Bilanci totali di materia, energia e quantità di moto

Bilanci totali di materia

Ex.2.3 Livello di un liquido in un serbatoio

Dati: d = 0.4 m, F₁ = 10 Kg/min, F₂ = α√h, α = 15 _Kg/^m5

Nel serbatoio viene immessa una portata costante di fluido F₁ mentre la portata uscente varia in funzione del livello del liquido del serbatoio. Lo stato stazionario si raggiunge quando F_in = F_out.

Bilancio in s.s.

F₁ - F₂ = ∑_i F_i = _dh/_dt = 0

F₁ = F₂ = α√h_̂ss

Altezza h_̂ss = F₁²/d² = 0.44 m

Ex.2.4 Variazione nel tempo del livello del liquido in un serbatoio

Dati: Ex.2.3, t = 0, h = 0

Bilancio di materia in stato non stazionario

F₁ - F₂ = _dH/_dt = _d/_dt ∫ρdV = _d/_dt (ρSῩ) = ρS _dῩ/_dt

F₁ - α√Ῡ = Sρ _dῩ/_dt

Adimensionializziamo _Ῡ̂ = _Ῡ/_̂ss → F₁ = α√h_̂ss

Altezza F₁ = F₁/√Ῡ_̂ss × √Ῡ = ρ × S × Ῡ_{̂ss dῩ̂}/_dt

F₁ (1 - √ᵧ̂) = ρSᵧ̂ss _dῩ^̂/_dt

1 - √ᵧ̂ = _ρS̄̂ss/_{F1 dῩ^̂}/_dt

Bilancio Totali di Materia

Ex.2.3 Livello di un liquido in un serbatoio

Dati: d = 0.4 m, F₁ = 10 Kg/min, F₂ = α√_h, α = 15 kg/s

Richiesta: h_ss = ?

Nel serbatoio viene immessa una portata costante di fluido F₁, mentre la portata uscente varia in funzione del livello del liquido del serbatoio. Lo stato stazionario si raggiunge quando Fⁱⁿ = F^out.

Bilancio in s.s.

F₁ - F₂ = Σ_i F_i = dH/dt = 0 ⇒ F₁ = F₂ = α√_ss

Altezza h_ss = F₁²/d² = 0.44 m

Ex.2.4: Variazione nel tempo del livello del liquido in un serbatoio

Dati: Ex.2.3, t = 0, h = 0

Richiesta: h(t) = ?

Bilancio di materia in stato non stazionario

F₁ - F₂ = dM_R/dt = d/dt ∫ρdV = d/dt (ρS) = ρS dH/dt

⇒ F₁ - α√_h = ρS d_h/dt

Adimensionializziamo x̃ = h/h_ss → F₁ = α√x_hss

Altezza F₁ - F₁/√_hss x̃ = ρS_R_ss dṡ/dt

F₁ (1 - √x̃²) = ρSR_ss dṡ/dt

1 - √x̃ = (ρSR_ss)_tc^F₁ dṡ/dt

Definiamo _t̃ = ^t/_tc

1 - √^•x = d^•xd^•t

Dobbiamo integrare ∫ sostituiamo √^•x = z^•x = z²d^•t = 2zdz

1 - z = 2zdz

t̃ = -2√^•x - 2 ln (1 - √^•x)

Bilancio di materia di un miscelatore

Dati: V = 10 L, Q = 15 e/r, C_A,11 = 3 ^mol/_L, Q₂ = 25 e/r, C_B,12 = 2 ^mol/_L

Per definizione C = E/Q

Allora F₁ = Q₁ · C_TOT,1, da cui ne segue che:

F₁ · x_A = Q₁ · C_TOT,1 · x_A,1 = Q₁ · C_TOT,1 ·^C_A,11/_CTOT,1

Bilancio m.s. di massa tot.

dM_•/dt = ΣF_i = 0 ⇒ F₁ + F₂ - F₃ = 0

Mai condotti hanno stessa densità: ρ₁ = ρ₂ = ρ₃ = ρ

⇒ Q₁ + Q₂ - Q₃ = 0 ⇒ Q₃ = Q₁ + Q₂ = 40 e/r

Bilancio del componente A

∅ ma solo nella portata ₂

dH_A/dt = Q₁ · C_A,11 + Q₂ · C_A,12 - Q₈ · C_A,8 = 0

C_A,8 = 0

C_A,11 = ^Q₁/_{Q1 + Q2}

C_A,11 = 1,125 ^mol/_L

Bilancio del componente B

dH_B/dt = Q₁ · C_B,11 + Q₂ · C_B,12 - Q₈ · C_B,8 = 0

C_B,8 = ^Q₂/_Q8

C_B,12 = 1,25 ^mol/_L

Bilanci totali di energia (calore)

Ex.2.9 Perdita di calore da un tubo

Dati: d = 1,054 cm, V = 1 m/s, T₁ = 25°C, q = 2500 W/m², l = 10 m

BchT₂ = ? → Bilancio termico per il volume di controllo in B.B.