Bioimmagini

Bioimmagini

Introduzione

La disciplina delle bioimmagini entra nel contesto della diagnostica per immagini; essa può essere definita come quell’area della medicina, della ingegneria, della fisica, che si occupa di generare immagini (vere, ricostruite o virtuali) dell'interno del paziente, allo scopo di fornire informazioni utili alla diagnosi.

Storia delle bioimmagini

La storia delle bioimmagini è recente ed inizia nel 1895 grazie ad una scoperta di Wilhelm Conrad Roentgen mentre faceva degli studi sul tubo catodico. Come si può notare, l’immagine che ottenne era di bassa qualità, ma comunque si riesce ad intravedere l’interno della mano. Oggi le tecniche sono molto più avanzate e di conseguenza molto più precise e di alta qualità.

Dal 1895 fino al 1944 le tecniche di imaging prevedevano l’uso esclusivo di raggi X e anodo rotante, dal ‘45 in poi si è iniziato ad utilizzare altre tecniche che oggi conosciamo bene (la γ-camera utilizzata in seguito alla scoperta della bomba atomica, gli ultrasuoni adottati in seguito all’utilizzo di radar e sonar). Nel particolare, oggi si utilizzano le seguenti tecniche di imaging: Scendendo.

Esempio di classificazione di bioimmagini

Le immagini possono essere classificate in vario modo. Una prima classificazione è la seguente:

• Mappe: Rappresentazione di una grandezza riferita alla superficie corporea a partire da misure in punti discreti: vi sono delle scale di colore e l’informazione è spaziale ed associata ad una grandezza fisica;
• Proiezioni: Immagini su di un piano (non si vede la profondità) di proiezione a partire da un centro (eventualmente all’infinito);
• Tomografie: Immagini ricostruite da sezioni virtuali del corpo rappresentanti varie grandezze fisiche.

Una seconda classificazione si basa sul tipo di ottenimento delle immagini:

1. Immagini basate sull’emissione spontanea di energia da parte del corpo umano (mappe EEG e ECG, termografia, magneto-cardiografia, magneto-encefalografia);
2. Immagini basate sull’interazione dei tessuti con energia inviata dall’esterno:
   • Energia elettromagnetica (RX, CT, MR, SPECT, PET);
   • Energia meccanica (US);
   • Energia elettrica.
3. Immagini basate sull’utilizzo di agenti di contrasto e/o radiofarmaci (fMRI, SPECT, PET, angiografia, MR e CT).

Ricordiamo che gli agenti di contrasto non sono altro che sostanze che consentono di rendere più visibili alcune strutture o di seguire alcuni processi fisiologici.

Infine, l’ultima classificazione molto importante si basa sulle informazioni che le immagini ci danno:

• Immagini strutturali o anatomiche (CT, MR, RX, US): Ci permette di capire quali sono i vari tipi di tessuti e di distinguerli fra loro;
• Immagini funzionali (fMR): Ci dice se una parte del corpo funziona bene oppure no;
• Immagini metaboliche (PET): È utile per verificare il metabolismo di determinati tessuti (se ad esempio avviene una metabolizzazione di una proteina o di uno zucchero, ecc...).

Formazione di un’immagine

Vediamo adesso come si forma un’immagine. La prima cosa importante da sapere è che qualsiasi immagine si ottiene attraverso una fonte di energia (es. fotoni X, fotoni γ, radiofarmaci, positroni, ecc...), la quale incontrando l’oggetto della scena, sviluppa un tipo di fenomeno (riflessione, trasmissione o assorbimento) che permette ad un sensore (es. occhio) di poter riprodurre l’immagine desiderata. Alla fine di tutto, nel caso più semplice, si ottiene un’intensità di grigio dell’immagine I come funzione delle coordinate spaziali x e y: I = f(x,y).

Per capire meglio, possiamo visualizzare il tutto attraverso l’immagine sottostante: In generale, a seguito dell’interazione dell’oggetto con una fonte energetica emerge una determinata grandezza caratteristica (attenuazione, riflettanza, attività della sorgente). In questo modo si associa alla scena la distribuzione spazio-temporale f(x, y, z, t) (questo è il caso della terza dimensione; la dipendenza dal tempo ci dice che l’immagine può non essere sempre la stessa in un determinato intervallo di tempo) della grandezza fisica in questione.

