numero di modi che ho di scambiare le “C” tra loro, cioè divido per il numero di permutazioni possibili delle C: 2!

#ANAGRAMMI = ^6!/_2!

Coefficiente Multinomiale

Supponiamo di voler distribuire n palline distinte in r scatole ciascuno contenente esattamente m₁, m₂, ..., m_r palline (con m₁+...+m_r=n). In quanti modi è possibile farlo?

Abbiamo (n) modi per scegliere la m₁ palline, poi (n-m₁) per scegliere la m₂ palline rimanenti,...

quindi il numero di modi è:

C(n; m₁, m₂, ..., m_r) =

• (m₁+m₂+...+m_r)
• (n-m₁, m₂, ..., m_r)
• ...

= n! / (m₁! m₂! ... m_r!)

Il Problema del Compleanno

k persone, trovare la probabilità che 2 persone abbiano lo stesso compleanno (escludendo il 29 febbraio, assumiamo i 365 giorni equiprobabili e indipendenti).

Se k > 365, P = 1 (principio della piccionaia)

Se k < 365:

• P(no match) = ^{365 × 364 × ... × (365-k+1)}/_365^k
• P(match) ≈ {
  • 50,7% per k = 23
  • 97% per k = 50
  • >99,999% per k = 100
  }

Vediamo l'intuizione che sta dietro: (½k)(k-1) è più importante di k.

(½k) = k(k-1)/2

(23 ½)= 23*22/2 = 253 coppie di persone che è più vicino a 365

Se ci chiediamo con quale probabilità 2 persone condividono lo stesso compleanno o due compleanni ad 1 giorno di distanza → Se k = 14 ≈ 50%

La PROBABILITÀ P sullo spazio dei campioni S è una funzione P: A ⊆ S → P(A)≥0 che associa ad ogni sottoinsieme dello spazio di campioni, che chiamiamo evento, un numero P(A) ≥ 0. Inoltre valgono i seguenti assiomi:

i) A₁, A₂, m ≠ 1, N, N₁

Aₙ ∩ Aₘ ≠ ∅ m ≠ n ⇒ P(∪ Aₙ) = ∑ P(Aₙ)

(DISGIUNTI)

ii) P(S) = 1

∀ ω ∈ S

⇒ A = ∪_ω∈A {s}

P(A) = ∑_ω∈A P({s}) (additività)

P({s}) := FUNZIONE DI MASSA (PMF: probability mass function)

i) P({s}) ≥ 0

ii) ∑_ω∈S P({s}) = 1

P({s}) = ¹/_|S|

da ora in poi

parleremo di probabilità uniforme nello spazio di compion

INDIPENDENZA

Gli eventi A e B si dicono INDIPENDENTI quando P(A∩B) = P(A)P(B)

P(S) = 2² = 4

{A∩B, A∩B, B∩A, A^∁∩B^∁}

È UNA PARTIZIONE DI S

INDIPENDENZA E PROBABILITÀ CONDIZIONATE

2 EVENTI SONO INDEPENDENTI SE

P(A ∩ B) = P(A)P(B) [PROBABILITÀ PRODOTTO]

• (Gli esperimenti sono indipendenti se: )
• S = S₁ x S₂
• U U
• A A, B B

=>

P(A* x B’) = P(A*)P(S₁ x B’)

A ∩ B

A = A* x S₂

B = S₁ x B’

Se VALE L’UNIFORMITÀ

Per 3 esperimenti:

S = S₁ x S₂ x S₃

U U U

A’ B’ C’

A = A* x S₂ x S₃

B = C = ...

dove vale A, B B, C C, A C indipendenti

Facciamo chiarezza:

A, B, C indipendenti ⟺

P(A* ∩ B* ∩ C*) = P(A*)P(B*)P(C*)

A & B indipendenti, A e C indipendenti, e B e C indipendenti, e P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C)

[CONSIGLIO: VEDILO SUL ROSS]

CONTROESEMPIO: S = {0,1}

A = 1 unica testa B = 1⁻ I unica testa C = 1 solo numero ristretto

P(A ∩ C) = 1/4 ≠ P(A)P(C) = 1/2 ⋅ 1/2

P(A|B) =

P(A)P(B|A)

P(A)P(B|A) + P(A^C)P(B|A^C)

ODDS SAPENDO CHE B_i É VERIFICATO

ODDS(A)

p∈(0,1) →

p 1-p

σ = p 1 - p

φ = σ 1 + σ

Per i vaccini:

P(B|A) :: sensibilità = 0,95

P(B^C|A^C) :: specificità = 0,30

rapporto di verosimiglianza:

P(B|A) = sensibilità

P(B|A^C) = 1 - specificità

P(A) = 0,1 ⟹ P(A|B) = 1/2

0,1 ⨯ 9,5 = 0,95

P(A|B) = 0,95 1 + 0,95

Cos'è l'efficacia del vaccino? =

1 - P(B|A^C) P(B|A)

1 - 1 RV(A) + 1 - 1 9,5 = 0,895

Che succede se mp e npp

sono due valori più probabili: mpp e mpp

Prendiamo il caso p:

Quando m è dispari ci sono 2 mode Quando m pari mp

Se X ha una legge X Binom(m,p)

DISTRIBUZIONE IPERGEOMETRICA

Se ogni volta rimetto la pallina dentro X Binom (n t)

P(d s)

Non è più binomiale è ipergeometrica