CAD, Compatibilità elettromagnetica industriale

Problemi inversi e loro soluzione in generale CAD

3 CFU: Metodi corso Di Borbo, metodi corso

Problemi inversi

Problemi diretti: se geometria e materiali, trova gli effetti:

(cause) INPUT -> OUTPUT (effect)

Per i problemi inversi, invece, è noto l'effetto e bisogna ritrovarne le cause:

(obbligo, OUTPUT -> INPUT (misure rilev.)

es. controllo non distruttivi: rilevo un carico delle variazioni di impedenza

es. modellazione delle geometrie per avere dei obiet./valori desiderati: (forma dei poli magnetici per avere una certa distribuzione del campo magnetico)

Classica applicazione nel settore della ricerca e sviluppo

Problemi inversi

Problemi diretti: se conosciamo i modelli, troviamo gli effetti:

• (cause) INPUT - OUTPUT (effect)

Per i problemi inversi, invece, è noto l'effetto e dobbiamo ritrovare le cause:

• (effects) OUTPUT - INPUT (misura rilievi)

es. controlli non distruttivi: rilievo unico delle variazioni di impedenza

es. modellazione delle geometrie per avere dei obj. valor desiderati: (forme dei poli magnati, per avere una certa vibrazione del campo magnetico).

Classico applicazione nel settore della ricerca e sviluppo

A(z)X = Y

Cosa sto dicendo?

A è un operatore che

(debole ma regolare) lineare e non, che dipende da un parametro z

Y è il dato e X è l'incognita

• Nel problema diretto i dati sono Y, Z, A e X l'incognitaCon Y ∈ Y, x ∈ X ecc, dove Y e X sono spazi metrici.
• Nel problema inverso i dati sono Y, A e X, Z è l'incognitaMi serve una informazione supplementare (ex: una misura)

ex: potenziale magnetico (problema diretto)−∇⋅∇=

ex: potenziale magnetico (problema inverso)messo una sonda nel reattore e voglio trovare

Devo capire quando il problema è ben posto.

Hadamard: si occupò di definire quando un problema è ben postoHadamard conditions well posed problem

1. Condizione di esistenza

per ogni input y esiste un x tale che Y ∃ x: A(z)x = y

2. Condizione di unicità

∃! x

3. Continuità di pendenza della soluzione dal dato

Se il dato varia di poco, anche la soluzione deve variare di poco.

|Δy| 0 \)

\( v(0) = v_0, \frac{dv}{dt}|_{t=0} = 0 \)

ω = \( \frac{1}{\sqrt{lc}} \)

si rimuc fosse anche ω il valore incognito?

Facci un misura ad un certo istante (condizione supplementare)

\( v(t) = v_0 \cos(ω t) \)

v(t₁) = v₁, t₁ > 0

• v₁ = v₀ cos (ω₀ t₁)
• ω₀ = t₁^-1 arccos v₁v₀ vero solo se v₁v₀ < 1

Es. Ne danno una soluzione ma non è unica (coseno è periodico).

Devo riflettere il periodo in considerazione. Devo allora mettere in conto una sequenza di soluzioni:

v₁ = v₀ cos (ω₀ t₁) = v₀ cos (ω₀ t₁ + 2mπ)

ω₀ = t₁^-1 [arcos v₁v₀ — 2mπ]

Esempio di Potenziale

Ho un campo laplaciano

R - il dominio

D_x² u + D_y² u = 0

Condizioni al contorno u(x,0) = m² cos (nx), n x 0 n ∈ ℕ

D_y u(x,0) = 0

La soluzione sull’intero rettangolo:

u(x, y) = m⁻¹ cos (nx) cosh (ny), (x,y) ∈ ℝ

Perturbazione? sulle form. faccio crescere m =_o, ↑abbassa u

fisso y=0 ∪ x ∈ ]0,a] → cosh (m y) = 1

u è maggiorato da un fattore ¹/_m

1/μ(t m)

Ora fisso x

x = 0, ∞ ∪ ε∈ (0,a]

u = ¹/_m cosh (n y)

lim u(m) = ∞

per m→∞

viene amplifica la perturbazione provocato delle notazione d□ m

Sistemi rettangolari

A_(mxn) x_(mx1)