Si ha quindi un’interazione fra l’oggetto e la sorgente energetica che ci restituisce in qualche modo la “misura dell’interazione” di una grandezza fisica. Questa misura viene trasformata in un livello o di colore o di grigio e viene associata spazialmente a determinate coordinate.

Per immagini statiche bidimensionali a livelli di grigio si ha una funzione z=f(x,y) dove z è il livello di grigio nel punto di coordinate (x,y). Per immagini statiche bidimensionali a colore RGB (Red-Green-Blue) si ha una funzione vettoriale.

Il segnale immagine

Rispetto a quello che è stato appena detto, si può ben capire come mai la funzione matematica sottostante appaia come un punto nero che si sfoca, nell’immagine di destra: Nel punto in cui la funzione matematica ha valore zero appare nell’immagine di colore bianco, mentre quando l’intensità sarà massima il colore dell’immagine sarà nero. Da questa caratteristica possiamo arrivare a delle importanti conclusioni per quanto riguarda l’immagine sotto:

Come si può vedere dall’immagine sulla sinistra, si ricava la funzione matematica a destra, ovvero una sinusoide vista nello spazio. Le caratteristiche più importanti della sinusoide sono l’ampiezza e la frequenza. Per quanto riguarda l’ampiezza abbiamo già visto che sull’immagine si evidenzia attraverso i vari livelli di grigio, invece nel caso della frequenza è possibile evidenziarla attraverso la distanza che intercorre fra le onde. In particolare possiamo introdurre il concetto di frequenza spaziale semplicemente calcolandoci la frequenza lungo l’asse x e lungo l’asse y.

Nel caso precedente la frequenza lungo x è pari ad 1, mentre lungo y sarà pari a 0. Quindi, all’interno di un’immagine, la frequenza spaziale può essere rappresentata ed espressa come linee/mm o cicli/mm, ovvero quante linee o cicli sono distinguibili in un millimetro. Più sono le linee distinguibili, più sarà alta la frequenza spaziale. Nel caso in cui si abbia una frequenza spaziale sia lungo x che lungo y, si può ottenere l’immagine a destra. In questo esempio la frequenza spaziale lungo x è maggiore di quella lungo y, questo perché lungo x, in uno spazio più piccolo, finisce un intero ciclo.

Principi di elaborazione di immagini

Dal teorema fondamentale dei segnali sappiamo che qualsiasi segnale può essere scomposto come una somma di sinusoidi. Analogamente, avendo a che fare con le immagini, anche qualsiasi segnale immagine può essere scomposto come una somma di sinusoidi: Quello che si nota è che aggiungendo progressivamente alla fondamentale f i suoi multipli, possiamo ottenere man mano un segnale sempre più complesso. In pratica è la stessa operazione fatta per ottenere il segnale a gradino attraverso la somma dei fattori di Fourier (figura a destra).

Frequenze spaziali

Se dobbiamo rappresentare un segnale monodimensionale nelle frequenze (spettro del segnale) sull’asse di Fourier, sappiamo che considerando un segnale con due armoniche come nell’esempio sotto: (t) + sen ω₂(t), si ottiene nel tempo una sinusoide con le due frequenze ω₁ e ω₂ come in figura: Ed eseguendo l’operazione sen ω₁(t) + sen ω₂(t), il risultato sarà il seguente.

La stessa cosa avviene per le immagini e quindi per le frequenze spaziali: la continua (l’armonica sull’origine) viene rappresentata al centro (o tutto bianco o tutto nero – non si hanno informazioni del segnale che variano) e poi man mano, se si ha solo ω_X, si hanno frequenze più basse vicino al centro e frequenze più alte verso l’infinito. Esempio: Nel caso in cui ci siano sia ω_X che ω_y, il risultato sarà il seguente: Questa è la rappresentazione del segnale immagine in un piano di Fourier. In definitiva, quando si fa l’analisi spettrale di un’immagine significa andare a capire quante frequenze spaziali possiede l’immagine stessa. Grazie a queste considerazioni siamo in grado di modificare l’immagine agendo tramite dei filtri sul numero di frequenze spaziali che contiene.

