CAD, Compatibilità elettromagnetica industriale

7/3/27

Problemi inversi e loro soluzioni in generale CAD

3 CFU Make corso Di Borbo, molti corso Mognacchi

Problemi inversi

Problema (c.d.t.) su geometria e materiali, trova gli effetti:

(cause) INPUT → OUTPUT (effect)

Per problemi inversi: invece, è noto l’effetto e devo ritrovare le cause:

(obt/images) OUTPUT → INPUT (mitico relativo)

es. controlli non distruttivi: rilievo su carico delle

variazioni di impedenza

es. modellazione delle geometrie per avere dei obt/valori

desiderati: (forma dei poli magnit. per avere una

erta di vibrazione del campo magnetico del ferro).

Classica applicazione nel settore della ricerca e sviluppo

A(z)X=Y

Cosa sto dicendo?

A è un operatore che immagine continua

Y è il dato e X è l'incognita

• Nel problema diretto i dati sono Y, A e X l'incognita
• Nel problema inverso i dati sono Y, A e X, Z l'incognita

es. potenziale magnetico (problema diretto)

es. potenziale magnetico (problema inverso)

Devo capire quando il problema è ben posto.

HADAMARD: si occupa di definire quando un problema è ben posto

1. CONDIZIONE DI ESISTENZA

per ogni input y esiste un x tale che

∀y, ∃x: A(z)x=y

2. CONDIZIONE DI UNICITÀ

∃!x

1 Minimi Quadrati (Least Square)

Consideriamo solo i casi lineari.

Ho un restio a calcolo:

r(x) = Ax - b se r(x) = 0 si soluzione esatta

è meglio considerare le norme

r(x) = || Ax - b||₂² ≠ 0

una buona soluzione rende stazionario il valore

Δ r = 0

Sviluppo r(x) = (Ax)^T(Ax) - 2(Ax)^Tb + b^Tb

= x^TA^TAx - 2x^TA^Tb , b^Tb

Δ r = 2A^TAx - 2A^Tb e lo vogli. = 0

è l'equazione di eulero (mi do al punto Lagran)

⇒ A^TAx = A^Tb normal equation

(unica se dim.)

Si può dimostrare che è lo norma di forma minima:

||Ax - b||₂² ≤ ||Ax - b|| ², ∀x

K è una scelta oltre le quelle penno non ancora (approssomane)

Problema base: Ax = b

||Ax - b||₂² = ||U^T(Ax - b)||₂² =

= ||T_Ax - U^Tb||₂²

se VV^T = I

||U^TAVV^Tx - U^Tb||₂² =

= ||1U^TAVy - U^Tb||₂² = r

||Sy - U^Tb||₂²

Passaggi:

1^o passo risolvo Sy=U^Tb

2^o passo risolvo x=Vy

Costi: scomporzione A, risolvim Sy

Anche qui è una soluzione pseudoinversa.

x= (SV^T)^-1U^Tb

Se la soluzione è sul bordo, all'inverso, allora

z_f^* = 0

Sono vicino al bordo, il vincolo è attivo.

Esempio

2D

P = (0,707, 0,707)

f(x) = x₁ − x₂

h(x) = 1 − x₁² − x₂² = 0

∇f

Minimo

Vincolo di uguaglianza

Qualunque punto nello spazio ammissibile, ma deve minimizzare f

∇h = parallelo a ∇f

∅ λ deve essere negativo

Oltre lo facci per via analitica:

L(x, λ) = −x₁ − x₂ + λ (1 − x₁² − x₂²)

∂L/∂x₁ = −1 − 2λx₁ = 0 ⟹ x₁^* =

− 1/2λ

∂L/∂x₂ = −1 − 2λx₂ = 0 ⟹ x₂^* =

− 1/2λ

∂L/∂λ = 1 − x₁² − x₂² = 0 ⟹ λ≈1

x^* = x^* 2/√2

f(x₁^*, x₂^*) = −√2

∇f(x₁^*, x₂^*) + λ∇h(x₁^*, x₂^*) = (−1, −1) + 1/2 (2x₁^*, 2x₂^*)

= (−1, −1) + 1/2 (√2, √2) = (0,0)

Riducibile al settore attrezzabile

x^* = f_E FEASIBLE

≠ attore USABLE-FEASIBLE

1^o caso

x_R potrebbe essere migliore del secondo peggiore

f(x_R) < f(x_n) = f(x₂)

rimando come all'inizio

Potrebbe essere che f(x_R) < f(x₁)

Cosa faccio? Quella è una direzione buona: aumento il mio elemento

x_E = x₀ + δ (x₀ - x₃)

Confronto x_E e x_R. Se f(x_E) < f(x_R)

faccio sopravvivere x_E, altrimenti continuo con il riflesso.

3^o caso

Se invece ho che f(x_R) > f(x₁) > f(x₂)?

Devo fare una contrazione

x_C = x₀ + β (x₀ - x_m+1), β = 0,5

Come faccio a capire se accettarlo?

f(C) < f(x₃) lo accetto e riparto da capo.

Se invece f(x₂) > f(x₃)

Ridefinisco il simplex ideale. Tengo il punto migliore e scegli nuovi x₂, x₃

x_i = x₁ + σ(x_i - x₁) con σ = 0,5

i = 2, ..., n+1

Ho=I

scarto colonna introduco H_k=_{q1 S1+ q2 S2 + ... + qk S*k}*                                                         S_m+1

 di fare

q_i prodotto ottimo delle correzioni S_m+ k-1 S*x

n(m+1) = il punto di arresto in funzione di chemos.

Problema: Dopo un poi d'iterazioni, tendere a non essere più coniugate.

Dopo un certo numero di iterazioni, si consiglia di ortogonalizzare.

Alcuni algoritmi si comportano bene per una certa classe di problemi (algoritmi dettati)

Codomenta è falso: posso poggiare

metodi per un limitato campo di problemi.

Evoluzione

Lamarck → evoluzione del singolo.

Darwing → popolazione mediamente a collo corto, ma con qualcuno a collo alto.

Algoritmi Genetici

Soluzione a problema solved by genetic algorithm is evolved.

G-S ferma in caso di miglioramento e massimo numero di generazioni.

1. INIZIO
2. FITNESS: Valutare f(x) per ogni x nella popolazione
3. NEW POPULATION
• selection →
• crossover
• mutation
• ACCEPTING
4. REPLACE
5. TEST
6. LOOP da 2

V_coordinate: punto utopia

METRIC MATRIX (m=3)

M = {U₁ αF(x₁) βF(x₁) ....

αF(x₂) βF(x₂)

βF(x₃) αF(x₃)}

R: Nadie point: spazio punto utopia

max U_ij ho 3 punti Nadie

punto possibile preferenza di

ψ(x) = ∑ w_iF_i(x) , ∑ w_i = 1,

w_i ∈ R⁺

vettore aspirazioni dell'istante g(x)

goal obiettivo

ψ(x) = ∑ w_iF_i(x) - g(a)

Devo controllare lo distorsione della pareto

ottimi logica