Caratteristiche delle immagini

Contenuto in frequenza

Abbiamo già detto che mentre la frequenza temporale indica quanto rapidamente si ha un determinato evento, la frequenza spaziale indica quanto rapidamente si ha una variazione di grigio (o di colore). Sapendo questo, possiamo determinare quale variazioni avrà l’immagine in presenza di basse frequenze, alte frequenze e banda passante.

Nel caso di basse frequenze la variazione del segnale sarà molto lenta e di conseguenza l’immagine sfuma dal bianco al nero lentamente, per cui l’immagine originale diventa molto sfumata. Riusciamo a vedere la differenza fra i vari tessuti, ma è molto difficile capire dove un tessuto finisce e l’altro inizia perché i contorni non sono ben visibili.

Nel caso di alte frequenze la variazione del segnale sarà veloce e quindi non si riesce a dare un’intensità di grigio differente. Si vedono molto bene i contorni, ma non riusciamo a distinguere i vari tipi di tessuto. N.B: Se unissimo l’immagine in bassa frequenza con quella in alta frequenza otterremmo l’immagine originale, in quanto la prima ci permette di distinguere i tessuti, mentre la seconda ci consente di distinguere i contorni.

Nel caso della banda passante avremo una situazione intermedia, si preservano i contorni e l’intensità di nero è più elevata rispetto al caso precedente. Non molto utilizzato.

Principi di elaborazione di immagini

In relazione a quello che è stato appena detto, sappiamo che nel caso monodimensionale della rappresentazione di Fourier, l’analisi spettrale del segnale comprenderà anche la parte complessa e coniugata, ovvero: e Analogamente, la stessa cosa vale per l’immagine che comprenderà non solo ω_X, come visto in precedenza, ma anche -ω_X e -ω_y: Basse Frequenze Passa Banda Alte Frequenze Verso il centro abbiamo le basse frequenze, sulla corona della circonferenza abbiamo le alte frequenze. Per capire meglio prendiamo alcune immagini con relativa trasformata di Fourier in cui sono rappresentati questi casi: Passa Basso Passa Alto Passa Banda.

Immagine analogica vs. digitale

Come avviene per i segnali, anche le immagini possono distinguersi in analogiche e digitali:

• Immagine analogica: Si ha una variazione continua e infinita della scala di grigio, ovvero non si ha un numero definito di valori di grigio che l’immagine può assumere;
• Immagine digitale: Si ha una variazione discreta dei valori di grigio possibili. La rappresentazione dell’immagine può essere fatta mediante una matrice di numeri il cui valore è posto in corrispondenza biunivoca con le caratteristiche specifiche dell’oggetto stesso. Un esempio di immagine digitale può essere il seguente: digitale. Ogni elemento caratteristico della colonna i e della riga j per un’immagine bidimensionale si chiama pixel. Come si può vedere, i pixel possono assumere valore 1 o 0, non c’è nulla di intermedio, e perciò avremo una discretizzazione dello spazio.

Immagine digitale campionamento

Campionare un segnale continuo significa considerare il segnale a tempo discreto che si ottiene per singoli istanti di tempo. Se il periodo T con cui si determinano i tempi è costante allora Fc=1/T è detta frequenza di campionamento. Il teorema di Shannon stabilisce che un segnale continuo limitato in banda è completamente descritto dai valori ottenuti campionando il segnale ad una frequenza Fc ≥ 2*Fmax, altrimenti si ha perdita di informazioni. Allo stesso modo il campionamento dell’immagine vuol dire dividere l’immagine stessa con una griglia di pixel, come si vede nella figura a destra. La griglia deve essere tanto più fitta quanto maggiore vuole essere la risoluzione spaziale.

Inoltre, vale il teorema di Shannon per cui vi devono essere almeno due pixel per la massima frequenza spaziale rappresentata. Ovviamente il caso considerato è sempre quello bidimensionale, ma nel caso 3D si ha una discretizzazione dello spazio e il pixel viene chiamato voxel.

Quantizzazione

Dopo aver campionato il segnale, è necessario procedere alla quantizzazione, ovvero lungo l’asse della variabile indipendente non si prende un valore qualsiasi ma si scelgono degli step (dei quanti). Nel contesto delle immagini questo vuol dire che i livelli di grigio visti nell’immagine analogica come infiniti, non possono essere infiniti in un’immagine di tipo digitale, per cui andranno ad assumere il livello di grigio più vicino a quello quantizzato. In pratica si procede ad una sorta di approssimazione del colore, se nell’immagine analogica si ha un punto di colore grigio tendente al nero (es. 0,3), la quantizzazione rappresenta quel punto come se fosse completamente nero (approssimando 0,3 a 0).

Quindi, un numero reale è rappresentabile con un numero finito di bit a meno di un errore di approssimazione. I possibili valori di memorizzazione in una cella di memoria dipendono dalle dimensioni del bit della cella (K=2^N, N=numero di bit). Il processo di quantizzazione consiste nel suddividere a priori il range di variazione del segnale in un numero finito di intervalli (livelli). Ad ogni livello è associato un codice binario con cui viene memorizzato nel computer. Ovviamente, più è alta la quantizzazione, più l’immagine digitale si avvicina all’immagine analogica, ma contemporaneamente sarà computazionalmente più difficile da gestire (più sono i bit, e quindi i pixel, più è pesante da gestire).

Bisogna perciò ricordare che il numero di bit indica la potenza che bisogna mettere al 2 per ottenere il range di indice di valori da avere nell’immagine finale: dire che si ha un’immagine ad un 1 bit, vuol dire avere un’immagine 2¹, quindi o bianco o nero (questa immagine viene chiamata di solito immagine binaria); dire che si ha un’immagine a 2 bit, vuol dire avere un’immagine 2² con 4 livelli di grigio o di colore; e così via. Meno livelli di grigio si hanno, maggiore sarà l’errore compiuto nella conversione dell’immagine da analogico a digitale.

N.B: Quando si parla di colore, intendiamo un vettore R con tre componenti R (rosso), G (verde) e B (blu). Questo significa che per un’immagine a 2 bit di colore avremo un’intensità di 4 livelli per il rosso, 4 livelli per il verde e 4 livelli per il blu.

Digitalizzazione

In definitiva, la digitalizzazione di un’immagine comprende due fasi: il campionamento, ovvero la discretizzazione in pixel o in voxel, e la quantizzazione, ossia scegliere quanti valori di grigio o di colore avremo nell’immagine finale. Queste due fasi portano ad avere una risoluzione del segnale, ovvero il grado dei dettagli discernibili dell’immagine. Esistono due tipi di risoluzioni:

• Risoluzione Spettrale (già vista in precedenza)
• Risoluzione Spaziale

Caratteristiche dell’immagine

Risoluzione

Cominciamo a parlare della risoluzione definendo innanzitutto la risoluzione spaziale. Essa è legata alla discretizzazione dell’immagine e ci indica quanto sono grandi i pixel o i voxel contenuti nell’immagine stessa. Immaginiamo di considerare il Field of View (FOV) di un’immagine, ovvero la sua grandezza fisica, con le seguenti dimensioni: le dimensioni di un pixel. Per ricavarci basta dividere 50 per 7, quindi, dato che questo ha due dimensioni, possiamo scrivere: pixel = Immaginiamo adesso che questa stessa immagine non sia lunga 50 cm, ma 60 cm, perciò: pixel = Fra questi due immagini, quella che ha la risoluzione spaziale migliore sarà sicuramente la prima in quanto la dimensione del pixel è inferiore. In definitiva, più il pixel è piccolo migliore sarà la risoluzione spaziale dell’immagine, come si vede dalla figura sotto: Nell’immagine a destra il pixel è molto più grande rispetto a quello di sinistra, ed è molto probabile che sia anche più grande della frequenza spaziale dell’immagine, cioè la variazione di livelli di grigio (linee/mm) non è contenuta all’interno del pixel e quindi si ha, come nel caso dei segnali monodimensionali, il fenomeno dell’aliasing. Infatti se la risoluzione spaziale è talmente tanto scarsa da inficiare anche quella spettrale, quello che succede è che non solo si ha un’immagine di cattiva qualità da un punto di vista spaziale, ma si perde anche il contenuto in frequenza. Detto in altri termini, la figura di destra ha tutte le frequenze ma il problema è che la risoluzione spaziale è talmente bassa da far saltare qualche frequenza dando origine all’aliasing.

Oltre a questo, abbiamo visto che esiste anche...